Full Text

Введение Композиционные материалы являются распространенным инструментом при создании ответственных конструкций для приложений индустрии и техники. Актуальным вопросом является всестороннее изучение поведения композитов и конструкций из них при характерных эксплуатационных нагрузках с целью оптимизации функциональных свойств, которые могут быть заложены на стадии производства. Одним из наиболее широко используемых типов композитов являются многослойные композитные конструкции, состоящие из слоев препрега угле- и стеклопластика. Несмотря на уникальные прочностные характеристики, при определенных нагрузках композиционные материалы подвержены возникновению ряда эксплуатационных дефектов, которые невозможно выявить невооруженным глазом. Тем не менее такие дефекты могут привести к критическим повреждениям и потере несущей способности всей конструкции. В связи с этим активно развиваются методы неразрушающего контроля композиционных конструкций, которые позволяют получать информацию о состоянии конструкции в процессе ее эксплуатации. Одним из известных решений в данной области является измерение параметров внутреннего состояния с помощью волоконно-оптических датчиков [1-10]. Такие датчики могут быть внедрены между слоями композита без снижения механических свойств конструкции. В зависимости от используемой технологии оптоволоконные датчики способны регистрировать изменение полей деформаций, температуры и других величин в процессе нагружения конструкции. Широкое распространение получили оптоволоконные датчики с брэгговскими решетками, принцип работы которых основан на факте изменения длины волны пропускаемого решеткой света при внешнем воздействии [11-21]. При проектировании конструкций из композиционных материалов особое внимание уделяется моделированию механического поведения, что позволяет избежать затратных и ресурсоемких экспериментов. Для создания моделей необходимой точности требуется определение исходных механических констант, характеризующих поведение того или иного микроструктурного компонента, слоя или всего материала. Как правило, для этого проводятся механические испытания, а также используются аналитические теории, связывающие характеристики структурных элементов различных масштабных уровней. Из-за особенностей технологических процессов изготовления композитных конструкций свойства компонентов, реализованные в конструкции, могут отличаться от свойств, полученных при экспериментальных исследованиях. Такое несоответствие способно внести ощутимую погрешность в результаты численного моделирования механического поведения композитных конструкций, что требует корректировки заданных механических характеристик и констант и приведения их в соответствие с реальными свойствами конструкций. Данная статья посвящена развитию подхода, в котором показания внедренных оптоволоконных датчиков используются для уточнения упругих механических характеристик композиционного материала, применяемых в численных моделях. Суть подхода заключается в оценке разницы между деформационным откликом, спрогнозированным с использованием модели, с данными, полученными в реальном времени при помощи средств мониторинга, и уточнении модельных констант на основе решения задачи оптимизации [22, 23]. 1. Постановка задачи оптимизации На начальном этапе имеется конструкция или конструктивно-подобный элемент (далее - образец) с внедренными ВОДД с брэгговскими решетками, которому соответствует послойная конечно-элементная модель. Положение брэгговских решеток в образце определяет координаты контрольных точек, в которых в дальнейшем будет производиться сопоставление данных. Оно должно быть достоверно зафиксировано, например, с помощью рентгена или других методов неразрушающего контроля. Создается конечно-элементная модель, сетка которой построена таким образом, чтобы геометрическому местоположению брэгговских решеток соответствовали конкретные расчетные узлы. В модели задаются свойства слоя материала, известные с определенной точностью, которые являются начальным набором констант. Далее образец нагружается с контролем нагрузки или перемещений, при этом соответствующие граничные условия устанавливаются и для конечно-элементной модели. В процессе деформирования образца в контрольных точках регистрируются показания ВОДД, строится зависимость деформаций от значений приложенной нагрузки. Аналогичные данные извлекаются из результатов моделирования. По разности значений экспериментально измеренных и расчетных значений деформаций в контрольных точках строится функционал, который необходимо минимизировать. Таким образом, можно найти такие значения констант материала, которые приводили бы в соответствие результаты расчета и деформации, регистрируемые ВОДД при заданной нагрузке. В качестве параметров оптимизации выступают константы материала, которые в конечном счете должны обеспечить соответствие результатов моделирования и показаний ВОДД в контрольных точках. Для оптимизации параметров создается регрессионная модель и используется алгоритм Левенберга-Марквардта (Л-М), который заключается в последовательном приближении заданных начальных значений параметров к искомому локальному оптимуму [24, 25]. Данный алгоритм был выбран из-за его расширенных возможностей в плане подбора параметров для минимизации, что играет роль при необходимости уменьшить количество шагов оптимизации. В качестве регрессионной выборки выступает множество (,), где - значения деформаций в контрольной точке при нагрузке F. Регрессионная функция представляет собой определяющее соотношение для изотропных сред, связывающее напряжения и деформации. Так, если оптическое волокно направлено вдоль оси 1, то функция записывается в следующем виде для изотропного и трансверсально-изотропного слоя соответственно: (1) (2) при этом напряжения зависят от приложенной нагрузки . Таким образом, требуется найти такое значение вектора параметров (где - упругий модуль, а - коэффициент Пуассона слоя), которое доставляло бы минимум функции: (3) где - значения деформаций, полученных с ВОДД при нагрузке ; - расчетные значения деформаций полученные с помощью моделирования при нагрузке . Значения деформаций , полученных с ВОДД, зависят от относительной величины резонансной волны отраженного брэгговской решеткой спектра, изменения температуры оптического волокна в месте расположения решетки, деформационных и температурных коэффициентов. Подробнее о принципе и особенностях работы брэгговских решеток можно узнать из работ [19, 26]. В случае наличия нескольких контрольных точек возникает многокритериальная задача оптимизации, которая преобразуется в задачу однолинейной оптимизации при помощи весовых коэффициентов . Тогда функция оценки погрешности записывается в виде суммы: (4) где K - количество контрольных точек; - функционал (3) для контрольной точки; значения весовых коэффициентов wj выбираются исходя из параметров и начальных условий конкретной задачи (например, они могут быть связаны с местоположением контрольных точек относительно критических зон). Начальное значение вектора параметров соответствует известным значениям констант слоя. Для оценки приращения вектора параметров согласно алгоритму Левенберга-Марквардта используется формула (5) где и - значения деформаций при изменении нагрузки полученные с ВОДД и по результатам расчетов соответственно; параметр контролирует скорость аппроксимации; - якобиан функции при текущем значении параметров , (6) В упругом случае достаточно знать лишь начальное и конечное значения приложенной нагрузки. Таким образом, в результате решения задачи оптимизации находится оптимальный набор констант материала для использования в конечно-элементной модели. 2. Результаты отработки алгоритма в случае квазиизотропного слоя Для иллюстрации изложенного подхода была рассмотрена тестовая задача для композитного образца с концентратором (вырезами), состоящего из 14 равнопрочных слоев стеклопластика (рис. 1). В некотором приближении слой тканого материала может быть представлен как квазиизотропный, то есть обладающий изотропными свойствами в макрообъеме, но в котором при этом можно выделить анизотропные представительные элементы на микромасштабном уровне. В этом случае слой материала характеризуется двумя независимыми константами, а для выполнения алгоритма оптимизации достаточно одной линии оптоволоконных датчиков. Для удобства расчетов принималось, что 5 контрольных точек располагаются вдоль оси 1 (соосно с направлением приложенной нагрузки) между 7-м и 8-м слоем, как показано на рис. 1, б. Для проверки работоспособности алгоритма в тестовой задаче вместо показаний оптоволоконных датчиков использовались деформации, полученные в результате расчета модели с эталонными модельными константами, которые представлены в табл. 1 вместе с начальными значениями констант модели. Отклонение начальных констант выбиралось из практического опыта оценки разницы между свойствами слоя и ламината и составило около 15 %. а б в Рис. 1. Схема образца с концентратором напряжений (а); послойная КЭ-модель образца с концентратором напряжений (б); расположение контрольных точек в узлах КЭ-сетки, наложенное на поле деформаций (в) Fig. 1. Sample with stress concentrator (a); the layered FE model of sample with stress concentrator (b); the map of the control points in the nodes of FE mesh projected on the strain field (c) Таблица 1 Начальные и уточненные свойства изотропного слоя стеклопластика Table 1 Initial and optimized properties of isotropic GFRP ply Модуль Юнга Е, ГПа Коэффициент Пуассона Эталонное значение 23,608 0,14 Значение на начальном шаге оптимизации 20,067 0,12 В качестве граничных условий были заданы растягивающие перемещения 1 мм на торце образца. При различном значении констант для реализации заданных перемещений требуются нагрузки различной величины. В качестве переменной в задачу оптимизации входит величина нагрузки, а не перемещения, поэтому, чтобы значениям поставить в соответствие значения, необходимо интерполировать экспериментальные и расчетные данные вида «сила - деформации». В упругом случае эта зависимость линейна, соответственно, провести интерполяцию не составляет труда. Такое преобразование может быть использовано также в практических приложениях, когда оценить приложенную нагрузку на реальных конструкциях не представляется возможным, но перемещения могут быть измерены, например, тензодатчиком или другим способом. На рис. 1, в представлено поле значений компоненты тензора деформаций при заданных граничных условиях в слое 7, содержащем контрольные узлы. Свойства слоя при этом соответствовали начальным значениям. Расчеты проведены в пакете Abaqus. Регрессионная выборка формировалась путем сопоставления значений деформаций в контрольных узлах при расчете модели с начальными и эталонными константами. Реализация оптимизационной задачи выполнена в программном пакете Wolfram Mathematica. На рис. 2 представлено контурное изображение значения функционала (3) для тестовой задачи при пошаговом уточнении входящих в вектор параметров значений модуля Юнга и коэффициента Пуассона слоя. Точками обозначены шаги оптимизационного алгоритма. В ходе работы алгоритма получены следующие уточненные значения констант: Е = 23,623 ГПа и , что составляет погрешность 0,063 и 0,71 % соответственно от заданных эталонных значений. Е, ГПа Рис. 2. Схема зависимости значений функционала от упругих констант. Зелеными точками обозначены шаги оптимизационного алгоритма Fig. 2. The Dependence diagram of the functional values on elastic constants. Green dots indicate the optimization algorithm steps Для сравнения результатов и анализа сходимости оптимизационного алгоритма Л-М для конкретного случая был исследован пошаговый ход поиска констант, выполненный с помощью метода Ньютона, описание которого можно найти, например, в книге [27]. График зависимости значений констант от шага оптимизационного алгоритма для двух случаев представлен на рис. 3, а, б. Видно, что алгоритм Л-М сходится быстрее метода Ньютона (5 итераций против 8). Задание тех или иных начальных значений параметров может оказать существенное влияние на скорость сходимости алгоритма. Так, работа алгоритма Л-М при нулевом векторе начальных параметров продемонстрирована на рис. 3, в. Очевидно, для получения оптимального результата в этом случае требуется больше итераций (около 40). Тем не менее алгоритм демонстрирует сходимость даже при нулевом векторе начальных параметров, что говорит о возможности применения алгоритма на практике даже при отсутствии какой-либо информации о начальных константах материала. На рис. 4 для всех контрольных точек представлены значения деформаций , полученные с помощью конечно-элементной модели с начальным значением констант, эталонной модели и при помощи модели с оптимизированными константами. По данному графику видно, что в результате оптимизации удается значительно приблизить результаты численного моделирования к данным эталонной модели. Е, ГПа Е, ГПа Е, ГПа а б в Рис. 3. Значения констант в зависимости от шага оптимизационного алгоритма: а - метод Л-М; б - метод Ньютона; в - метод Л-М при нулевом векторе начальных параметров Fig. 3. The values of the constants depending on a step of the optimization algorithm: (a) the LM method; (b) Newton's method; (c) L-M method with zero vector of initial parameters Рис. 4. Сравнение значений деформаций, полученных из расчета модели с использованием начальных констант (♦), при помощи оптоволоконных датчиков (■) и из расчета модели с использованием оптимизированных констант (■); L - расстояние от центра образца по длине Fig. 4. Comparison of strain values obtained from the model calculation using initial constants (♦) using fiber optic sensors (■) and using model with optimized constants (■); L is the distance from the center of the sample along its length 3. Результаты отработки алгоритма в случае трансверсально-изотропного слоя В большинстве случаев свойства слоев из ПКМ в рамках численного моделирования считаются трансверсально-изотропными. Тогда используется регрессионная функция вида (2), а вектор параметров состоит из трех констант: . Поскольку ВОДД регистрирует деформацию только по одному направлению, для решения оптимизационной задачи в этом случае требуются показания датчиков, расположенных в двух ортогональных направлениях. Была рассмотрена тестовая задача с использованием экспериментальных данных с оптоволоконных датчиков, внедренных в композитный образец с концентраторами (вырезами). Образец состоял из 14 уложенных в одном направлении трансверсально-изотропных слоев стеклопластика (рис. 5, а). Принималось, что 14 контрольных точек на одном ВОДД располагаются вдоль оси 1 (соосно с направлением приложенной нагрузки) между 7-м и 8-м слоем (см. рис. 5, а), и 5 контрольных точек на другом ВОДД располагаются вдоль оси 2, между 8-м и 9-м слоем (рис. 5, б). На рис. 6 продемонстрировано изменение значений оптимизируемых констант в ходе работы алгоритма Л-М. Значения деформаций ε11, полученные с помощью конечно-элементной модели с начальным значением констант, деформаций с ВОДД, а также полученные при помощи модели с оптимизированными константами представлены на рис. 7 для всех контрольных точек, расположенных по оси 1. Соответствующие значения деформаций ε22 для контрольных точек по оси 2 отображены на рис. 8. Сравнение значений начальных и оптимизированных упругих констант для трансверсально-изотропного слоя представлено в табл. 2. В приведенном примере при помощи предложенного оптимизационного алгоритма удалось добиться практически полного соответствия значений расчетных и экспериментально определенных деформаций. а б Рис. 5. Численный результат расчета поля деформаций (с использованием начальных констант) и расположение контрольных точек: (a) ε11, (б) ε22 Fig. 5. The numerical result of the calculation of the strain field (using the initial constants) and the location of control points: (a) ε11, (b) ε22 Е2, ГПа Е1, ГПа Рис. 6. Значения констант в зависимости от шага оптимизационного алгоритма для трансверсально-изотропного слоя Fig. 6. The values of the constants depending on a step of the optimization algorithm for the transversally isotropic ply Рис. 7. Сравнение значений деформаций ε11, полученных из расчета модели с использованием начальных констант (♦), при помощи оптоволоконных датчиков (■) и из расчета модели с использованием оптимизированных констант (■); L - расстояние от центра образца по длине Fig. 7. Comparison of deformation values ε11 obtained from the model calculated with initial constants (♦), using fiber optic sensors (■) and using model with optimized constants (■); L is the distance from the center of the sample along its length Рис. 8. Сравнение значений деформаций ε22, полученных из расчета модели с использованием начальных констант (♦), при помощи оптоволоконных датчиков (■) и из расчета модели с использованием оптимизированных констант (■); L - расстояние от центра образца по ширине Fig. 8. Comparison of deformation values ε22 obtained from the model calculated with initial constants (♦), using fiber optic sensors (■) and using model with optimized constants (■); L is the distance from the center of the sample along its width Таблица 2 Начальные и уточненные свойства трансверсально-изотропного слоя стеклопластика Table 2 Initial and optimized properties of a transversely-isotropic GFRP ply Модуль Юнга Е1, ГПа Модуль Юнга Е2, ГПа Коэффициент Пуассона Начальное значение 26,0 8,0 0,15 Уточненное значение 22,05 10,81 0,137 Заключение В данной работе представлен алгоритм оптимизации значений упругих констант слоев композиционного материала на основе вычислительно-экспериментального подхода с использованием встроенных ВОДД и конечно-элементного моделирования. Приведен пример численной реализации алгоритма для решения тестовой задачи для изотропного слоя, а также в случае трансверсально-изотропного слоя. Показана возможность использования средств неразрушающего мониторинга для уточнения параметров механических моделей, которые, таким образом, позволяют с большей достоверностью прогнозировать поведение и разрушение материалов и конструкций из них. Также анализ констант материала может быть произведен на образцах материалов, которые используются для изготовления конструкций. Например, это может быть полезно при исследовании влияния на свойства материала тех или иных технологических процессов. Необходимо отметить, что в рамках данной методологии показания оптоволоконных датчиков должны считаться достоверными с точностью, необходимой для того, чтобы служить «эталоном» значений деформаций. Существует множество работ, посвященных измерениям деформаций при помощи внедренных и нанесенных на композиционный материал ВОДД с описанием технических и методологических вопросов, некоторые результаты содержатся в работах [11, 19, 28]. Эта область исследований в настоящий момент активно развивается, и можно утверждать, что последние достижения будут способствовать развитию ВОДД как все более надежного инструмента независимого неразрушающего мониторинга состояния конструкций. Предложенный метод может быть обобщен для материалов с более выраженной анизотропией свойств. В таком случае необходимо регистрировать большее число компонент тензора деформаций в контрольных точках. Для этого при использовании в качестве средства мониторинга ВОДД может быть реализовано расположение оптоволоконных линий в виде розеток, позволяющих получать значения деформаций по разным направлениям [29, 30].

About the authors

M A Tashkinov

Perm National Research Polytechnic University

V P Matveenko

Perm National Research Polytechnic University; Institute of Continuous Media Mechanics

References

Statistics

Views

Abstract - 202

PDF (Russian) - 79