Full Text

Введение Контактные задачи теории упругости для неоднородных (функционально градиентных) материалов [1-10] важны для оценки контактной прочности различных конструкций и деталей. Интегральные уравнения контактных задач взаимосвязаны с интегральными уравнениями задач о трещинах [11]. При рассмотрении однородных тел цилиндрической формы, контактирующих с бандажами и вкладышами, для решения возникающих интегральных уравнений развивались асимптотические методы [12-17]. При решении статических и динамических контактных задач для неоднородных цилиндрических тел превалировали численные методы, обобщенный метод фиктивного поглощения [18-22]. Изучались волновые процессы и задачи идентификации упругих параметров для цилиндров [23, 24]. Учитывались сложные явления на поверхности контакта, включая микрогеометрию и адгезию [25, 26]. При переменном коэффициенте Пуассона точные фундаментальные решения были получены для полупространства и слоя (коэффициент Пуассона непрерывно меняется по глубине) [27, 28] и для плоского клина (коэффициент Пуассона зависит от угловой координаты) [29]. Изучался частный случай изменения коэффициента Пуассона с глубиной полупространства [30]. Для неоднородного цилиндра, когда модуль упругости и коэффициент Пуассона зависят от радиальной координаты, предлагалось искать решение по методу возмущений [31]. В настоящей работе для пространства с цилиндрической шахтой, когда коэффициент Пуассона непрерывно зависит от радиальной координаты, на основе подхода А.Н. Бородачева [28] получено точное фундаментальное решение, символ ядра интегрального уравнения контактной задачи построен в квадратурах. Для решения контактной задачи предлагается сингулярный асимптотический метод (гладкий контакт) и метод коллокации (шероховатая поверхность контакта). 1. Фундаментальное решение В цилиндрических координатах r, z рассмотрим осесимметричную деформацию упругого пространства с цилиндрической полостью {r£r<¥, |z|<¥}, когда модуль сдвига G постоянный, а коэффициент Пуассона n(r) - произвольная достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию -1<n(r)<0,5 [28]. В этом случае модуль продольной упругости материала E(r)=2G(1+n(r)) - положительная функция угловой координаты. При отсутствии массовых сил векторное уравнение равновесия в перемещениях для данной модели принимает форму , (1) . Разыскивая общее решение уравнения (1) в форме (2) и внося представление (2) в уравнение (1), получаем векторное уравнение Лапласа и скалярное уравнение Пуассона . (3) Для однородного материала, n(r)=n=const, представление общего решения (2), (3) в точности совпадает с известным решением Фрайбергера [32], которое для этого случая при (4) сводится к классическому представлению Папковича-Нейбера в цилиндрических координатах через три гармонические функции B0, Br, Bz [33]. Проекции векторного уравнения Лапласа (3) приводят к уравнениям . (5) При помощи интегрального преобразования Фурье, предполагая, что задача симметрична по z, учитывая убывание перемещений на бесконечности, общее решение уравнений (5) получим в виде (6) где Kn(r) - модифицированные цилиндрические функции Бесселя (n=0,1), также называемые функциями Макдональда [34, 35]. Из соотношений (6) найдем дивергенцию в правой части уравнения Пуассона (3), а затем, используя метод вариации произвольных постоянных, построим частное решение этого уравнения в форме (I0(r) - другая модифицированная цилиндрическая функция Бесселя) (7) Величины C1 и C2 в формулах (6) и (7) определяются из двух граничных условий на поверхности цилиндрической полости. На основании закона Гука для напряжений имеем выражения (8) Пусть к поверхности полости (r=r) при z=0 приложена осесимметричная нормальная сосредоточенная нагрузка q. Тогда граничные условия имеют вид (d(z) - d-функция Дирака) . (9) На основании формул (2)-(8) и условий (9) приходим к системе двух уравнений относительно C1 и C2, решив которую, найдем используемое в контактных задачах нормальное перемещение точек поверхности полости: , (10) , которое при n(r)=n=const совпадает с известным для однородного материала [12-15] (11) При выводе формулы (11) использовано значение интеграла [35] . (12) 2. Контактная задача Рассмотрим осесимметричную контактную задачу о взаимодействии без учета сил трения и шероховатости упругого неоднородного (с переменным коэффициентом Пуассона) пространства с цилиндрической полостью радиуса r с жестким вкладышем длины 2a, цилиндрическая поверхность которого описывается уравнением r=r+d (d-натяг). Требуется определить контактное давление sr(r,z) = -q(z) в области контакта |z|£a. Учитывая выражение (10) и условие контакта u(r,z)=d (|z|£a), после введения безразмерных величин (13) придем относительно функции j(x) к интегральному уравнению (14) с ядром (15) Допустим, что функция h(r) (3) разлагается в ряд по нечетным отрицательным степеням радиальной координаты вида (16) Тогда, подставляя разложение (16) в формулу (15) для F0(u), используя формулу (12), интеграл [35] (17) и рекуррентное значение интеграла [35] (18) можно последовательно вычислять возникающие интегралы по переменной s. В результате можно показать, что при удержании любого конечного числа слагаемых в разложении (16) асимптотическое поведение в бесконечности и нуле символа ядра K(u) вида (15) принципиально не меняется и имеет вид (19) Поведение (19) обеспечивает возможность применения сингулярного асимптотического метода, эффективного при малых значениях параметра l [14-16] для решения интегрального уравнения (14). Безразмерный параметр l, введенный в формулах (13), характеризует относительную длину вкладыша. Малые значения l соответствуют относительно длинным вкладышам. Далее будем удерживать в разложении (16) только два первых члена. Тогда (20) Для закона изменения (20) значение коэффициента Пуассона в бесконечности (вдали от границы полости) не зависит от значения h1. При h1=0 имеем однородный упругий материал. При приближении к границе полости из бесконечности (от значения n¥) коэффициент Пуассона и модуль Юнга убывают при h1>0 и возрастают при h1<0. При этом на границе полости коэффициент Пуассона достигает значения (21) С целью приведения коэффициента c0 в разложении (19) к единице домножим обе части интегрального уравнения (14) на (22) и будем рассматривать интегральное уравнение , (23) для которого символ ядра, используя интегралы (12) и (17), запишем в форме (24) При h=0 символ (24) совпадает с известным для однородного пространства с цилиндрической шахтой [12-15]. Для символа ядра (24), используя известные асимптотические формулы для функций Макдональда [35], получим асимптотику (25) и найдем коэффициенты в разложениях (19): (26) На основании асимптотического поведения символа (24) ядро (15) интегрального уравнения (23) имеет логарифмическую особенность, которую можно выделить в форме (27) где использовано значение интеграла [13,15] (28) Зная главную часть ядра (27), можно утверждать, что решение интегрального уравнения первого рода (23) должно иметь корневую особенность на границе области контакта x = ±1. Ниже используем сингулярный асимптотический метод для решения интегрального уравнения (23) с символом ядра (24). Метод предполагает построение решения в виде суперпозиции вырожденного (проникающего) решения и решений типа пограничного слоя, несущих корневые особенности на краях области контакта. При малых значениях l заменим интегральное уравнение (23) на эквивалентную систему трех интегральных уравнений [13-15]: (29) при условии (30) Из последнего интегрального уравнения (29) при помощи интегрального преобразования Фурье сразу найдем вырожденное решение, не учитывающее корневые особенности на краях области контакта (см. формулы (19), (26)), . (31) Первые два интегральных уравнения (29), служащие для построения решений типа погранслоя, заменами переменных сводятся к одному интегральному уравнению вида . (32) Можно показать, что интеграл в правой части интегрального уравнения (32) экспоненциально убывает при l®0, для решения этого интегрального уравнения можно использовать метод последовательных приближений, на каждом шаге которого возникает интегральное уравнение Винера-Хопфа. При малых значениях l ограничимся нулевым приближением решения интегрального уравнения (32), пренебрегая интегралом в правой его части. Для эффективной факторизации символа ядра в соответствии с его свойствами (19), (26) используем аппроксимацию (33) Значения постоянных, входящих в формулу (33), и погрешность этой аппроксимации на действительной оси q приведены в табл. 1, рассчитанные при n¥=0,3 и разных h. Известно [13], что погрешность решения интегрального уравнения (23), связанная с заменой точного выражения символа ядра на приближенное (33), не превосходит погрешности аппроксимации q. Применяя метод Винера-Хопфа, решение типа погранслоя интегрального уравнения (32), (33) в нулевом приближении найдем в виде (34) Таблица 1 Значения параметров аппроксимации (32) Table 1 Parameters of the approximation (32) h B C D E q (%) -0,08 1,110 1,129 -0,288 1,810 5,5 -0,04 1,030 1,069 -0,343 1,610 5,0 0 1,070 1,081 -0,400 1,610 4,5 0,04 1,000 1,052 -0,459 1,810 4,5 0,08 1,020 1,071 -0,521 2,010 4,5 Решение (34) имеет корневые особенности на краях области контакта. Формулы (30), (31) и (34) дают сингулярное асимптотическое решение интегрального уравнения (23). На основании этих формул получим интегральную характеристику контактных давлений (35) в форме , . (36) Погрешность решения (30), (31), (35) и (36) при l£1 не превосходит (5+q)%. Это решение можно рекомендовать, когда длина вкладыша существенно больше диаметра цилиндрической полости. В табл. 2 приведены значения интегральной характеристики N0/f, рассчитанные по формуле (36) при n¥=0,3 и разных значениях l и h. При уменьшении параметра l контактные давления и интегральная характеристика существенно возрастают. Таблица 2 Значения интегральной характеристики (35) Table 2 Integral characteristics (35) l h 2 1 0,5 0,25 -0,08 2,95 4,67 8,00 14,6 -0,04 2,71 4,29 7,34 13,4 0 2,47 3,90 6,67 12,2 0,04 2,20 3,49 5,97 10,9 0,08 1,94 3,07 5,25 9,61 3. Учет шероховатости Допустим, что поверхность полости является не идеально гладкой, как в предыдущем разделе, а шероховатой. Известно [36], что шероховатость поверхности в контактных задачах может моделироваться покрытием винклеровского типа. Пусть поверхность шахты армирована таким покрытием, которое дает дополнительный вклад в нормальное перемещение в области контакта (снова используем размерные обозначения): (37) где q(z) - искомое контактное давление. Условие контакта имеет вид (38) где - упругое перемещение точек поверхности под действием контактного давления, которое определяется с использованием фундаментального решения (10); d - натяг. Для изменяющегося коэффициента Пуассона снова принимаем закон (20). Используя условие (38), безразмерные величины (13), а также обозначение (39) сведем контактную задачу для шахты с покрытием к интегральному уравнению относительно безразмерного контактного давления j(x): (40) Здесь символ ядра K(u) определяется по формуле (24). В отличие от уравнения (23) интегральное уравнение (40) является уравнением второго рода. Несмотря на логарифмическую особенность ядра, его решение уже не обладает корневыми особенностями и принимает конечные значения на краях области контакта. Для численного решения интегрального уравнения (40) используем метод коллокации на основе квадратурной формулы Гаусса по 32 узлам [34]. Метод эффективен при не слишком малых значениях параметра l, когда для расчета ядра можно применять формулу (27). При расчетах брали l³1. В табл. 3 приведены значения интегральной характеристики N0/f, рассчитанные по формуле (35) при n¥=0,3 и разных значениях , l и h. Таблица 3 Значения характеристики (34) по методу коллокации Table 3 Characteristics (34) in collocation method l 4 2 1 4 2 1 h -0,08 1,68 2,31 3,34 1,76 2,46 3,64 -0,04 1,67 2,30 3,33 1,75 2,45 3,63 0 1,66 2,30 3,32 1,74 2,44 3,62 0,04 1,65 2,29 3,31 1,73 2,43 3,60 0,08 1,64 2,28 3,30 1,72 2,42 3,59 Заключение При необходимости аппроксимация (33) может быть уточнена путем добавления множителей по типу аппроксимации Паде [16]. Увеличение контактных давлений и интегральной характеристики при уменьшении параметра l для гладкого и шероховатого контакта (см. табл. 2 и 3) связано с возрастанием площади области контакта S (при фиксированном радиусе шахты r): (41) Как показывает численный анализ (см. табл. 2 и 3), при h<0, когда коэффициент Пуассона возрастает при приближении к поверхности шахты от значения в бесконечности n¥ (при этом модуль Юнга также возрастает) контактные давления и их интегральная характеристика, отнесенные к натягу вкладыша f, больше, чем при убывающем в направлении из бесконечности коэффициенте Пуассона и модуле Юнга (h>0). При малых значениях параметра , характеризующего коэффициент постели покрытия, решение интегрального уравнения (40) вдали от краев области контакта становится близко к вырожденному (проникающему) решению (31). Решение уравнения (40) возрастает вблизи краев области контакта тем больше, чем меньше значение , что согласуется с эффектом регуляризации интегрального уравнения (23) по А.Н. Тихонову. При увеличении параметра (возрастании степени шероховатости) контактные давления и их интегральная характеристика снижаются (см. табл. 3). Сравнение табл. 2 и 3 показывает, что покрытие существенно снижает влияние неоднородности на интегральную характеристику и распределение контактных давлений.

About the authors

D A Pozharskii

Don State Technical University

E D Pozharskaya

Don State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 258

PDF (Russian) - 105