Full Text

Введение Одним из наиболее перспективных подходов к оценке целостности железобетонных конструкций является вибрационная диагностика, в основе которой лежит исследование вибрационных процессов, вызванных ударными нагрузками [1-3]. В этих подходах анализируются распространение ударной волны по исследуемой конструкции и влияние дефектов на этот процесс [4-12]. Математическое моделирование процесса распространения волн является важным элементом вибрационной диагностики [13-16]. Достоверность описания деформационного поведения элементов железобетонных конструкций при воздействии динамических нагрузок во многом определяется точностью соответствия упругих и диссипативных характеристик модели свойствам реального материала. Особенно актуален этот вопрос для бетона, так как для каждой конкретной конструкции механические свойства бетона могут различаться значительно [17-20]. Знание физико-механических свойств конкретных образцов бетона необходимо для верификации параметров моделей деформирования и прочности железобетона, используемых при анализе напряженно-деформированного состояния реальных конструкций [21]. Особенно важным становится этот вопрос для обеспечения адекватной работы аналитического блока систем долговременного деформационного мониторинга, которые требуют специальной настройки, чтобы обеспечить соответствие процессов, отображаемых численной моделью, реальным процессам, происходящим в инспектируемой конструкции. Значения основных механических характеристик бетона могут быть получены в испытаниях, регламентированных нормативными документами [22-24]. Однако среди этих испытаний практически отсутствуют подходы и методы, дающие возможность получить значения механических параметров, необходимых для моделирования динамических деформационных процессов. Обычно в этих моделях используют параметры, получаемые в статических экспериментах, но в этом случае они не могут обеспечить достоверность математического моделирования. Для идентификации физико-механических свойств материала могут быть использованы эксперименты по измерению скорости распространения упругих волн либо по регистрации затухающих свободных колебаний [25-32]. Одним из основных недостатков этих подходов является идеализация динамического вибрационного (или волнового) деформационного процесса при математической интерпретации экспериментальных измерений. Как правило, в этих математических моделях не учитывается трехмерность деформационного процесса, соответствующего конкретному экспериментальному образцу. Данная работа посвящена определению параметров вязкоупругой модели бетона на основе интерпретации результатов регистрации свободных колебаний бетонного образца, вызванных воздействием локализованной ударной импульсной нагрузки. В эксперименте регистрируется скорость на поверхности образца в момент контакта с ударником и скорость в характерных точках на поверхности образца. Интерпретация экспериментальных измерений реализуется на основе численных решений трехмерной начально-краевой задачи о свободных колебаниях образца, физические свойства которого описываются в рамках вязкоупругой модели. Искомые значения упругих и вязких характеристик бетона устанавливаются из предложенной итерационной последовательности численных решений. 1. Математическая модель собственных колебаний бетонного образца Математическая модель описывает свободные колебания бетонного образца, вызванные воздействием ударника. Образец имеет форму правильной призмы длиной L, с основанием в виде квадрата со стороной A (рис. 1, а). Объем призмы обозначим V, поверхность контактного взаимодействия ударника с образцом - Ss. На призму со стороны ударника воздействует импульсная сила F(t), зависимость которой от времени t показана на рис. 1, б. Длительность силового воздействия определяется величиной τ. а б Рис. 1. Расчетная схема (а) и форма силового импульса (б) Fig. 1. Calculation scheme (a) and force impulse shape (b) Напряженно-деформированное состояние образца, реализующееся при воздействии на него ударника, описывается следующими соотношениями: уравнения равновесия ; ; (1) геометрические соотношения ; (2) физические соотношения, учитывающие как упругость, так и вязкость бетона [33], . (3) Здесь - декартовы координаты точки; - поля тензоров напряжений, деформаций и скорости деформаций; - вектор перемещений, который зависит от аргументов и t; - время, существенно превышающее периоды свободных колебаний; - набла-оператор; , - первые инварианты тензоров деформации и скорости деформации; - единичный тензор; ρ - плотность; G - модуль сдвига; n - коэффициент Пуассона бетона в предположении изотропии свойств; β - параметр, определяющий вклад вязких сил в тензор напряжений. Граничные условия задаются в соответствии с условиями проведения эксперимента. В эксперименте бетонный образец подвешивался на тонких нитях, что обеспечивало возможность формулировки граничных условий в виде отсутствия усилий и связей на считающейся свободной поверхности образца. Следует отметить, что возникающее при этом напряжение от действия силы тяжести не может оказать существенного влияния на собственные колебания бетонного образца в силу малости напряженного состояния и большой изгибной жесткости образца [33]. В зоне контакта ударника с поверхностью образца действовала сила, направленная по нормали к поверхности. Значение ее определялось в эксперименте по данным акселерометра, установленного на ударнике. Зарегистрированное ускорение ударника массой в течение интервала контакта τ позволило рассчитать значение усилия, производимого ударником: . Таким образом, граничные условия описываются следующими уравнениями: , (4) где n - вектор нормали к поверхности образца. Начальные условия для скоростей и перемещений принимались нулевыми. Численное решение начально-краевой задачи (1)-(4) в трехмерной постановке было получено методом конечных элементов с использованием программного средства ANSYS. 2. Схема эксперимента и обработка данных Схемы экспериментов представлены на рис. 2. Образцом для испытаний является бетонная призма размерами 100×100×400 мм. Плотность бетона определялась взвешиванием образца, используемого в эксперименте, и в данном конкретном случае она составила 2464 кг/м3. Возбуждение свободных колебаний образца осуществлялось ударником, оснащенным акселерометром. При этом использовались две схемы возбуждения колебаний, что объясняется необходимостью определения двух упругих характеристик - модуля Юнга Е и упругого модуля сдвига G. Воздействие ударником вдоль продольной оси образца (рис. 2, а) приводит к возникновению свободных колебаний с доминирующими продольными модами. Их частоты в значительной степени определяются модулем Юнга Е. Воздействие ударником на боковую поверхность образца (рис. 2, б) приводит к возбуждению колебаний с доминирующими изгибно-крутильными формами. Для этих колебаний собственные частоты определяются в значительной степени упругим модулем сдвига G. Регистрация виброграмм перемещений в локальных точках образца по нормали к его поверхности осуществлялась лазерным виброметром Polytec PDV 100. Точки регистрации выбирались так, чтобы в них можно было зафиксировать доминирующие собственные формы. Алгоритм обработки экспериментальных данных опишем на примере продольных колебаний (см. рис. 2, а). Он состоит из нескольких этапов. На первом выделяется временная область τ, в пределах которой регистрируются свободные колебания. На экспериментальной виброграмме скорости (рис. 3, а) этот интервал соответствует 15-40 мс. Для этого сигнала строится Фурье-образ (рис. 3, б) и определяется значение доминирующей собственной частоты: в данном случае оно составило . На втором этапе выполняется полосовая фильтрация резонансной частоты. Виброграмма, полученная в результате фильтрации, и соответствующий ей Фурье-образ показаны на рис. 4, а, б. На третьем этапе отслеживается эволюция амплитудных значений скорости. На рис. 5, а эти значения отмечены красными крестиками. Зависимость амплитуды от времени в логарифмическом масштабе показана на рис. 5, б, здесь же приведена линейная аппроксимация этой зависимости. На основе линейной аппроксимации вычисляется логарифмический декремент затухания. В данном случае он составил . а б Рис. 2. Схемы возбуждения продольной (а) и изгибно-крутильной (б) форм колебаний: 1 - бетонная призма; 2 - вектор ударного воздействия; 3 - лазерный виброметр Fig. 2. Excitation of longitudinal vibrations (a) and bending-torsional vibrations (b): 1 - concrete prism; 2 - impact vector; 3 - laser vibrometer Аналогичным образом обрабатываются результаты второго эксперимента - возбуждения изгибно-крутильных форм колебаний образца (см. рис. 2, б). Экспериментальные зависимости и результаты их обработки представлены на рис. 6-8. В результате обработки полученных данных вычислены следующие характеристики колебаний: собственная частота для изгибно-крутильной формы колебаний , соответствующий логарифмический декремент затухания . а б Рис. 3. Продольные колебания: исходная виброграмма скорости (а) и соответствующий ей Фурье-образ (б) Fig. 3. Longitudinal vibrations: original velocity vibrogram (a), and corresponding Fourier image (b) а б Рис. 4. Виброграмма скорости, отфильтрованная в области первого резонанса () (а), и соответствующий ей Фурье-образ (б) Fig. 4. Velocity vibrogram filtered in the vicinity of the first resonance frequency () (a) and corresponding Fourier image (b) а б Рис. 5. Отфильтрованная виброграмма скорости с отмеченными амплитудными значениями (а); изменение амплитуды в логарифмическом масштабе (б) Fig. 5. Filtered velocity vibrogram with marked amplitude values (a); amplitude evolution in the logarithmic scale (b) а б Рис. 6. Изгибно-крутильные колебания: исходная виброграмма скорости (а) и соответствующий ей Фурье-образ (б) Fig. 6. Bending-torsional vibrations: original velocity vibrogram (a); and corresponding Fourier image (b) а б Рис. 7. Виброграмма сигнала, отфильтрованного в окрестности частоты(а), и соответствующий ей Фурье-образ (б) Fig. 7. Velocity vibrogram filtered in the vicinity of the eigenfrequency of (a) and corresponding Fourier image (b) а б Рис. 8. Отфильтрованная виброграмма скорости с отмеченными амплитудными значениями (а); изменение амплитуды в логарифмическом масштабе (б) Fig. 8. Filtered velocity vibrogram with marked amplitude values (a); amplitude evolution in the logarithmic scale (b) Все экспериментально полученные значения частот свободных колебаний, логарифмических декрементов затухания и плотности были использованы далее в вычислительном алгоритме для определения характеристик бетона: упругих модулей (Е, G), коэффициента Пуассона n и параметра b, характеризующего диссипативные свойства бетона. 3. Определение параметров модели Предлагаемый вычислительный алгоритм для определения упругих и диссипативных характеристик бетона состоит в итерационной последовательности решения начально-краевой задачи (1)-(4). На каждой итерации решается две задачи, соответствующие первой и второй схемам нагружения, реализованным в эксперименте. На первой итерации в качестве начального приближения были использованы нормативные значения упругих и диссипативных характеристик бетона (, , ) [34]. Здесь и далее верхний индекс определяет номер итерации. В результате решения начально-краевой задачи были получены виброграммы скоростей перемещений по нормали к поверхности в точках образца, соответствующих точкам регистрации виброграмм в эксперименте (рис. 3, а и 6, а). Эти виброграммы были обработаны в соответствии с тем же алгоритмом, который использовался для анализа экспериментальных виброграмм. В результате были получены значения частот свободных колебаний (,) и логарифмических декрементов затухания (, ) на первой итерации (). Далее полагаем, что в определении частот свободных продольных колебаний бетонного образца (первая схема нагружения) доминирующую роль играет модуль Юнга E, а квадрат собственной частоты по выделенной доминирующей моде прямо пропорционален жесткости. Тогда следующее приближение модуля Юнга может быть получено из рекуррентного соотношения [35] . Рассуждая аналогичным образом относительно диссипативных свойств, можно предположить, что логарифмический декремент прямо пропорционален параметру β. Из этого следует, что каждое последующее приближенное значение диссипативного параметра β может быть определено из рекуррентного соотношения . Далее полагаем, что в определении частот свободных изгибно-крутильных колебаний образца (вторая схема нагружения) доминирующую роль играет модуль сдвига G, а квадрат частоты для выделенной доминирующей моды прямо пропорционален жесткости. Тогда следующее приближение для модуля сдвига может быть получено из рекуррентного соотношения . В соответствии с известным соотношением [35], коэффициент Пуассона на итерации определяется следующим образом: . Далее выполняется решение двух указанных начально-краевых задач с новыми значениями параметров E, G, n, b. Ограничением необходимого количества итераций N является условие достижения заданной нормы разности между экспериментальными и расчетными значениями собственных частот, а также между экспериментальными и расчетными значениями логарифмического декремента затухания. В табл. 1 приведено сравнение собственных частот и логарифмических декрементов, полученных в результате итерационной процедуры, с экспериментально измеренными значениями. Такое соответствие между экспериментальными и расчетными значениями достигнуто на 17-й итерации. На рис. 9 изображены собственные формы, по которым выполнялся поиск параметров модели, а также показаны поля амплитуды вектора перемещений. Таблица 1 Table 1 Параметр Расчет Эксперимент , Гц 4882 4881.9 33,38·10-3 33.38e-3 , Гц 5630 5629.7 39,25·10-3 38.50e-3 а б Рис. 9. Изополя амплитуды вектора перемещений для продольной (а) и изгибно-крутильной (б) собственных форм Fig. 9. The fields of the displacement vector amplitude for longitudinal eigenmode (a); idem for bending-torsional eigenmode (b) Таблица 2 Table 2 Параметр Начальное приближение Итоговое значение Относительная разность значений, % Модуль упругости E, Па 26 Коэффициент Пуассона n 0,2 0,277 38 Параметр, характеризующий вязкость, β, с 10-7 246 Заключение Предложен экспериментально-расчетный алгоритм определения упругих и диссипативных свойств бетона. Разработана и реализована структурная схема эксперимента и алгоритм обработки экспериментальных результатов. Предложен и реализован итерационный вычислительный алгоритм для определения упругих и диссипативных характеристик бетона на основе анализа трехмерного деформационного процесса распространения ударной волны в бетонном образце. Достоверность и эффективность предложенного подхода продемонстрированы на примере определения упругих и диссипативных характеристик конкретного бетонного образца в частотном диапазоне (5,6 ± 0,5) кГц. Предложенный подход открывает возможности анализа зависимостей упругих и диссипативных свойств материалов от частоты, если анализировать по данному алгоритму результаты свободных колебаний по нескольким собственным частотам. Данный метод является достаточно универсальным и может быть использован для идентификации свойств других материалов.

About the authors

I N Shardakov

Institute of Continuous Media Mechanics

A P Shestakov

Institute of Continuous Media Mechanics

I O Glot

Institute of Continuous Media Mechanics

References

Statistics

Views

Abstract - 192

PDF (Russian) - 79