Full Text

Введение Оценка срока эксплуатационного ресурса элементов конструкций остается актуальной проблемой в энергетике. Одним из механизмов разрушения является ползучесть. По механизму ползучести могут разрушаться детали турбин, котлов, паропроводов, ректификационных колонн в условиях агрессивной среды. При диагностике степени разрушения необходимо проводить исследования таких физических макро- и микропараметров, как остаточная деформация, изменение плотности материала, изменение скорости ультразвуковых волн, появление микропористости, изменение дислокационной структуры. Применяемые в настоящее время неразрушающие методы дефектоскопии позволяют обнаруживать только макродефекты. При этом промежуток времени, в течение которого происходит развитие дефектов от зарождения трещин до разрушения, может быть значительно меньше планового межремонтного периода. Обычно нормативный срок эксплуатации элементов конструкций отождествляют с временем начала их разрушения. Очевидно, что это время не определяет долговечность. Конструкция от начала до полного разрушения может работать достаточно продолжительный период [1-5]. Определение дополнительного срока эксплуатации представляет собой важную задачу. В [5] для выбора периодичности проведения контроля поврежденности рекомендуется использовать теоретические оценки с учетом распространения фронта разрушения на основе решений Качанова-Работнова [6]. При таком подходе временем начала разрушения считается момент, когда в некоторой области конструкции накопленные повреждения достигают критического значения - первая стадия скрытого разрушения. Вторая стадия это распространение фронта разрушения и полное разрушение тела. В [7, 8] обосновывается применимость такого подхода к расчету напряженно-деформированного состояния катализаторных трубок реформера, при этом распространение фронта разрушения связывается с развитием плотной сети параллельных трещин аналогичного размера, направленных вдоль радиуса и развивающихся от внутреннего к внешнему радиусу поперечного сечения трубок. В [9] рассматривается расчет гнутых труб под действием внутреннего давления с применением метода конечных элементов. Время разрушения в этом случае определяется достижением параметром поврежденности в большинстве точек Гаусса конечных элементов поперечного сечения значения, равного 0,99. Методы расчета движения линии фронта разрушения в зависимости от времени в рамках модели Ю.Н. Работнова обсуждаются также в [10]. В [11] представлен подробный обзор по анализу деформирования и разрушения при ползучести труб, с использованием различных моделей, в том числе модели Качанова-Работнова. Аналогичные подходы для расчета стержней и оболочек в условиях агрессивной среды рассмотрены Локощенко [12, 13]. Плоские вращающиеся диски и растягиваемые пластины исследуются в работах Хейхерста [14, 15], при этом для моделирования фронта разрушения используется подход, при котором параметр поврежденности ограничивается значением порядка 0,7. Применение метода конечных элементов для расчета плоского вращающегося диска до начала разрушения рассмотрено в [16]. В [17] моделируется разрушение плоского вращающегося диска с учетом двухстадийности в условиях ортотропного накопления повреждений. Отметим также, что исследование вращающихся дисков вплоть до начала разрушения в геометрически нелинейной постановке с использованием моделей Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова методами численной аппроксимации можно найти в работах [18-21]. Развитие методов нейросетевого моделирования для определения установившегося напряженного состояния в сплошном вращающемся диске рассмотрено в [22]. В настоящей работе с учетом двухстадийности проведено исследование напряженно-деформированного состояния и длительности до разрушения вращающегося диска с гиперболической формой поверхности в зависимости от выбора варианта кинетической теории ползучести. Сравниваются два подхода в формулировке Ю.Н. Работнова и Л.М. Качанова. Предполагается, что разрушение имеет хрупкий характер. Такой вид разрушения наблюдается для большей части деталей энергооборудования, работающих в условиях ползучести [1, 5]. В этом случае для расчета можно использовать приближенный численный метод [23], при котором упругие деформации не учитываются и решение задачи неустановившейся ползучести сводится к решению аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести материала. Чтобы получить истинное решение, необходимо известное решение установившейся ползучести умножить на некоторые функции координат и времени, для которых выписана система уравнений. Метод ранее был развит для кольцевых осесимметрично нагруженных пластин в условиях изгиба [24-26] и толстостенных сосудов (труб), нагруженных внутренним давлением [27, 28]. Для диска исследуется продолжительность стадий в зависимости от приложенных нагрузок, формы диска, а также от размера внутреннего отверстия. 1. Определяющие и разрешающие соотношения Для описания физических свойств материала используется кинетическая теория Ю.Н. Работнова в виде ; (1) . (2) Здесь через обозначены константы ползучести и длительной прочности материала; - компоненты тензоров скоростей деформаций ползучести и напряжений; W - удельная мощность рассеяния энергии, ; - эквивалентные напряжения, являющиеся однородными относительно напряжений функциями первой степени; и - функции, зависящие от параметра поврежденности , вид которых будет конкретизирован ниже. В качестве эквивалентного напряжения могут быть интенсивность напряжений (критерий Мизеса), максимальное касательное напряжение (критерий Треска) и другие функции. В качестве эквивалентного напряжения могут быть (критерий длительной прочности Каца), максимальное нормальное напряжение (критерий длительной прочности Джонсона) и другие критерии. Детальный обзор, посвященный критериям длительной прочности, можно найти в [29]. Среди последних можно отметить работы [30-32], в которых обсуждаются вопросы выбора критерия разрушения при ползучести в условиях многоосного напряженного состояния, в том числе при прогнозировании длительности до разрушения валов с выточками при растяжении. Выбор критерия разрушения в условиях сдвига при кручении сплошных валов и трубчатых образцов рассмотрен в [33, 34]. Параметр в (1), (2) описывает с феноменологических позиций накопление повреждений в процессе ползучести материала. Время начала разрушения тела (продолжительность первой стадии) вычисляется из условия достижения параметром в какой-то точке с координатами своего критического значения, равного нулю. Отметим, что уравнения (1), (2) получены путем преобразования уравнений теории Ю.Н. Работнова, используемых в привычном виде путем замены аналогично тому, как это сделано в [26, 27] с целью упрощения вида математических выражений. В зависимости от выбора функций и констант материала система (1), (2) может представлять различные варианты теории ползучести. Если , то мы имеем вариант кинетической теории, из которой вытекают частные случаи: теория кратковременной ползучести [35]; энергетический вариант ползучести и длительной прочности [21, 36, 37]; теория упрочнения с различными ее модификациями [26, 38, 39]. Если , то получаем вариант кинетической теории ползучести в формулировке Л.М. Качанова [6]. Для сравнительного анализа подходов Л.М. Качанова и Ю.Н. Работнова в дальнейшем принимается, что , , , где - константы ползучести. 1.1. Разрешающие уравнения и время начала разрушения осесимметрично нагруженного вращающегося диска Рассматривается равномерно нагретый тонкий диск, внутренний, наружный и текущий радиусы которого ,, , толщина диска , причем , - константа (рис. 1). Ось z направлена перпендикулярно плоскости диска, а оси как обычно [6]. Касательными напряжениями и напряжениями в направлении оси z пренебрегаем, т.е. предполагаем, что в диске реализуется плоское напряженное состояние (). Материал считаем несжимаемым и из уравнений Коши имеем ; . Здесь - радиальная скорость перемещения произвольной точки диска, - окружная, радиальная и осевая компоненты тензора скоростей деформаций ползучести. h(r) Рис. 1. Схема диска Fig. 1. Schematic image of the disk Уравнение равновесия в любой момент времени при . (3) Граничные условия на внутреннем и наружном радиусах диска: , , где p - равномерное растягивающее усилие у внешнего обода диска; , g - плотность материала диска, - его угловая скорость. Интегрируя уравнение (3) с учетом зависимости толщины диска от радиуса и граничных условий, получаем , (4) . (5) Выберем в (1), (2) в качестве и максимальное касательное напряжение и ограничимся случаем, когда в каждой точке диска в любой момент времени вплоть до разрушения . Тогда и система (1), (2) принимает вид (6) (7) Так как , то , и отсюда следует, что является функцией только времени, т.е. . Тогда . (8) Учитывая (5), (6) и (8), , (9) где . (10) Подставляя (9) в уравнение для параметра поврежденности (7) и в (5), получаем (11) , (12) . (13) Таким образом, задача о расчете напряженно-деформируемого состояния диска и времени начала его разрушения свелась к решению системы уравнений (11), (12). Аналогичные системы уравнений для кольцевых пластин, нагруженных осесимметричным моментом, и труб, находящихся под внутренним давлением, получены и исследуются в [25-28]. После интегрирования (11) имеем , (14) где . После подстановки (14) в (12) для определения получаем уравнение . (15) Начальные условия . В случае когда β = 1, решение системы (14), (15) можно получить в аналитическом виде , (16) Здесь - время начала разрушения, определенное согласно (13). Если β ≠ 1, то решение уравнения (15) можно получить численно. После замены уравнение (15) перепишется в виде . (17) Для решения последнего уравнения с начальными условиями можно применить любой из известных методов, предназначенных для решения дифференциальных уравнений, например Рунге-Кутты-Мерсона. Решив (17), найдем и соответственно , а затем из (14) - . Зная эти функции, вычисляем из (9) , из (4) - , а из (8), (10) находим и . Учитывая предположение , напряжение , соответствующее решению в предположении установившейся ползучести материала, достигает максимального значения на внутренней стороне диска. Время начала разрушения диска определяем из условия . Из (13), (14) следует, что разрушение начинается при . В [28] рассмотрены условия, наложенные на константы материала, для того чтобы интеграл, стоящий в левой части равенства (11), имел смысл в случае. Пусть . Тогда согласно (14) , а система (1), (2) есть вариант кинетической теории ползучести в формулировке Л.М. Качанова [6]. Из (15) получаем, что , а из (4), (8)-(10) следует, что напряженно-деформированное состояние является стационарным. Из (14) находим (18) Согласно (13) представляет собой время начала разрушения диска и . 1.2. Продолжительность движения фронта разрушения Вычисление продолжительности движения фронта разрушения является одной из актуальных для практики задач. В зависимости от типа решаемой задачи (например, при учете температурного поля) и используемого уравнения накопления повреждений разрушение может начинаться на внешней поверхности конструкции или даже в некоторой внутренней точке. Применительно к рассматриваемой задаче имеем, что в момент времени разрушается внутренняя поверхность диска. В дальнейшем фронт разрушения, граница которого представляет собой окружность радиусом , перемещается в сторону наружной поверхности диска (см. рис. 1). Для выполняется условие , причем , , - время разрушения диска. Здесь и ниже индексом «f» будут помечаться соответствующие параметры и функции, относящиеся к фронту разрушения. В любой момент времени величины и вычисляются согласно (5), (10), (13) с заменой на . Напряжения и по-прежнему вычисляются по формулам (4) и (9). Выполняя те же преобразования, что и раньше, на момент времени вместо (11), (12) получаем (19) . (20) Интегрируя (19), будем иметь вместо (14) . На линии фронта имеем , т.е. с учетом (13) (21) Используя (21), для функции повреждения получаем , если (22) и (20) приводится к виду . (23) Для получения уравнения движения фронта разрушения продифференцируем выражение (21) по t , применяя правило дифференцирования интеграла по параметру. В данном случае в роли параметра здесь выступает t. После ряда операций получаем . (24) Дифференциальное уравнение (24), учитывая (23), можно привести к виду (25) где . Проинтегрировав (25), получаем уравнение для определения и продолжительность распространения фронта разрушения : При для функции повреждения и продолжительности распространения фронта разрушения получаем , если , 2. Результаты и обсуждение Исследуем влияние выбора варианта кинетической теории ползучести и геометрических размеров диска на продолжительность первой и второй стадий. Для вычислений используются следующие константы материала: МПа-n/ч, , МПа-g-1/ч [26, 27]. На рис. 2 при и на рис. 3 при приведены результаты расчета по формулам (4), (9), (14) и (22) функции повреждения и напряжений в сечении на некоторые моменты времени. Размеры диска:м, м, (). На наружном контуре диск нагружен растягивающим усилием МПа, для вращения принято МПа1/2/м. На рис. 2 линии 1-4 соответствуют стадии скрытого разрушения при , где ч. Линии 5-7 на рис. 2 - достижение линией фронта на стадии его распространения значений м, что соответствует моментам времени , где ч. Аналогично на рис. 3 (вариант теории ползучести в формулировке Л.М. Качанова ) линии 1-4 (для напряжений совпадают) соответствуют , где ч. Линии 5-7 на рис. 3 - достижение линией фронта значений м, при соответственно, ч. В этом случае перераспределение напряжений вплоть до начала разрушения отсутствует, т.е. состояние стационарно, что согласуется с выводами, сделанными в [6, с. 170], при этом функция имеет вид подобный, изображенному на рис. 2, a. В табл. 1-4 представлены результаты расчетов продолжительности первой стадии , общее время двух стадий , а также отношение в зависимости от и(м). Символ «i», равный 1, означает, что величины относятся к расчету в предположении кинетической теории Ю.Н. Работнова (); - расчет с использованием теории Л.М. Качанова (). Анализируя приведенные в табл. 1 результаты расчетов, полученные для двух дисков с плоской (,) и гиперболической формой поверхности (, ), видим, что с увеличением а б в Рис. 2. Зависимости (а); (б) и (в) при . Линии 1-4 соответствуют моментам времени . Линии 5-7 - Fig. 2. Dependences (a), (b) and (c) at . Lines 1-4 correspond to the moments of time . Lines 5-7 - а б в Рис. 3. Зависимости (а); (б) и (в) при . Линии 1-4 совпадают для напряжений и соответствуют моментам времени . Линии 5-7 - Fig. 3. Dependences (a), (b) and (c) at . Lines 1-4 coincide for stresses and correspond to instants of time. For lines 5-7 it is скорости вращения продолжительность стадий меняется на порядок, при этом почти не изменяется. Для диска с гиперболической формой поверхности (,) расчет с использованием теории Ю.Н. Работнова показал, что вторая стадия составляет всего порядка 2 % продолжительности первой стадии, т.е. фактически отсутствует. В табл. 2 приведены результаты расчета в зависимости от формы поверхности диска, т.е. в зависимости от константы k, когда и 4. При и имеем отношение соответственно, аналогично при , отношение . В обоих случаях можно сделать вывод, что с увеличением k время увеличивается на порядок, при этом уменьшается. Следует отметить, что для диска из табл. 2 при и более начинает нарушаться условие () при , т.е. в предположении установившейся ползучести материала окружное напряжение вблизи внешнего обода диска начинает превосходить тангенциальное . С увеличением и уменьшением эта разница растет. В этом случае более интенсивный процесс накопления повреждений и соответственно разрушения может начаться с внешней стороны диска, и потребуется анализ с учетом иного характера напряжено-деформированного состояния. Необходимое условие выполнения неравенства для плоского растягиваемого диска () приведено в [6, с. 170]: . В нашем случае и при должно выполняться . При условие для констант, при которых , можно получить исходя из (4), (9): при . Если , то должно выполняться . Таблица 1 Продолжительность стадий в зависимости от угловой скорости вращения, МПа Table 1 The stages duration depending on the angular velocity of rotation, MPa № b0/a0 k , МПа1/2/м 103 ч , 103 ч , % 103 ч , 103 ч , % , % 1 4 0 0 266,60 298,45 11,9 156,85 217,03 38,4 73 2 4 0 30 120,77 135,42 12,1 71,05 98,97 39,3 73 3 4 0 70 8,97 10,10 12,7 5,28 7,49 42,0 74 4 2 0,5 0 79,32 80,57 1,57 59,59 66,61 11,8 83 5 2 0,5 30 35,84 36,43 1,64 26,92 30,27 12,4 83 6 2 0,5 70 2,64 2,69 1,84 1,99 2,27 14,5 84 Таблица 2 Продолжительность стадий в зависимости от формы поверхности диска, МПа Table 2 Duration of the stages depending on the shape of the disk surface, MPa № b0/a0 k , МПа1/2/м 103 ч , 103 ч , % 103 ч , 103 ч , % , % 1 4 1,5 70 499,82 507,64 1,6 336,02 399,45 18,9 79 2 4 1 70 119,40 126,96 6,3 76,72 95,44 24,4 75 3 4 0,5 70 30,95 33,76 9,1 19,01 25,1 32,1 74 4 4 0 70 8,97 10,10 12,7 5,28 7,49 42,0 74 5 2 1,5 0 586,39 592,48 1,04 454,23 494,92 9,0 84 6 2 0,5 0 79,32 80,57 1,57 59,59 66,61 11,8 83 7 2 0 0 31,80 32,40 1,9 23,52 26,70 13,5 82 Таблица 3 Продолжительность стадий в зависимости от радиуса внутреннего отверстия, МПа Table 3 Stages duration depending on the inner hole radius, MPa № b0/a0 k , МПа1/2/м 103 ч , 103 ч , % 103 ч , 103 ч , % , % Плоский растягиваемый диск 1 8,55 0 0 472,39 660,47 39,8 232,80 444,15 90,8 67 2 5 0 0 351,86 414,69 17,9 195,08 293,10 50,2 71 3 4 0 0 266,60 298,45 11,9 156,85 217,03 38,4 73 4 2 0 0 31,80 32,40 1,9 23,52 26,70 13,5 82 5 1,67 0 0 9,09 9,17 0,85 7,23 7,89 9,1 86 Вращающийся диск 6 5 0,5 70 49,05 55,31 12,8 28,63 39,79 39,0 72 7 4 0,5 70 30,95 33,76 9,1 19,01 25,10 32,1 74 8 2 0,5 70 2,64 2,69 1,84 1,99 2,27 14,5 84 Таблица 4 Продолжительность стадий в зависимости от растягивающего усилия , Table 4 Duration of stages depending on the tensile pressure , № b0/a0 k , МПа 103 ч , 103 ч , % 103 ч , 103 ч , % , % 1 4 0 20 266,60 298,45 11,9 156,85 217,03 38,4 73 2 4 0 30 25,90 28,99 11,9 15,24 21,09 38,4 73 3 4 0 40 4,95 5,55 11,9 2,91 4,03 38,4 73 Из сравнения результатов расчета, приведенных в табл. 3 для плоского растягиваемого диска (,) и вращающегося диска с гиперболической формой поверхности (, ), следует, что варьирование внутреннего радиуса существенно влияет на время начала разрушения и на отношение . Расчет по модели Л.М. Качанова показывает, что продолжительность второй стадии для плоского растягиваемого диска может быть сопоставима с продолжительностью первой скрытой стадии разрушения. В табл. 4 для плоского растягивающегося диска (,,) приведены результаты расчетов при варьировании растягивающего усилия , приложенного к внешнему ободу диска. Как видно из таблицы, с увеличением время уменьшается на порядок, при этом отношение не меняется. Анализ данных таблиц показывает, что во всех случаях при этом . Общее время продолжительности двух стадий при расчете по теории Ю.Н. Работнова больше, чем при расчете по теории Л.М. Качанова, отношение составляет 65-85%. Расчет по модели Качанова дает заниженную оценку времени разрушения. Эта модель не учитывает перераспределения напряжений на стадии скрытого разрушения [6]. В пользу теории, учитывающей перераспределение напряжений, свидетельствует характер распределения замеренных остаточных напряжений в охрупченном диске после эксперимента [40]. Однако величины , , определяемые согласно (16), (18), могут быть полезны при получении оценок времени снизу и сверху [41, 42], не прибегая к большому объему вычислений. На рис. 4 для трех дисков № 1 табл. 3 (штриховые линии 1 и 2), № 7 табл. 3 (сплошные линии 3 и 4) и № 6 табл. 1 (пунктирные линии 5 и 6) изображено движение линии фронта разрушения в зависимости от времени в относительных координатах «», где , . Кривые 1, 3, 5, расположенные ниже, соответствуют расчету с использованием варианта теории ползучести в формулировке Л.М. Качанова. Верхние кривые 2, 4, 6 - расчет в предположении теории Ю.Н. Работнова. Основное время второй стадии порядка 75-85% по модели Л.М. Качанова и 85-90% по модели Ю.Н. Работнова приходится всего на 20% рабочей части радиуса диска . Рис. 4. Движения фронта разрушения в зависимости от времени в относительных координатах «» Fig. 4. The fracture front motion depending on time in relative coordinates «» Заключение Проведено исследование напряженно-деформированного состояния и длительности до разрушения в условиях ползучести тонкого вращающегося и растягиваемого диска с гиперболической формой поверхности методом, использованным ранее для расчета кольцевых пластин в условиях изгиба и труб под действием внутреннего давления. В основе уравнений, описывающих поведение материала, лежит кинетическая теория ползучести с учетом накопления повреждений. Предполагается, что на первой стадии деформирования происходит накопление повреждений и начало разрушения диска в области, где накопленные повреждения достигают критического значения. На второй стадии происходит распространение фронта разрушения и полное разрушение диска. Метод расчета состоит в том, что упругие деформации не учитываются и решение задачи неустановившейся ползучести сводится к решению аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести материала. Считается, что касательные напряжения и напряжения в направлении оси вращения диска малы, т.е. в диске приближенно реализуется плоское напряженное состояние. Чтобы получить истинное решение, необходимо известное решение установившейся ползучести умножить на некоторые функции координат и времени. Для нахождения этих функций выписана соответствующая система уравнений. Исследована продолжительность стадий в зависимости от выбора варианта кинетической теории ползучести в формулировках Ю.Н. Работнова и Л.М. Качанова. На основе полученных результатов сделаны выводы: 1. Отношение продолжительности второй стадии распространения фронта разрушения к продолжительности первой стадии скрытого разрушения, как и в случае труб, находящихся под действием внутреннего давления, может составлять от десятых процента до нескольких десятков процентов. 2. При уменьшении размера радиуса внутреннего отверстия диска продолжительность второй стадии может быть сопоставима с продолжительностью первой стадии, при этом общее время разрушения увеличивается на порядок. 3. Увеличение степени гиперболичности формы поверхности уменьшает отношение продолжительности второй стадии к продолжительности первой стадии. 4. Изменение нагрузки слабо влияет на отношение продолжительности второй стадии к продолжительности первой стадии, при этом сама длительность стадий может увеличиваться на порядок. 5. Во всех рассмотренных случаях получено, что продолжительность первой стадии по модели Ю.Н. Работнова больше, чем по модели Л.М. Качанова, при этом отношение длительности второй стадии к длительности первой стадии по модели Ю.Н. Работнова меньше, чем по модели Л.М. Качанова. 6. Анализ движения фронта разрушения показал, что основное время второй стадии (порядка 75-85% по модели Л.М. Качанова и 85-90% по модели Ю.Н. Работнова) приходится всего на 20% рабочей части радиуса диска.

About the authors

I A Banshchikova

M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics

References

Statistics

Views

Abstract - 245

PDF (Russian) - 113