# Abstract

In practice, composite shells, plates and beams of complex shapes are widely used. Finite element calculations of three-dimensional composite bodies, taking into account their structure and complex shape are reduced to the construction of high dimensional discrete models. To reduce the discrete model dimension, multigrid finite elements (MgFE) are effectively used. When constructing m - grid finite element ( m gFE) m nested grids are used. The fine grid is generated by the base partitioning of m gFE, taking into account its heterogeneous structure and shape. On m - 1 coarse grids, the displacement functions used to reduce the dimension of the base partitioning are determined, which allows one to develop a small dimensional MgFE. The displacement functions and stress state in the MgFE described by the equations of the three-dimensional elasticity problems are represented in local rectangular coordinates. Characteristic properties of MgFE are as follows. When constructing MgFE (without increasing their dimension), arbitrarily small basic partitions can be used arbitrarily closely taking into account the complex inhomogeneous structure and shape of the MgFE, and arbitrarily closely describing the three-dimensional stress state in the MgFE. The present paper proposes a method of generating finite elements (FE) to construct complex-shaped three-dimensional composite multi-grid finite elements (MgFE) of two types. The principal of the generating FE method is as follows. The 1st type MgFE region is obtained by turning a given flat generating single-grid FE (complex shape) around a given axis by a given angle, the 2nd type MgFE region by a parallel moving the generated FE in a given direction to a specified distance. The 1st type MgFEs are used to calculate the composite rotational shells, the 2nd type MgFE are for composite cylindrical complex-shaped shells (with a variable radius of curvature), plates and beams. The advantages of the proposed MgFE are to take into account the complex heterogeneous and micro-heterogeneous body structure and shape, to give rise to small-dimensional discrete models and high accuracy solutions.

# Full Text

Введение Метод конечных элементов (МКЭ) [1-7] широко используется при расчете упругих оболочек [8-22], пластин [14, 16, 22] и балок. Построение криволинейных конечных элементов (КЭ) при расчете оболочек сопряжено с различными трудностями [3], в частности, связанными с исключением смещений в КЭ как жесткого целого [8], выполнением условий непрерывности, что необходимо для сходимости конечно-элементных решений [4]. Эти трудности объясняются тем, что в технических теориях оболочек, пластин и балок используются гипотезы, которые накладывают определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений, что порождает неустранимые погрешности в решениях и затрудняет их применение. В работе [22] представлен обзор основных вариантов использования МКЭ для расчета композитных пластин и оболочек в двухмерной постановке. Расчет композитных оболочек по МКЭ в постановке трехмерной задачи теории упругости [23] с учетом их структуры сводится к построению базовых дискретных моделей высокой размерности, порядка . Применение для таких дискретных моделей программ расчета ANSYS, NASTRAN и др. [3] требует больших ресурсов ЭВМ. Кроме того, увеличение размерностей дискретных моделей приводит к резкому возрастанию погрешности вычислений ЭВМ, определить точное значение которой трудно. Для понижения размерностей дискретных моделей композитных тел эффективно применяются многосеточные конечные элементы (МнКЭ) [24-28], в которых реализуется трехмерное напряженное состояние и которые используются в методе многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [26-28]. ММКЭ реализуется на основе выполнения принципа возможных перемещений [29] для каждого МнКЭ и для всей дискретной модели тела, на базе алгоритмов МКЭ. Основные достоинства ММКЭ: 1. В ММКЭ (без увеличения размерностей МнКЭ) можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения тел (т.е. МнКЭ), что позволяет сколь угодно точно учитывать их сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру, сложный характер закрепления и нагружения тел. 2. Реализация ММКЭ (на основе базовых моделей тел) требует значительно (в раз) меньше памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых моделей, т.е. ММКЭ более экономичный, чем МКЭ. 3. В ММКЭ применяются однородные и композитные МнКЭ, при построении которых используются вложенные сетки, что расширяет область применения ММКЭ. В МКЭ применяются односеточные КЭ, которые являются однородными. Отметим, что при решении краевых задач всегда вместо МКЭ можно применить ММКЭ, так как всегда вместо односеточных КЭ можно использовать МнКЭ. Поскольку при построении n-сеточного КЭ используется не одна, а вложенных сеток (), то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т.е. МКЭ - частный случай ММКЭ. Отсюда следует, что если в расчетах тел на базе МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае, по сути, реализуется ММКЭ. В данной работе для проектирования трехмерных композитных и однородных МнКЭ двух типов сложной формы предложен метод образующих КЭ, который отличается от известных подходов построения МнКЭ [24-28]. Согласно этому методу область МнКЭ получается путем заданного перемещения в трехмерном пространстве плоского односеточного КЭ заданной (сложной) формы и заданного порядка (с заданным расположением и количеством узлов), который будем называть образующим КЭ. Область МнКЭ 1-го типа получается путем поворота образующего КЭ вокруг заданной оси на заданный угол, область МнКЭ 2-го типа - путем параллельного перемещения образующего КЭ вдоль заданной прямой на заданное расстояние. Предлагаемый метод позволяет проектировать МнКЭ, у которых один характерный размер значительно больше (МнКЭ балочного типа) или меньше (МнКЭ пластинчатого типа) других. Узлы образующего КЭ являются узлами крупной сетки МнКЭ, причем узлы всякого поперечного сечения крупной сетки МнКЭ являются узлами образующего КЭ. Такой подход упрощает процедуру построения аппроксимирующих функций перемещений на крупных сетках МнКЭ сложной формы, в которой используются базисные функции образующих КЭ, и по направлению движения образующих КЭ - полиномы Лагранжа. МнКЭ 1-го типа применяются для расчета композитных (однородных) оболочек вращения, МнКЭ 2-го типа - композитных (однородных) цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности), пластин и балок сложной формы. 1. Многосеточные КЭ 1-го типа Рассмотрим процедуры построения МнКЭ 1-го типа для расчета композитных и однородных оболочек вращения, колец сложной формы и валов, имеющих центральные круговые отверстия, Отметим, что МнКЭ 1-го типа могут применяться для расчета оболочечных конструкций, состоящих из фрагментов оболочек вращения. Например, овальная цилиндрическая оболочка [30] (главная часть фюзеляжа самолета, корпуса подводной лодки) состоит из фрагментов двух круговых цилиндрических оболочек различных радиусов. Основные положения построения МнКЭ 1-го типа, используемых для анализа трехмерного напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных (однородных) оболочек вращения, рассмотрим на примере оболочечного двухсеточного КЭ (2сКЭ) сложной формы, имеющего неоднородную структуру (рис. 1). Считаем, что между разномодульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ , связи идеальны (т.е. на общих границах разномодульных однородных тел 2сКЭ перемещения и напряжения непрерывны). Базовое разбиение 2сКЭ состоит из криволинейных однородных 1сКЭ 1-го порядка, , - общее число 1сКЭ . Разбиение учитывает неоднородную структуру (в рамках микроподхода), сложную форму 2сКЭ и порождает трехмерную криволинейную мелкую сетку . Рис. 1. Оболочечный 2cКЭ Fig. 1. Shell-type 2gFE На рис. 2 показано сечение мелкой сетки . При построении 1сКЭ используем уравнения трехмерной задачи теории упругости [23], записанные в локальной декартовой системе координат 1сКЭ (более подробно в [25]). Следовательно, в 2сКЭ реализуется трехмерное НДС. На мелкой сетке определяется крупная сетка 2сКЭ , т.е. . Отметим, что в общем случае некоторые узлы крупных сеток МнКЭ могут не совпадать с узлами мелких сеток. Для 2сКЭ введены три локальные системы координат: декартовая , криволинейная и для узлов крупной сетки 2сКЭ - криволинейная целочисленная , оси которой совпадают с осями , . На оси расположены 3 узла сетки , т.е. , на осях - по 4 узла сетки , т. е. , узлы сетки отмечены точками, 36 узлов, на каждой оси i, j, k отмечен нумерацией только первый и последний узел (рис. 1, 2). Ось лежит в плоскости , причем, . Ось проходит через крайние узлы сетки , лежащие на оси (см. рис. 1), - ось оболочки. Образующий односеточный КЭ (1сКЭ) для 2сКЭ имеет 12 узлов крупной сетки , которые отмечены точками (см. рис. 2). Боковые стороны 1сКЭ параллельны и пунктиром продолжены до пересечения с осью . Область 2сКЭ получается путем вращения образующего 1сКЭ сложной формы вокруг оси на заданный угол (отвечающий разбиению оболочки на 2сКЭ), - угол раствора 2сКЭ . С помощью узлов образующего КЭ (при его вращении) определяется крупная сетка 2сКЭ. Радиусы , (, ) описывают нижние (верхние) границы боковых граней 2сКЭ. На крупной сетке определяем функции перемещений , , . Рис. 2. Образующий 1cКЭ Fig. 2. Forming 1gFE Базисную функцию для узла крупной сетки 2сКЭ ищем в форме , (1) где - базисная функция узла 1сКЭ , отвечающая полиному вида [2], , ; - полином Лагранжа 2-го порядка, имеющие вид , где () - угол раствора узла (узла ), (см. рис. 1); - угол раствора точки , лежащей на оси . Таким образом, базисные функции 2сКЭ 1-го типа представляются функциями формы образующего 1сКЭ и полиномами Лагранжа (в направлении вращения образующего КЭ вокруг оси ). Обозначим: , где ; ; . Используя (1), функции перемещений , , представим в форме , , , (2) где , , , - базисная функция и перемещения β-го узла сетки ; . Функционал полной потенциальной энергии базового разбиения 2сКЭ запишем в форме , (3) где , , - матрица жесткости, векторы узловых сил и перемещений 1сКЭ , отвечающие локальной декартовой системе координат 2сКЭ (см. рис. 1). Используя (2), вектор узловых перемещений базового 1сКЭ выражаем через вектор узловых перемещений крупной сетки (), т.е. , (4) где - прямоугольная матрица, . Подставляя (4) в (3) и выполняя условие [29], получаем матричное соотношение , где , . (5) Здесь - матрица жесткости и - вектор узловых сил 2сКЭ 1-го типа. Отметим, что функции перемещений , , , построенные на крупной сетке , применяются для понижения размерности базового разбиения 2сКЭ . Решение, построенное для сетки 2сКЭ , с помощью формулы (4) проецируем на мелкую сетку базового разбиения 2сКЭ , что дает возможность вычислять напряжения в любом 1сКЭ базового разбиения , т.е. определять напряжения в любом точке области 2сКЭ . Частный случай оболочки вращения, т.е. расчет упругой композитной круговой цилиндрической оболочки (срединная поверхность которой имеет один радиус кривизны) сложной формы с помощью МнКЭ оболочечного типа рассмотрен в работе [25]. Базисные функции крупных сеток 2сКЭ в этом случае определяются в виде полиномов Лагранжа или с помощью известных степенных полиномов 1, 2 и 3-го порядка [2, 6], записанных в локальных декартовых системах координат. Для верификации МнКЭ оболочек вращения используется известная численная процедура, подробно описанная в работе [25]. Аналогично, с помощью процедур, изложенных в п. 1, проектируются 2сКЭ для расчета композитных колец сложной формы и валов, которые имеют центральные круговые отверстия. Замечание 1. В силу (4) размерность вектора (т.е. размерность 2сКЭ ) не зависит от - общего числа базовых КЭ , из которых состоит область 2сКЭ . Следовательно, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения , которые позволяют сколь угодно точно учитывать сложную форму, неоднородную (микронеоднородную) структуру 2сКЭ , сложный характер его закрепления и нагружения и сколь угодно точно описывать трехмерное напряженное состояние в 2сКЭ . Итак, измельчение базового разбиения не приводит к увеличению размерности 2сКЭ . Расчеты показывают, что измельчение базовых разбиений МнКЭ приводит к уменьшению погрешности решений. Трехсеточные КЭ (3сКЭ) 1-го типа проектируются на основе 2сКЭ 1-го типа с помощью процедур, аналогичных процедурам в п. 1. Итак, при проектировании -сеточного КЭ используются образующих КЭ, причем, узлы образующего КЭ создают крупную сетку n-сеточного КЭ. Однородные МнКЭ оболочек вращения, колец и круглых валов с центральными круговыми отверстиями проектируются по процедурам п. 1. Важно отметить, что расчет однородных тел с применением МнКЭ требует в раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовых моделей, при этом решения, отвечающие многосеточным и базовым дискретным моделям, мало отличаются друг от друга. 2. Многосеточные КЭ 2-го типа Рассмотрим процедуры построения МнКЭ 2-го типа, применяемые для расчета композитных и однородных цилиндрических оболочек, пластин и балок сложной формы, которые широко используются на практике. 2.1. Многосеточные КЭ для расчета цилиндрических оболочек сложной формы Процедуру построения МнКЭ 2-го типа, которые используются для анализа трехмерного НДС композитных (однородных) цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности) сложной формы, рассмотрим на примере композитного 2сКЭ (который используется в примере расчета цилиндрической оболочки, см. п. 3) с характерными размерами , имеющего прямоугольное отверстие, сечение которого на рис. 3 закрашено; - локальная декартовая система координат. Область 2сКЭ получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ сложной формы (сечение отверстия закрашено, рис. 4) вдоль оси на заданное расстояние . Считаем, что между разномодульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ , связи идеальны. Рис. 3. Двухсеточный КЭ Fig. 3. Two-mesh FE Рис. 4. Образующий 1сКЭ Fig. 4. Forming 1gFE Базовое разбиение 2сКЭ состоит из однородных 1сКЭ 1-го порядка формы куба со стороной [2, 6], , где - общее число 1сКЭ . Разбиение учитывает неоднородную структуру, сложную форму 2сКЭ и порождает мелкую сетку , в которую вложена крупная сетка 2сКЭ, . Узлы крупной сетки на рис. 3 отмечены точками, 60 узлов. Узлы образующего 1сКЭ являются узлами крупной сетки . С помощью узлов образующего КЭ (при его параллельном перемещении) определяется крупная сетка 2сКЭ. На рис. 4 1сКЭ имеет 12 узлов, которые отмечены точками. В 1сКЭ напряженное состояние описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости [23], записанными в локальной декартовой системе координат 1сКЭ . Следовательно, в области 2сКЭ реализуется трехмерное НДС. Паре чисел , где , , определим целое , . Базисную функцию для узла крупной сетки 2сКЭ ищем в форме , (6) где ; - функция формы -го узла образующего 1сКЭ , , отвечающая полиному , который в локальной декартовой системе координат (см. рис. 4) имеет вид [2] +, (7) где - полином Лагранжа 4-го порядка, , - координата узла сетки , лежащего на оси , которая параллельна оси (см. рис. 3). В формуле (6) базисные функции 2сКЭ 2-го типа представляются функциями формы образующего 1сКЭ и в направлении движения образующего 1сКЭ (т.е. по оси ) - полиномами Лагранжа . Используя (6), функции перемещений , , для крупной сетки представим как , , , (8) где , , , - базисная функция и функция перемещения β-го узла сетки , . Отметим, что функции перемещений , , , построенные на крупной сетке , используются только для понижения размерности базового разбиения 2сКЭ (см. п. 1). Используя функции перемещений (8), по алгоритмам, аналогичным алгоритмам в п. 1, определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил 2сКЭ 2-го типа. Трехсеточные КЭ 2-го типа, которые применяются для расчета композитных (однородных) цилиндрических оболочек сложной формы, проектируются с применением 2сКЭ 2-го типа (см. рис. 3) на основе процедур, аналогичных процедурам в п. 1. 2.2. Многосеточные КЭ для расчета балок сложной формы Процедуру построения МнКЭ 2-го типа, применяемых для анализа трехмерного НДС композитных и однородных прямолинейных балок, рассмотрим на примере балочного композитного 2сКЭ , имеющего сложную форму сечения. Пусть 2сКЭ имеет отверстие прямоугольного сечения (на рис. 5 сечение заштриховано). Область 2сКЭ получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ (сечение отверстия заштриховано, рис. 6) вдоль оси на заданное расстояние . Считаем, что между разномодульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ , связи идеальны. Базовое разбиение 2сКЭ состоит из трехмерных однородных 1сКЭ 1-го порядка, где . Разбиение учитывает неоднородную структуру и сложную форму 2сКЭ и порождает мелкую сетку , в которую вложена крупная сетка 2сКЭ. Узлы сетки отмечены точками, 48 узлов (см. рис. 5). Крупная сетка 2сКЭ определяется с помощью узлов образующего КЭ. Для 2сКЭ введены две локальные системы координат: декартовая и для узлов крупной сетки - криволинейная целочисленная , где . Рис. 5. 2сКЭ балочного типа Fig. 5. Beam-type 2gFE Рис. 6. Образующий 1сКЭ Fig. 6. Forming 1gFE В области 1сКЭ напряженное состояние описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости [23], записанными в локальной декартовой системе координат КЭ . Следовательно, в области 2сКЭ реализуется трехмерное НДС. Узлы образующего 1сКЭ 3-го порядка являются узлами крупной сетки , которые отмечены точками, 12 узлов (рис. 6). Базисную функцию для узла крупной сетки определяем в виде , (9) где - базисная функция узла образующего КЭ , отвечающая полиному вида (7), - полином Лагранжа 3-го порядка, имеющий вид , где , - координата узла сетки , лежащего на оси (т.е. на оси ) (см. рис. 5). Используя (9), функции перемещений , , для сетки запишем в виде , , , (10) где , , , - базисная функция и функция перемещения β-го узла сетки , . Отметим, что функции перемещений , , , построенные на крупной сетке , используются только для понижения размерности базового разбиения 2сКЭ (см. п. 1). С помощью функций перемещений (10) по алгоритмам, аналогичным алгоритмам в п. 1, определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил балочного 2сКЭ 2-го типа. Замечание 2. Предложенный метод позволяет проектировать 2сКЭ, у которых один характерный размер значительно больше или меньше других. В направлении Oy большого размера 2сКЭ целесообразно использовать высокий порядок аппроксимации перемещений (т.е. высокий порядок полиномов Лагранжа ), что позволяет уменьшить погрешность решения. 2.3. Многосеточные КЭ для расчета пластин сложной формы Рассмотрим процедуру построения 2сКЭ 2-го типа, которые используются для анализа трехмерного НДС композитных и однородных пластин на примере пластинчатого 2сКЭ сложной формы, который имеет неоднородную структуру (рис. 7), - декартовая система координат. Считаем, что между разномодульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ, связи идеальны. Характерные размеры , 2сКЭ значительно больше размера , - толщина 2сКЭ. Область 2сКЭ получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ (который имеет 9 узлов, отмечены точками, рис. 8) вдоль оси на заданное расстояние . С помощью узлов образующего КЭ (при его перемещении) определяется крупная сетка 2сКЭ имеет 27 узлов, отмеченных точками на рис. 7. Базовое разбиение 2сКЭ состоит из однородных КЭ 1-го порядка формы куба (прямоугольного параллелепипеда [2, 6]), в которых реализуется трехмерное НДС. Отметим, что базовые разбиения 2сКЭ могут быть сколь угодно мелкими, т.е. могут сколь угодно точно учитывать неоднородную структуру и сложную форму 2сКЭ. Рис. 7. Пластинчатый 2сКЭ Fig. 7. Plate-type 2gFE Рис. 8. Образующий 1cКЭ Fig. 8. Forming 1gFE Базисную функцию для узла крупной сетки 2сКЭ ищем в форме (6), где , - функция формы i-го узла образующего 1сКЭ , , отвечающая полиному вида представленного в локальной декартовой системе координат (рис. 8), - полиномы Лагранжа 2-го порядка . Матрицу жесткости и вектор узловых сил 2сКЭ пластинчатого типа определяем, используя процедуры, аналогичные процедурам в подп. 2.1. Дискретные модели пластин в общем случае состоят из 2сКЭ сложной формы (криволинейных типа 2сКЭ ) и 2сКЭ формы прямоугольного параллелепипеда, при построении которых используются степенные полиномы [2, 6] и полиномы Лагранжа [27]. Отметим, что предлагаемые МнКЭ 1-го и 2-го типа можно использовать при анализе трехмерного НДС гофрированных пластин, панелей и перекрытий [31-33] (гофра имеет вид трапеции, прямоугольника, треугольника, части дуги окружности и т.д.). 3. Результаты численных экспериментов Рассмотрим модельную задачу деформирования композитной цилиндрической оболочки (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности) сложной формы, с характерными размерами , где , имеющей отверстие, прямоугольное сечение которого на рис. 9 закрашено. При имеем . Рис. 9. Оболочка Fig. 9. Shell Базовое разбиение оболочки состоит из однородных КЭ 1-го порядка в форме куба со стороной [2, 6], в которых реализуется трехмерное НДС [23]. Разбиение учитывает неоднородную структуру, форму оболочки и порождает мелкую сетку . Волокна (сечением ) параллельны оси . Модуль Юнга связующего материала равен 1, волокна - 10, коэффициент Пуассона для волокон и матрицы равен 0,3. В узлах сетки с координатами , , , , , , , , , , , действуют горизонтальные силы . Двухсеточная модель оболочки состоит из 2сКЭ (см. рис. 3), построенных по процедуре подп. 2.1, . На рис. 10 показана мелкая сетка (т. е. сетка ) сечения 2сКЭ при , точками отмечены узлы крупной сетки 2сКЭ , вложенной в мелкую сетку . Отверстие оболочки имеет размеры , сечения волокон закрашены. Рис. 10. Сетка в сечении 2сКЭ Fig. 10. Grid in section 2gFE Анализ результатов расчета оболочки показывает, что максимальное эквивалентное напряжение (перемещение ) двухсеточной дискретной модели оболочки отличается от максимального эквивалентного напряжения (перемещения ) базовой дискретной модели на 0,11 % (на 1,24 %). Размерность базовой модели оболочки равна 71280, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 534. Двухсеточная модель оболочки имеет 864 узловых неизвестных (т.е. имеет в 82,5 раз меньше неизвестных базовой модели), ширина ленты СУ ММКЭ равна 180 (в 2,9 раз меньше ширины ленты СУ МКЭ модели ). Реализация ММКЭ для двухсеточной модели требует в 244,75 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой . Эквивалентные напряжения определяются по 4-й теории прочности [34, 35]. Сравнительный анализ полученных результатов показывает, что использование в расчетах 2сКЭ обеспечивают малую погрешность (меньше 1,5 %) для максимальных перемещений, напряжений и экономию памяти ЭВМ в 244 раза. Заключение В данной работе рассмотрены трехмерные композитные и однородные МнКЭ двух типов сложной формы, которые проектируются с применением образующих КЭ. Показаны процедуры построения МнКЭ 1-го и 2-го типа, которые используются для расчета композитных (однородных) оболочек вращения, цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны), пластин и балок сложной формы. Основные достоинства предлагаемых МнКЭ состоят в том, что они учитывают неоднородную, микронеоднородную структуру и сложную форму тел, описывают трехмерное НДС в композитных (однородных) телах, образуют дискретные модели малой размерности и порождают приближенные решения с малой погрешностью.

### A D Matveev

Institute of Computational Modeling SB RAS

# References

1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. - Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. - 715 p.
2. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - С. 304.
3. Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: Физматлит, 2006. - С. 392.
4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 c.
5. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 c.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 544 c.
7. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 c.
8. Кабанов В.В., Железнов Л.П. К расчету цилиндрической оболочки методом конечных элементов // Прикладная механика. - 1985. - Т. XXI, № 9. - С. 35-40.
9. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Шубович А.А. Анализ напряженного деформированного состояния оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке при различных вариантах интерполяции перемещений. - Волгоград, 2013. - 152 c.
10. Киселев А.П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез // Изв. вузов. Строительство. - 2008. - № 1. - C. 18-23.
11. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов // Изв. вузов. Строительство. - 2010. - № 1. - С. 106-112.
12. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Решение трехмерных задач для толстых упругих оболочек на основе метода отсчетных поверхностей // Механика твердого тела. - 2014. - № 4. - С. 54-64.
13. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. On the use of a new concept of sampling surfaces in shell theory // Advanced Structured Materials. - 2011. - Vol. 15 - Р. 715-726.
14. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. - М.: Физматлит, 2008. - 432 c.
15. Noor A.K., Burton W.S. Assessment of computational models for multilayered composite shells // Applied Mechanics Reviews. - 1990. - Vol. 43. - Р. 67-97.
16. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates and shells // Archives of Computational Methods in Engineering. - 2002. - Vol. 9. - Р. 1-60.
17. A partial hybrid stress solid-shell element for the analysis of laminated composites / K. Rah, W. Van Paepegem, A.M. Habraken, J. Degrieck // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2011. - Vol. 200. - No. 49-52. - Р. 3526-3539.
18. Cinefra M., Carrera E. Shell finite elements with different through-the-thickness kine- matics for the linear analysis of cylindrical multilayered structures // Int. J. Num. Meth. Eng. - 2013. - Vol. 93 - No. 2. - Р. 160-182.
19. Ahmed A., Kapuria S. A four-node facet shell element for laminated shells based on thethird order zigzag theory // Composite Structures. - 2016. - Vol. 158. - Р. 112-127.
20. Carrera E., Pagani A., Valvano S. Shell elements with through-the-thickness variablekinematics for the analysis of laminated composite and sandwich structure // Composites Part B: Engineering. -2017. - Vol. 111. - Р. 294-314.
21. Yasin M.Y., Kapuria S. An efficient layerwise finite element for shallow composite and sandwich shells // Composite Structures. - 2013. - Vol. 98. - Р. 202-214.
22. Сaliri M.F., Ferreira A.J.M., Tita V. A review on plate and shell theories for laminatedand sandwich structures highlighting the finite element method // Composite Structures. - 2016. - Vol. 156. - P. 63-77.
23. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 c.
24. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел cложной формы // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2013. - № 1. - С. 182-195.
25. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы оболочечного типа // Изв. АлтГУ. - 2017. - № 4. Сер.: Физ.-мат. науки. - С. 120-125. doi: 10.14258/izvasu(2017)4-22
26. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. - Vol. 158. - No. 1. - Art. 012067. - P. 1-9.
27. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
28. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 530-543.
29. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Ленинград: Судостроение, 1977. - 280 c.
30. Железнов Л.П., Кабанов В.В., Бойко Д.В. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением // Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т. 47, № 3. - С. 119-125.
31. Xia Y., Friswell M.L., Saavedra Flores E.I. Equivalend models of corrugated panels // Itern. J. Solids Structures. - 2012. - Vol. 49. - No. 14. - P. 1453-1462.
32. Andrianov I.V., Diskovsky A.A., Kholod E.I. Homogenization method in the theory of corrugated plates // Tech. Mech. - 1998. - Bd. 18. - P. 123-133.
33. An analytical homogenization model for finite element modelling of corrugated cardboard / N. Talbi, A. Batti, R. Ayad, Y.Q. Guo // Composite Structures. - 2009. - Vol. 88. - P. 280-289.
34. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. Справочник. - М.: Машиностроение, 1993. - 639 c.
35. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наукова думка, 1975. - 704 c.

# Statistics

#### Views

Abstract - 212

PDF (Russian) - 251