Full Text

Введение Разработка эффективных схем идентификации неоднородных механических свойств цилиндрических волноводов представляет собой актуальную задачу механики и математического моделирования. Подобные трубчатые элементы имеют широкий спектр применения - от строительной до ресурсотранспортирующей промышленности. Отметим, что возникающие в однородных цилиндрических структурах волновые процессы изучены достаточно подробно [1-5]. Основные трудности, возникающие при решении задачи идентификации физических характеристик неоднородных цилиндрических областей, связаны с разнообразием возможных вариантов неоднородностей, которые могут иметь как локальный (неоднородные включения, дефекты и т.д.), так и распределенный характер (например, продольная или радиальная неоднородность). Наличие неоднородной структуры значительно усложняет анализ волновых процессов, возникающих в плоских или цилиндрических волноводах, поскольку в отличие от однородного случая не удается построить явные представления волновых полей в волноводе, а возникающие при этом дифференциальные операторы представляют собой операторы с переменными коэффициентами [6-14]. Так в работе [8] рассмотрена задача рассеяния звуковой волны радиально-неоднородным полым изотропным цилиндром, окруженным вязкой жидкостью. Построены волновые поля, возникающие как в самом рассеивателе, так и в жидкой среде. Смещения в упругой части волновода представлены в виде рядов Фурье, коэффициенты разложения которых определяются из численного решения системы дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Случай неоднородного полого изотропного цилиндрического волновода исследован в работе [9], в которой осуществлен анализ дисперсионных соотношений с произвольным законом изменения модулей упругости по радиальной координате; влияние на характер дисперсионного множества поля предварительных напряжений (ПН) изучено в работе [10]. Обратная задача идентификации неоднородного поля предварительных напряжений в плоском случае рассмотрена в работе [11]. Разработаны численные схемы реконструкции неоднородного поля ПН на основе анализа амплитудно-частотной характеристики на внешней поверхности при установившихся колебаниях в режиме частотного и позиционного зондирования. В работе [12] предложен эффективный подход для дисперсионного анализа трех типов неоднородных волноводов (плоских, цилиндрических), погруженных в акустическую среду. Предлагаемый подход основан на полуаналитическом варианте метода конечного элемента. Задачи о расчете статического напряженно-деформированного состояния цилиндрических областей (толстостенных труб) с учетом различных вариантов неоднородностей рассмотрены в работе [13]. Показано влияние изменения соотношения толщин слоев однородного и неоднородного материала на значения продольной и окружной деформации на внешней поверхности трубы при действии постоянного внутреннего давления. Стоит отдельно выделить важный класс обратных задач, связанный с определением механических параметров для цилиндрических волноводов с покрытиями. При этом особый интерес представляет именно задача восстановления свойств упрочняющих или защитных слоев-покрытий. Практический потенциал поверхностных слоев охватывает широкий круг важных инженерно-практических задач, таких как защитная функция объекта от внешнего воздействия (температурные или коррозийные негативные воздействия); ускорение или замедление физических, химических или механических процессов; улучшение акустического фона (в случае рассеивателей с покрытиями). Перечисленные выше аспекты применимости волноводов с покрытиями доказывают актуальность поставленной задачи. К настоящему времени интерес исследователей направлен в основном на решение прямых задач для цилиндрических волноводов с покрытиями, построение дисперсионных соотношений и механических полей. При этом стоит отметить, что исследования проводятся в нескольких направлениях, в зависимости от способа моделирования покрытия. Одним из способов математического моделирования является представление волновода в виде многослойной структуры, граничным слоем которого является покрытие. В этом случае граничные условия стыковочной зоны задаются как условия полного контакта. Такой способ описания дает возможность точного учета толщин слоев, в частности толщины покрытия. Однако стоит учитывать, что в процессе технического изготовления и дальнейшей эксплуатации возможно появление микродефектов, что может внести расхождения между теоретическими и экспериментальными данными, а также привести к снижению эксплуатационной способности объекта [15-18]. Следующий вариант математического моделирования слоя-покрытия - описание цилиндрического волновода в виде функционально-градиентного материала (ФГМ) с сильно отличающимися значениями соответствующих механических характеристик на границе волновода и покрытия в промежуточном слое, возникающем при спекании подложки и покрытия. В этом случае можно лишь примерно (в процентном соотношении) указать толщину слоя покрытия. Исследования в этом направлении проведены в работе [19], в которой рассмотрена стационарная задача для неоднородного изотропного цилиндра из ФГМ под действием внутреннего давления. Решена задача о плоском напряженном состоянии. Исследованы зависимости полей напряжений и деформаций от различных законов изменения функций, характеризующих коэффициенты Ляме и Пуассона, которые задавались по законам теории смесей и степенным законам. Показано, что влияние коэффициента Пуассона на результирующие механические поля существеннее, чем коэффициента Ляме, особенно в случае если пограничные значения этой характеристики на внутренней и внешней границах толстого цилиндра сильно различаются. Этот вывод должен быть учтен при эксплуатации цилиндрических элементов конструкций с титановым покрытием, в которых наблюдается сильное отличие между граничными значениями соответствующего коэффициента. В работе [20] рассмотрено импульсное воздействие на однородный упругий цилиндр с покрытием. Импульсы были сгенерированы по «линейному источнику» импульсным лазером и определялись методом оптического лучевого отклонения, обеспечивающим информацию о распространении импульса бесконтактным способом. Контактная зона покрытие-подложка соответствует «сварному шву», когда покрытие жестко спаяно с подложкой. Экспериментальный образец был изготовлен по следующему принципу: в полую стальную трубу вливается сплав олова и охлаждается до комнатной температуры. Получены дисперсионные соотношения поверхностных акустических волн (ПАВ) и осуществлено сравнение с экспериментальными данными. Был проведен анализ зависимости ПАВ от различных значений толщины покрытия при условии, что длина волны соизмерима с толщиной покрытия. Для плоских волноводов также разработаны и реализованы эффективные методы анализа волновых полей, возбуждаемых поверхностной нагрузкой. Так, в [21] рассмотрено упругое полупространство с непрерывной зависимостью свойств по глубине. Проанализировано влияние свойств неоднородного покрытия на характер поверхностных акустических волн. Особое внимание ученых обращено к технической стороне вопроса, в частности к способам и экспериментальным установкам измерения механических полей и их характеристик для объектов с покрытиями. В работе [22] представлена измерительная система и методика обработки полученного сигнала для точного измерения скорости поверхностной волны в упругих цилиндрах с покрытием. Получены и сопоставлены теоретические и экспериментальные данные. Задачи, связанные с дифракцией волн в волноводных системах с покрытиями, возникают в акустике, гидроакустике, оптике. Изучению влияния покрытия, его характера и толщины на рассеянные акустические и гидроакустические поля посвящены работы многих отечественных и зарубежных авторов [23-27]. Из работ российских исследователей особое внимание стоит уделить работам Л.А. Толоконникова и его учеников [17-19], в которых исследовалось рассеяние акустических волн для различных типов покрытий цилиндрических волноводов, находящихся в акустической среде. В [17] рассмотрена задача о рассеянии плоской звуковой волны, набегающей на упругий однородный цилиндр, покрытый неоднородным по толщине изотропным упругим слоем. Построены отраженные волновые поля, а также упругие поля смещений в цилиндре и в покрытии. Неоднородные характеристики покрытия представлены в виде степенных рядов. Приведены диаграммы направленности рассеянных полей в дальней зоне, анализ которых подтверждает влияние характера неоднородности и его относительной «волновой» толщины на результирующие рассеянные поля. При этом наличие самого покрытия оказывает существенное влияние на всю картину диаграммы направленности. Аналогичная задача для цилиндрического волновода с неоднородным покрытием, помещенным в плоский волновод с акустически мягкими границами, рассмотрена в [18]. В [23] исследована задача управления пассивным потоком для уменьшения интенсивности звука от двух последовательно расположенных цилиндров с пористым покрытием. В работе доказана эффективность пористой обработки цилиндров для управления потоками вихрей в области зазора между двумя обтекаемыми телами и тем самым для управления аэродинамическим звуком, генерации тонального и широкополосного шума. Представлены численные результаты акустических волн для цилиндров без покрытия и цилиндров с пористым покрытием с разной пористостью и толщиной. Достаточно большое количество работ посвящено изучению влияния покрытия (однородного и неоднородного, упругого и пьезоупругого) цилиндрических оболочек [28-29] на характер механических и электрических полей. В настоящей работе рассмотрена задача идентификации неоднородных свойств изотропного цилиндрического волновода. Обратная задача решается на основе анализа данных о полях смещений, полученных в результате двух режимов воздействия на объект исследования - нормальных и крутильных колебаний. Предлагаемая схема позволяет определить три переменные характеристики волновода - коэффициенты Ляме и плотность. Также с применением разработанного подхода рассмотрены два примера идентификации свойств неоднородного покрытия однородного волновода, характеристики которого существенно отличны от характеристик волновода и имеют функционально-градиентный характер. 1. Постановка задачи Рассмотрим обратную коэффициентную задачу об идентификации неоднородных свойств полого изотропного цилиндрического волновода, занимающего область , где , - внутренняя и внешняя границы области, ось волновода совпадает с осью Oz. Внутренняя граница жестко защемлена. Исследуемая область находится под действием нагрузки , приложенной к части внешней поверхности на участке . Рассматривается режим установившихся колебаний, т.е. (где). Обратная коэффициентная задача состоит в идентификации неоднородных свойств волновода, которые представляются в виде функций, меняющихся по толщине цилиндрического волновода , характеризующих коэффициенты Ляме и плотность среды. Для решения задачи идентификации рассмотрим два режима воздействия на объект исследования. Первый режим определяется крутильными колебаниями волновода, возбуждаемыми внешней нагрузкой (Задача 1). При таком режиме колебаний ненулевой компонентой вектора перемещения будет компонента . Второй режим соответствует возбуждению в цилиндрическом волноводе нормальных колебаний, которым отвечают вектор внешней нагрузки с компонентами и соответствующий вектор перемещений (Задача 2). Ввиду установившегося режима колебаний краевые задачи, описывающие крутильные и нормальные колебания исследуемой области, после отделения временного множителя имеют определенный вид. Задача 1: (1.1) причем (1.2) Обратная задача 1 состоит в определении функций и по дополнительной информации о поле перемещения, измеренного вдоль внешней границы цилиндрического волновода , в режиме частотного зондирования. (1.3) Задача 2: (1.4) причем (1.5) Обратная задача 2 состоит в нахождении функций и по дополнительной информации о полях смещений, измеренных на границе при частотном зондировании. (1.6) Замыкают постановку задачи условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения [30]. Примечание. Сформулированные постановки обратных задач и описанная далее методика их решения позволяют исследовать еще один важный класс обратных задач - задачи об идентификации свойств неоднородного покрытия цилиндрических волноводов. Это возможно для случаев, когда покрытие и промежуточный слой между покрытием и волноводом, где может происходить взаимное проникновение материалов, моделируются функционально-градиентным материалом с резким градиентным перепадом характеристик. При этом свойства основного волновода считаются известными. 2. Построение схемы решения обратных задач Применим преобразование Фурье по координате к краевым задачам 1 и 2. Введем следующие обозначения трансформант Фурье: Тогда задачи 1 и 2 после несложных преобразований перепишутся в компонентах трансформант Фурье. Задача 1: (2.1) Дополнительное условие: Задача 2: (2.2) Дополнительные условия: . Для обезразмеривания задач введем следующие безразмерные переменные и функции: (2.3) В последующих выкладках для удобства записи знак «*» в обозначениях будем опускать. Обезразмеренная задача 1 запишется как (2.4) Обезразмеренная задача 2 перепишется в виде (2.5) Для дальнейшего исследования задач (2.4), (2.5) осуществим следующее преобразование, представив поля смещения в виде разложения по степеням параметра преобразования : (2.6) Сформируем операторные коэффициенты при одинаковых степенях параметра . Отметим, что для решения поставленной обратной задачи достаточно будет рассмотреть задачу, которая соответствует нулевой степени параметра , т.е. относительно средних функций нулевого порядка. (2.7) (2.8) Заметим, что в задачу (2.7) входят только две восстанавливаемые функции и , а в задачу (2.8) входят все три неизвестные функции. Поэтому дальнейшее исследование сводится к их поэтапному восстановлению. Рассмотрим обратные коэффициентные задачи (2.7) и (2.8). Они являются существенно нелинейными, в связи с чем для их решения проведем процедуру линеаризации, представив неизвестные функции в виде суммы двух функций - начального приближения (с индексом 0) и поправки относительно начального приближения (с индексом 1): (2.9) Выписывая коэффициенты перед одинаковыми степенями параметра линеаризации , получим следующие линеаризованные задачи. Задача 1: (2.10) (2.11) Задача 2: (2.12) (2.13) Решение прямых задач (2.10) и (2.12) относительно функции и при известных (заданных в дискретном наборе точек или в явном виде) функциях ввиду переменности коэффициентов возможно лишь численно с привлечением конечно-разностных схем, метода пристрелки или путем сведения к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с последующим его решением. В настоящей работе используется метод пристрелки [31]. Для решения обратной коэффициентной задачи построим итерационные процессы, на каждом шаге которых решаются системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода относительно поправок к восстанавливаемым функциям. Для получения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода умножим дифференциальное уравнение (2.10) на , а дифференциальное уравнение (2.11) на , проинтегрируем по в пределах и вычтем из первого выражения второе; с учетом граничных условий, а также дополнительного условия получаем следующее интегральное уравнение (ИУ): (2.14) Далее, умножим второе дифференциальное уравнение (2.12) на , и второе дифференциальное уравнение (2.13) на , затем проинтегрируем по в пределах и вычтем из первого выражения второе, с учетом граничных условий и дополнительного условия получаем второе ИУ: (2.15) Таким образом, получили два ИУ Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами относительно функций поправок . Решение ИУ (2.12) и (2.13) ввиду их некорректности возможно с привлечением методов регуляризации, например метода А.Н. Тихонова [32]. Заметим, что ядра ИУ заданы лишь численно и согласно итерационной схеме, описанной ранее в [33-35], дополняются результатами численных решений прямых задач (2.10) при заданных начальных значениях с последующей корректировкой соответствующих функций на каждом шаге итерации. В результате работы итерационной схемы на первом этапе получены значения неизвестных функций и в наборе точек. Полученный результат далее используется при решении обратной задачи восстановления функции . Для формулировки интегрального уравнения относительно поправки неизвестной функции умножим первое дифференциальное уравнение (2.12) на , а первое дифференциальное уравнение (2.13) на , затем проинтегрируем каждое по в пределах и вычтем из первого выражения второе. В результате получим третье ИУ Фредгольма 1-го рода с гладким ядром (2.16) Полученное ИУ позволяет построить итерационный процесс восстановления третьей функции на втором этапе. 3. Вычислительные эксперименты В соответствии с предложенным подходом были проведены вычислительные эксперименты по восстановлению неизвестных безразмерных функций , и полого цилиндрического волновода с помощью разработанных итерационных схем. Начальное приближение строилось в классах линейных и постоянных функций , определяющихся из условия минимума функционала невязки на построенном по априорной информации компактном множестве. Выход из итерационного процесса во всех экспериментах производился либо по числу итераций (), либо по условию величины невязки при . Внутренний безразмерный радиус волновода в первых двух экспериментах (примеры 1-2) полагался равным , в третьем (пример 3) рассматривался случай тонкостенного цилиндра, Далее приведены примеры восстановления функций различного характера монотонности. На графиках сплошной линией обозначена восстанавливаемая функция, пунктиром - начальное приближение, точками - восстановленная функция. Пример 1. Случай монотонно возрастающих квадратичных законов изменения неоднородных характеристик волновода , , . Начальные приближения найдены в виде , , . В ходе анализа АЧХ для каждого из этапов для восстановления были выбраны соответственно частотные диапазоны и , для первого этапа потребовалось 11 итераций, для второго 6 итераций. Погрешность не превосходит 3%. На рис. 1 и 2 представлены результаты восстановления для первого и второго этапов соответственно. Пример 2. Случай немонотонных законов изменения неоднородных характеристик волновода: , , . Начальные приближения найдены в виде , , . Для восстановления были выбраны частотные диапазоны и , потребовалось 9 и 5 итераций соответственно (рис. 3-4). Погрешность не превосходит 8 %. Пример 3. Случай монотонных и немонотонных законов изменения неоднородных характеристик волновода: , , . Начальные приближения найдены в виде , , . Для восстановления были выбраны частотные диапазоны и , потребовалось 7 и 5 итераций соответственно (рис. 5-6). Погрешность не превосходит 8%. Рис. 1. Восстановление монотонных функций и на первом этапе Fig.1. Restoring monotonous functions and at the first stage Рис. 2. Восстановление монотонной функции на втором этапе Fig. 2. Restoring monotonous functions at the second stage Рис. 3. Восстановление немонотонных функций и на первом этапе Fig. 3. Restoring unmonotonous functions and at the first stage Рис. 4. Восстановление немонотонной функции на втором этапе Fig. 4. Restoring unmonotonous function at the second stage Рис. 5. Восстановление функций и для тонкостенного волновода на первом этапе Fig. 5. Restoring functions and for a thin-walled waveguide at the first stage Рис. 6. Восстановление функции для тонкостенного волновода на втором этапе Fig. 6. Restoring function for a thin-walled waveguide at the second stage Заметим, что функция, характеризующая плотность, восстанавливается хуже, чем параметры Ламе. В особенности это касается окрестности внутреннего радиуса. Также для тонкостенных волноводов восстановление характеристик производится с большей погрешностью, чем для толстостенных. Далее представлены результаты экспериментов по восстановлению параметров Ламе и плотности неоднородного функционально-градиентного покрытия, нанесенного на цилиндрический волновод и рассматривающегося как его составная часть, на основе описанной схемы. При этом предполагалось, что характеристики основного волновода известны, и требуется определить неизвестные характеристики самого покрытия и промежуточной зоны проникновения материала покрытия в основной материал (промежуточного слоя), которое может быть вызвано особенностями технологического процесса (например, спекания, оплавления). Толщина слоя, свойства которого требуется определить (зоны идентификации), состоит из толщины самого покрытия и толщины промежуточного слоя и, как правило, приблизительно известна, исходя из априорных данных и характеристик технологического процесса нанесения и закрепления покрытия. При этом в промежуточном слое обычно наблюдается существенный градиентный скачок характеристик при переходе от основного материала к материалу неоднородного покрытия. Для приведенных ниже примеров 4 и 5 внутренний радиус волновода полагался равным Толщина зоны идентификации, отложенной от внешнего радиуса, полагалась равной , и изложенная выше схема доработана с учетом необходимости восстановления искомых функций-характеристик лишь в зоне идентификации . В ней же производился поиск начальных приближений в классе констант. Пример 4. Случай упрочняющего покрытия: Начальные приближения найдены в виде Для восстановления были выбраны частотные диапазоны и , потребовалось 12 и 7 итераций соответственно (рис. 7-8). Пример 5. Случай низкомодульного покрытия: Начальные приближения найдены в виде Для восстановления были выбраны частотные диапазоны и , потребовалось 14 и 7 итераций соответственно (рис. 9-10). Погрешность идентификации характеристик покрытия в обоих примерах не превосходит 12 % на границах зоны идентификации и 6 % внутри этой зоны. Рис. 7. Восстановление функций и для упрочняющего покрытия на первом этапе Fig. 7. Restoring functions and for a strengthening coating at the first stage Рис. 8. Восстановление функции для упрочняющего покрытия на втором этапе Fig. 8. Restoring function for a strengthening coating at the second stage Рис. 9. Восстановление функций и для низкомодульного покрытия на первом этапе Fig. 9. Restoring functions and for a low-module coating at the first stage Рис. 10. Восстановление функции для низкомодульного покрытия на втором этапе Fig. 10. Restoring function for a low-module coating at the second stage Заключение Таким образом, в результате применения предложенной схемы идентификации неоднородных свойств волновода удается с достаточно неплохой точностью восстановить три функции: коэффициенты Ляме и плотность, что подтверждает работоспособность предлагаемого подхода. Также отметим, что разработанная схема оказалась применимой для идентификации характеристик функционально-градиентных покрытий, нанесенных на волновод, имеющих существенно отличные физические свойства.

About the authors

A O Vatulyan

Southern Federal University, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of I.I. Vorovich

O V Yavruyan

Southern Mathematical Institute of VSC RAS and RNO-A

I V Bogachev

Southern Federal University, Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of I.I. Vorovich

References

Statistics

Views

Abstract - 150

PDF (Russian) - 57