# Abstract

The paper considers a passive force (dynamic) and kinematic control problem of a heavy cargo movement (an undeformed solid) suspended on an inextensible inertia-free variable length cable with a controlled horizontal displacement of the suspension point. Differential equations with variable coefficients for small translational-rotational vibrations of the body are obtained. The following problem is stated: to move the body from the initial rest position to a given final equilibrium rest position for a preset time with oscillations elimination at the stop. In this case, the law of changing the cable length is considered to be prescribed, and the law of displacement of its suspension point is unknown. The integral conditions are established for required unknown control actions (force or acceleration of the suspension point), which should be satisfied. An approximate solution of the kinematic control problem described by two differential equations with variable coefficients for the angles of rotation of the cable and body is sought in series with unknown coefficients by the Bubnov-Galerkin method with the use of the given approximating functions of time satisfying certain initial and final conditions. Acceleration of the suspension point of the cable is sought in the form of a series of sines with unknown coefficients. A coupled system of linear algebraic equations for all unknown coefficients is obtained, which includes equations of the Bubnov-Galerkin method, equations for the initial and final conditions that are not satisfied in the choice of given functions, and one equation representing the integral condition in the form of the dependence of the acceleration of the cable suspension point on its specified finite displacement. The proposed approach for solving the problem of the oscillations finite control for a system with variable parameters is new. By using the examples of a system with a cable of constant and variable length, we performed the calculations with an analysis of the convergence and accuracy of solutions for two different sets of given functions and for different numbers of them by comparing them with numerical solutions of differential equations of the direct problem by the Adams method with the control laws found.

# Full Text

Введение Задачи управления составными трансформируемыми системами и системами, совершающими конечные передвижения (перемещения и повороты), с учетом упругости отдельных частей или элементов являются актуальными для быстроходных манипуляционных роботов [1], виброударных механизмов [2], ракет с разделяющимися ступенями [3] и космических конструкций [4-11]. Общие вопросы теории управления большими системами, включая задачи управляемого передвижения системы из одного состояния в другое, рассмотрены в работах [12-18], а задачи и методы управления колебаниями - в работах [19, 20]. В большинстве работ упругие колебания, которые сопровождают конечные передвижения систем или их частей, считаются малыми и описываются нормальными координатами, которые представляют собой относительные движения по собственным формам колебаний. В этом случае линейные задачи терминального управления с учетом начальных и конечных условий сводятся к системам интегральных уравнений для нормальных координат (в теории управления они называются уравнениями моментов). Поскольку решение задачи определения закона управления не является единственным, она часто рассматривается как задача оптимального управления с минимизацией некоторого дополнительного функционала, зависящего от неизвестных параметров движения и управления. Для решения интегральных уравнений для собственных форм колебаний, подлежащих гашению, управляющие функции обычно ищутся в виде кусочно-линейных функций с неизвестными параметрами [1, 19, 20] или в виде рядов заданных функций с неизвестными коэффициентами. В работах [21, 22] и нескольких других работах этих авторов для управления поперечными колебаниями балки с грузами на конце в качестве таких функций использовались синусы и косинусы с частотами собственных колебаний системы. Поскольку периоды собственных колебаний значительно меньше заданного времени управления, то при таком высокочастотном управлении весьма малые отклонения по времени управления и по собственным частотам математической модели и реальной системы приводят к большим отклонениям конечных перемещений и скоростей от заданных нулевых значений. Кроме того, искомые управляющие воздействия (например, силы и моменты) должны быть практически реализуемыми и как реакции взаимодействия не должны возбуждать ответные связные колебания в системе управления и в несущей конструкции. Это особенно важно для упругих управляемых космических систем, обладающих плотным спектром низких собственных частот и требующих весьма высокой точности выполнения операций. В работах [23-26] для гашения колебаний системы по нескольким низшим собственным формам управляющие воздействия ищутся на интервале управления в виде ряда Фурье. При этом достаточно высокая точность достигается при учете только двух или трех первых членов ряда, что позволяет получить достаточно «гладкие» управляющие функции. В работах [27-30] предложен альтернативный подход для определения силовых или кинематических управляющих воздействий для конечных передвижений упругой системы за заданное время из одного состояния в другое с гашением упругих колебаний по нескольким низшим собственным формам в конечный момент времени. Для этого используются «простые» управляющие финитные функции (например, в виде одной волны синуса или полуволны косинуса) при условии, что частоты подлежащих гашению нескольких низших собственных форм колебаний системы «настраиваются» в определенных соотношениях со временем управления. Решения конкретных задач стабилизации или терминального управления для простых систем (типа одинарного или двойного маятника с подвижной точкой подвеса) приведены в работах [31-40]. При конечных перемещениях и поворотах упругих управляемых систем и при изменении их формы возникает необходимость учитывать геометрические нелинейности деформирования элементов системы, а также переменность ее параметров. Задачи терминального управления такими системами являются весьма трудными и решаются обычно приближенно на основе упрощенных редуцированных моделей (например, без учета упругих деформаций или считая их квазистатическими) с возможными уточнениями методом последовательных приближений [1, 17, 20]. Поэтому разработка общих методов решения задач динамики нелинейных управляемых систем с переменными параметрами является актуальной. Здесь для решения дифференциальных уравнений нестационарных колебаний с переменными коэффициентами на конечном промежутке времени предложен новый подход, основанный на применении метода Бубнова-Галеркина с использованием заданных базисных функций времени. В данной работе в качестве примера общего подхода рассматривается плоская линейная задача управляемого перемещения за определенное время тяжелого твердого тела, подвешенного на тросе переменной длины с подвижной точкой подвеса, из одного положения покоя в другое заданное положение покоя. Закон изменения длины троса задан; требуется определить закон управляемого горизонтального перемещения точки подвеса троса, при котором в момент остановки подвешенного тела прекращаются его колебания. Такая задача одновременного вертикального и горизонтального перемещения тяжелых грузов с устранением их колебаний (например, на мостовом кране) имеет большое практическое значение для уменьшения времени операции, особенно если число таких однотипных операций велико. 1. Постановка задачи Рассмотрим плоскую задачу передвижения за определенное время тяжелого абсолютно твердого тела, подвешенного на тросе, из начального положения покоя в конечное положение покоя за счет заданного изменения длины троса и управляемого горизонтального перемещения точки его подвеса (рис. 1). Тело соединено с концом троса в точке 1, расположенной выше центра тяжести тела (точка 2) на расстоянии . Рассматривается два варианта пассивного управления системой: 1) силовое управление (определяется закон изменения горизонтальной силы в точке подвеса); 2) кинематическое управление (определяется закон перемещения точки подвеса ). В первом варианте в качестве обобщенных координат рассматривается перемещение и углы поворота , ; во втором варианте- только углы поворота , . Рис. 1. Тело, подвешенное на тросе переменной длины, с подвижной точкой подвеса Fig. 1. A body suspended on a variable length cable with the movable suspension point Начальные условия при и конечные условия при , представляющие устойчивые положения покоя системы, записываются в виде (1) где - заданное конечное горизонтальное перемещение точки подвеса. Трос будем считать нерастяжимым, его инерцией будем пренебрегать и полагать, что его длина изменяется по заданному закону достаточно медленно при условиях (2) и так, чтобы усилие в тросе при было растягивающим. В частном случае длина троса может быть постоянной (, ). Координаты центра тяжести тела при записываются в виде: (3) а в начальном и конечном положениях соответственно: , при ; , при . Задача заключается в следующем: найти управляющую силу или управляющее перемещение , при которых система за определенное время перемещается из начального состояния покоя (, , , ) в конечное состояние покоя (, , , ) с устранением колебаний при . Здесь эту задачу будем решать в линейной постановке для малых углов поворота троса и тела, полагая , . 2. Уравнения движения Уравнения движения рассматриваемой системы получим по методу Лагранжа в обобщенных координатах. Кинетическая энергия системы и вариация работы управляющей силы и силы тяжести тела с учетом (3) записываются в виде (4) где и - масса и центральный массовый момент инерции тела; - удельная массовая сила тяжести, направленная вдоль оси . Линеаризованные по и уравнения движения системы для случая, когда управление осуществляется силой , записываются по методу Лагранжа с использованием (4): (5) (6) (7) Уравнение (5) можно записать в виде (8) и последовательно проинтегрировать его дважды с учетом начальных и граничных условий (1). При этом получим условия для управляющих функций и : (9) Если из уравнения (5) выразить и подставить его в уравнения (6), (7), то они, соответственно, запишутся в виде (10) Переменная длина троса должна задаваться такой, чтобы выполнялось условие , при котором натяжение троса будет оставаться положительным. Управляющая сила ищется в виде финитной функции на интервале , которая при заданных и должна удовлетворять второму и третьему интегральным условиям (9) и, кроме того, должна быть такой, чтобы решения уравнений (8) удовлетворяли начальным и конечным условиям (1). Сила , как реакция на конце абсолютно гибкого натянутого троса при его малых изгибах (в линейном приближении), уравновешивается в основном за счет изменения натяжения троса при его малых угловых колебаниях. Поэтому эта сила в линейной постановке задачи должна быть достаточно малой. Соответственно, процесс конечного перемещения тяжелого груза на тросе переменной длины с подвижным подвесом должен быть достаточно медленным. В случае кинематического управления рассматриваемой системой с помощью ускорения задача описывается уравнениями (6) и (7). Функция ищется в классе финитных функций при , удовлетворяющих первому условию (9) и решениям уравнений (6) и (7) при начальных и конечных условиях (1). При этом устанавливается зависимость от , а реакция системы для оценки определяется из уравнения (5). Рассматриваемая задача пассивного управления колебаниями системы имеет множество решений при различных управляющих финитных функциях или (или ) при из класса функций, удовлетворяющих интегральным условиям (9). При определении управляющих функций из этого класса прежде всего необходимо, чтобы они были технически приемлемы и удобны для практической реализации полученного расчетным путем пассивного управления с помощью «жестких» приводов, т.е. чтобы они были достаточно гладкими и не содержали высокочастотных составляющих, поскольку реальные приводы обладают упругостью и инерцией и в них могут возникнуть «ответные» колебания, искажающие расчетные управляющие воздействия. Для минимизации энергетических затрат на управление различные подходящие управляющие функции можно сравнивать между собой по среднеквадратичной величине (норме) и по их максимальным значениям. При оптимальном управлении наряду с решением задачи управления необходимо минимизировать определенный функционал. 3. Решение по методу Бубнова-Галеркина Далее рассмотрим применение метода Бубнова-Галеркина для приближенного решения задачи кинематического управления перемещением твердого тела на тросе переменной длины с подвижным подвесом из начального положения покоя в конечное положение покоя, которая описывается дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами (6), (7) при начальных и конечных условиях (1). Введем безразмерное время и безразмерные параметры: (11) Уравнения (6), (7) запишем в безразмерном виде: (12) где штрихом обозначаются производные по ; . Будем считать, что длина троса при передвижении груза изменяется по закону (13) Закон управления перемещением точки подвеса троса с учетом начальных и конечных условий (1) примем в виде (14) где - неизвестные коэффициенты; - определенное в каждом конкретном случае число членов ряда. В конечный момент времени должно выполняться условие , которое дает одно уравнение для коэффициентов : (15) Приближенное решение уравнений (12) с переменными коэффициентами при будем искать в рядах (16) где - неизвестные коэффициенты; - заданные аппроксимирующие функции, удовлетворяющие части условий (1) для функций и . Здесь для сравнения и оценки точности и сходимости решений будем использовать два различных набора аппроксимирующих функций: 1) ; ; ; 2) ; ; ; . Удовлетворяя уравнения (12) по методу Бубнова-Галеркина как , получим систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов и : (17) где (18) Система уравнений (17) должна быть дополнена уравнениями, представляющими невыполненные начальные и конечные условия для функций и , которым не удовлетворяют заданные функции , а также уравнением (15). 1) При использовании первого набора аппроксимирующих функций дополнительные уравнения получаются из условий при : (19) В этом случае будем иметь уравнений (17), (19) для коэффициентов (), () и (). К этим уравнениям добавляем еще уравнение (15). Тогда будем иметь систему уравнений, из которых наряду с коэффициентами , можно определить неизвестных коэффициентов (). 2) При использовании второго набора аппроксимирующих функций дополнительные уравнения получаются из условий , при : (20) Добавляя к системе уравнений (17), (20) уравнение (15), будем иметь систему уравнений, из которой наряду с коэффициентами (), () можно определить неизвестных коэффициентов (). 4. Примеры расчета 4.1. Управляемое перемещение тела, подвешенного на тросе постоянной длины Рассмотрим систему со следующими безразмерными параметрами: ; ; ; . 1) При использовании первого набора аппроксимирующих функций при значения коэффициентов в законе управления (14) для соответственно: ; ; . На рис. 2 представлены полученные графики этого закона: (а) - для ускорения ; (б) - для перемещения . На рис. 3 представлены результаты решения для углов поворота троса (а) и подвешенного тела (б), а также для их безразмерных угловых скоростей (в) и (г) соответственно. Здесь и далее на графиках углов поворота и угловых скоростей сплошной линией показано решение по методу Бубнова-Галеркина, а пунктирной линией - численное решение по стандартной программе, реализующей метод Адамса. Если на графиках пунктирные линии отсутствуют, то это означает, что в принятом масштабе они совпадают со сплошными линиями. Для оценки точности решения вычисляются разности значений по углам и , а также по скоростям и , при по методу Бубнова-Галеркина и Адамса соответственно. Здесь и далее эти разности обозначаются знаком . Для данного расчетного случая эти значения: ; ; ; . а б Рис. 2. Закон кинематического управления, полученный при использовании первого набора аппроксимирующих функций при : а - по ускорению; б - по перемещению Fig. 2. The kinematic control law obtained by using the first set of approximating functions for : a - for acceleration; b - for displacement а б в г Рис. 3. Полученные при использовании первого набора аппроксимирующих функций при графики: углов поворота троса (а), подвешенного тела (б) и, соответственно, их безразмерных угловых скоростей (в), (г) Fig. 3. The graphs obtained when using the first set of approximating functions for : the angles of rotation of the cable (a), the suspended body (b) and respectively their dimensionless angular velocities (c), (d) Также были получены решения с использованием первого набора аппроксимирующих функций при , . Значения коэффициентов в (14): ; ; . Для этого расчетного случая на рис. 4 представлены графики закона управления: а - по ускорению ; б - по перемещению , а на рис. 5 - графики для углов поворота троса (а) и подвешенного тела (б), а также для их безразмерных угловых скоростей (в) и (г) соответственно. В данном случае ; ; ; . а б Рис. 4. Полученные при использовании первого набора аппроксимирующих функций при графики закона управления: а - по ускорению; б - по перемещению Fig. 4. The graphs of the control law obtained when using the first set of approximating functions for : a - for acceleration; b - for displacement а б в г Рис. 5. Полученные при использовании первого набора аппроксимирующих функций при графики: углов поворота троса (а), подвешенного тела (б) и, соответственно, их безразмерных угловых скоростей (в), (г) Fig. 5. The graphs obtained when using the first set of approximating functions for : the angles of rotation of the cable (a), the suspended body (b) and, respectively, their dimensionless angular velocities (c), (d) 2) При использовании второго набора аппроксимирующих функций при были получены решения той же самой задачи, как в случае 1. Значения коэффициентов в законе управления (14): ; ; ; ; . На рис. 6 показан график закона управления для случая 2 при : (а) - для ускорения ; (б) - для перемещения . Для этого же расчетного случая 2 на рис. 7 представлены графики углов поворота троса и подвешенного тела (а) и (б), соответственно, а также - их угловых скоростей (в) и (г). В данном случае имеем: ; ; ; . а б Рис. 6. Полученные при использовании второго набора аппроксимирующих функций при графики закона управления: а - по ускорению; б - по перемещению Fig. 6. The graphs of the control law obtained when using the second set of approximating functions for : a - for acceleration; b - for displacement а б в г Рис. 7. Полученные при использовании второго набора аппроксимирующих функций при графики: углов поворота троса (а), подвешенного тела (б) и, соответственно, их безразмерных угловых скоростей (в), (г) Fig. 7. The graphs obtained when using the second set of approximating functions for : the angles of rotation of the cable (a), the suspended body (b) and respectively their dimensionless angular velocities (c), (d) 4.2. Управляемое перемещение тела, подвешенного на тросе переменной длины Длина троса изменяется по закону (13). Безразмерные параметры системы: ; ; ; ; . 1) При использовании первого набора аппроксимирующих функций при значения коэффициентов в законе управления (14) для соответственно: ; ; . На рис. 8 представлены полученные графики этого закона: а - для ускорения ; б - для перемещения . На рис. 9 представлены результаты решения для углов поворота троса (а) и подвешенного тела (б), а также для их безразмерных угловых скоростей (в) и (г) соответственно. Для данного расчетного случая ; ; ; . а б Рис. 8. Закон кинематического управления, полученный при использовании первого набора аппроксимирующих функций при : а - по ускорению; б - по перемещению Fig. 8. The kinematic control law obtained by using the first set of approximating functions for : a - for acceleration; b - for displacement а б в г Рис. 9. Полученные при использовании первого набора аппроксимирующих функций при графики: углов поворота троса (а), подвешенного тела (б) и, соответственно, их безразмерных угловых скоростей (в), (г) Fig. 9. The graphs obtained when using the first set of approximating functions for : the angles of rotation of the cable (a), the suspended body (b) and respectively their dimensionless angular velocities (c), (d) Также были получены решения с использованием первого набора аппроксимирующих функций при , . Значения коэффициентов в (14): ; ; . Для этого расчетного случая на рис. 10 представлены графики закона управления: а - по ускорению ; б - по перемещению , а на рис. 11 - графики для углов поворота троса (а) и подвешенного тела (б), а также для их безразмерных угловых скоростей (в) и (г) соответственно. В данном случае ; ; ; . а б Рис. 10. Полученные при использовании первого набора аппроксимирующих функций при графики закона управления: а - по ускорению; б - по перемещению Fig. 10. The graphs of the control law obtained when using the first set of approximating functions for: a - for acceleration; b - for displacement а б в г Рис. 11. Полученные при использовании первого набора аппроксимирующих функций при графики: углов поворота троса (а), подвешенного тела (б) и, соответственно, их безразмерных угловых скоростей (в), (г) Fig. 11. The graphs obtained when using the first set of approximating functions for : the angles of rotation of the cable (a), the suspended body (b) and respectively their dimensionless angular velocities (c), (d) 2) При использовании второго набора аппроксимирующих функций при были получены решения той же самой задачи, как в случае 1. Значения коэффициентов в законе управления (14): ; ; ; ; . На рис. 12 показаны графики закона управления для случая 2 при : а - для ускорения ; б - для перемещения . Для этого же расчетного случая на рис. 13 представлены графики углов поворота троса и подвешенного тела (а) и (б), соответственно, а также - их угловых скоростей (в) и (г). В данном случае имеем: ; ; ; . а б Рис. 12. Полученные при использовании второго набора аппроксимирующих функций при графики закона управления: а - по ускорению; б - по перемещению Fig. 12. The graphs of the control law obtained when using the second set of approximating functions for : a - for acceleration; b - for displacement а б в г Рис. 13. Полученные при использовании второго набора аппроксимирующих функций при графики: углов поворота троса (а), подвешенного тела (б) и, соответственно, их безразмерных угловых скоростей (в), (г) Fig. 13. The graphs obtained when using the second set of approximating functions for : the angles of rotation of the cable (a), the suspended body (b) and respectively their dimensionless angular velocities (c), (d) Заключение 1. Предложен новый подход для решения задачи терминального управления линейной системой с конечным числом степеней свободы и с переменными параметрами. Вектор обобщенных координат и управляющая функция ищутся в рядах по заданным на конечном интервале времени аппроксимирующим функциям с неизвестными коэффициентами. Для коэффициентов, представляющих движение системы, уравнения составляются по методу Бубнова-Галеркина, а для коэффициентов управляющей функции используются невыполненные при выборе аппроксимирующих функций начальные и конечные условия. Задача сводится к связанной системе линейных алгебраических уравнений. 2. Решена плоская задача поступательно-вращательных колебаний тяжелого твердого тела, подвешенного на тросе изменяемой по заданному закону длины с точкой его подвеса, совершающей управляемое горизонтальное перемещение. Тело передвигается из начального положения покоя в заданное конечное положение покоя за определенное время с устранением колебаний в конце операции. 3. Исследована сходимость и точность решения задачи при использовании двух различных наборов аппроксимирующих функций при двух различных числах членов ряда для каждого рассмотренного варианта. Для этого выполнены сравнения с численными решениями по методу Адамса дифференциальных уравнений движения системы при найденной для каждого варианта управляющей функции. Показано, что достаточная для практических расчетов точность получается при аппроксимации управляющей функции трехчленным рядом по синусам. Такие управляющие функции вполне пригодны для пассивного управления системой с помощью электрических или гидравлических приводов. 4. Результаты решенной задачи имеют большое практическое значение для уменьшения времени операции передвижения, например, на мостовом кране (одновременное вертикальное и горизонтальное перемещение тела без его колебаний в начале и конце) тяжелых грузов, подвешенных на тросе с изменяемой по заданному закону длиной при управляемом горизонтальном перемещении точки его подвеса.

### S V Russkikh

Moscow Aviation Institute (National Research University); Institute of Applied Mechanics Russian Academy of Sciences

### F N Shklyarchuk

Moscow Aviation Institute (National Research University); Institute of Applied Mechanics Russian Academy of Sciences

# References

1. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. - М.: Наука, 1989. - 363 с.
2. Ковалева А.С. Управление колебательными и виброударными системами. - М.: Наука, 1990. - 256 с.
3. Расчет и проектирование систем разделения ступеней ракет / К.С. Колесников, В.В. Кокушкин, С.В. Борзых, Н.В. Пан-кова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 376 с.
4. Dynamics and Control of Large Space Structures / G.S. Nurre, R.S. Ryan, H.N. Scofield, J.I. Sims // Journal of Guidance, Control and Dynamics. - 1984. - Vol. 7. - No. 5. - P. 514-526.
5. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. - М.: Машиностроение, 1986. - 216 с.
6. Das S.K., Utku S., Wada B.K. Inverse Dynamics of Adaptive Space Cranes with Tip Point Adjstment // 31st Structures, Structural Dynamics and Materials Conf. - 1990. - Art. AIAA-90-1166-CP. - P. 2367-2374.
7. Bainum P.M., Li F. Optimal large angle maneuvers of a flexible spacecraft // Acta Astronautica. - 1991. - Vol. 25. - No. 3. - P. 141-148.
8. Chan J.K., Modi V.J. A Closed-Form Dynamical Analysis of an Orbiting Flexible Manipulator // Acta Astronautica. - 1991. - Vol. 25. - No. 2. - P. 67-76.
9. Meirovitch L., Kwak M.K. Control of Flexible Spacecraft with Time-Varying Configuration // Journal of Control, Guidance and Dynamics. - 1992. - Vol. 15. - No. 2. - P. 314-324. doi: 10.2514/3.20839.
10. Miller D.W., Crawley E.F. Theoretical and Experimental Investigation of Space-Realizable Inertial Actuation for Passive and Active Structural Control // Journal of Guidance, Control and Dynamics. - 1988. - Vol. 11. - No. 5. - P. 449-458. doi: 10.2514/3.20338.
11. Закрежевский А.Е. Об оптимальном развороте упругого космического аппарата // Прикладная механика. - 2003. - Т. 39, № 8. - С. 106-113.
12. Ротенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1971. - 396 с.
13. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. - М.: Наука, 1985. - 352 с.
14. Разыграев А.П. Основы управления полетом космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1990. - 480 с.
15. Ганиев Р.Ф., Закрежевский А.Е. Программные движения управляемых деформируемых конструкций. - М.: Наука, 1995. - 213 с.
16. Masters B.P., Crawley E.F. Evolutionary Design of Controlled Structures // Journal of Aircaft. - 1999. - Vol. 36. - No. 1. - P. 209-217. doi: 10.2514/2.2427.
17. Матюхин В.И. Управление механическими системами. - М.: Физматлит, 2009. - 320 с.
18. Динамика управляемых движений вибрационных сис¬тем / Н.Н. Болотник, И.М. Зейдис, К. Циммерманн, С.Ф. Яцун // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 5. - С. 157-167.
19. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. - М.: Наука, 1976. - 383 с.
20. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. - М.: Физматлит, 2006. - 326 с.
21. Бербюк В.Б. Динамика и оптимизация робототехнических систем. - Киев: Наук. думка, 1989. - 187 с.
22. Кубышкин Е.П. Оптимальное управление поворотом твердого тела с гибким стержнем // ПММ. - 1992. - Т. 56. - Вып. 2. - С. 240-249.
23. Гришанина Т.В., Русских С.В., Шклярчук Ф.Н. Управление конечным поворотом упругой системы из одного состояния в другое с гашением колебаний в момент окончания операции // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физико-математические науки. - 2017. - Т. 159. - Кн. 4. - С. 429-443.
24. Русских С.В. Управляемый поворот космического аппарата с упругими панелями солнечных батарей // Изв. вузов. Машиностроение. - 2016. - № 12 (681). - С. 97-105.
25. Русских С.В., Шклярчук Ф.Н. Конечное поперечное передвижение упругого стержня с массой на конце с гашением колебаний в момент остановки [Электронный ресурс] // Инженерный журнал: наука и инновации. - 2018. - Вып. 7. - URL: http://engjournal.ru/catalog/mech/mdsb/1786.html (дата обращения: 18.07.2018). doi: 10.18698/2308-6033-2018-7-1786.
26. Шклярчук Ф.Н., Русских С.В. Избранные задачи динамики упругих космических систем. - М.: Изд-во МАИ, 2017. - 80 с.
27. Гришанина Т.В. Управляемый поворот упругого стержня на конечный угол // Вестн. МАИ. - 2004. - Т. 11, № 1. - С. 64-68.
28. Гришанина Т.В. Устранение колебаний упругой системы после ее быстрого передвижения и поворота // Вестн. МАИ. - 2004. - Т. 11, № 2. - С. 68-75.
29. Гришанина Т.В. Динамика управляемого движения упругих систем при конечных перемещениях и поворотах // Изв. РАН. МТТ. - 2004. - № 6. - С. 171-186.
30. Гришанина Т.В., Шклярчук Ф.Н. Динамика упругих управляемых конструкций. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 328 с.
31. Формальский А.М. Перевернутый маятник на неподвижном и подвижном основании // ПММ. - 2006. - Т. 70. - Вып. 1. - С. 62-71.
32. Зевин А.А., Филоненко Л.А. Качественное исследование колебаний маятника с периодически меняющейся длиной и математическая модель качелей // ПММ. - 2007. - Т. 71. - Вып. 6. - С. 989-1003.
33. Акуленко Л.Д. Оптимальное по быстродействию приведение возмущенного динамического объекта в заданное положение // ПММ. - 2008. - Т. 72. - Вып. 2. - С. 230-240.
34. Холостова О.В. О движениях двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса // Изв. РАН. МТТ. - 2009. - № 2. - С. 25-40.
35. Буланчук П.О., Петров А.Г. Параметры вибрации точки подвеса для заданного положения равновесия двойного математического маятника // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 4. - С. 31-39.
36. Мартыненко Ю.Г., Формальский А.М. Управляемый маятник на подвижном основании // Изв. РАН. МТТ. - 2013. - № 1. - С. 9-23.
37. Асланов B.C., Безгласный С.П. Устойчивость и неустойчивость управляемых движений двухмассового маятника переменной длины // Изв. РАН. МТТ. - 2012. - № 3. - С. 32-46.
38. Ананьевский И.М., Анохин Н.В. Управление пространственным движением многозвенного перевернутого маятника с помощью момента, приложенного к первому звену // ПММ. - 2014. - Т. 78. - Вып. 6. - С. 755-765.
39. Воробьёв Е.И. Осуществление заданного относительного движения двух твёрдых тел двуруким роботом // Изв. РАН. МТТ. - 2018. - № 2. - С. 122-128.
40. Матюхин В.И. Приведение двух твердых тел в контакт без ударов ограниченными управлениями за конечное время // ПММ. - 2010. - Т. 74. - Вып. 5. - С. 840-855.

# Statistics

#### Views

Abstract - 72

PDF (Russian) - 33

#### PlumX

Copyright (c) 2018 Russkikh S.V., Shklyarchuk F.N.