The Phenomenological Model of Hyper Viscoelasticity of Elastomers with a Constant Orientation of the Main Stress Axes in the Accompanying Frame of Reference

Abstract


The Bergström-Boyce hyper-viscoelasticity model, which is based on considerations of the microstructure of rubber-like materials and uses the multiplicative decomposition of the total strain gradient, is considered and analyzed. Special attention is paid to the choice of the single-valuedness condition, which determines the rotation of the intermediate (relaxed) configuration and ensures the uniqueness of the multiplicative decomposition of the gradient total strain to the gradient of elastic deformations and the gradient of viscous deformations. To verify the validity of the statement that this choice is not essential, we found a solution of the test problem of simple shear according to the Bergström-Boyce model is obtained for the three most frequently used single-valuedness conditions. The results of numerical calculations showed a significant discrepancy for dynamic stresses and a less significant discrepancy for total stresses. To separate the permissible single-valuedness conditions from the physically unacceptable single-valuedness conditions, it is proposed to use the principle of the material frame-indifference. For this purpose, of we studied the transformation of the elastic deformations and viscous deformations gradients when replacing the reference system, to which there is no single point of view in the scientific literature. For the most frequently proposed and used single-valuedness conditions, it is shown which of them do not depend on the reference system choice. Since the list of such kind of allowable ratios can be expanded many times, the choice a single-valuedness condition should be solved in the same way as it is done, e.g. for elastic potentials: a proper formulation and conducting experimental studies, or a theoretical study of the material microstructure. A phenomenological model of hyper-viscoelasticity is proposed, based on a one-dimensional Kelvin-Poynting model and limited to the case when the main axes of stresses and strains (full, elastic and viscous ones) coincide and do not change their orientation relative to the material lines (fibers). This ensures the uniqueness of the corresponding multiplicative decomposition. In order to expand the range of strain rates when describing experimental data, the dependence of the viscosity coefficient on the second invariant of the right Cauchy-Green viscous strain measure in the power law of the apparent viscosity of the Reiner-Rivlin model is taken into account, which generalizes the corresponding dependence of the Bergström-Boyce model. The developed mathematical model of hyper-viscoelasticity of rubber-like materials is intended for the stress-strain state calculation of highly elastic shells of rotation under symmetric loading.

Введение В системах защиты от вибраций и ударов широкое распространение нашли пневматические элементы с резинокордными оболочками [1-3], а также резино-гидравлические виброопоры [4]. При проведении расчетов, как правило, материал оболочек полагается упругодеформируемым [5, 6]. В ряде случаев влиянием резины полностью пренебрегают по сравнению с несущей способностью армирующих нитей корда [7-9]. В то же время предварительные испытания показывают, что релаксация избыточного давления и усилия пневмоэлемента может достигать 25 % и более при выдержке постоянной высоты пневмоэлемента, в котором в качестве рабочей среды используется практически несжимаемая жидкость (например, вода). Причиной этого является вязкоупругость резинокордного композита, и прежде всего резины. Вследствие этого для повышения точности расчетов пневмоэлементов с резинокордными оболочками возникает необходимость в моделировании вязкоупругих свойств резины при конечных деформациях. При этом для симметрично нагруженных оболочек вращения достаточно ограничиться частным случаем, когда главные оси напряжений и деформаций совпадают и не изменяют своей ориентации относительно материальных линий (волокон) оболочки. Основополагающим математическим моделям, учитывающим влияние скорости деформации, посвящена обширная научная литература [10-17]. В обзоре [18] особо выделяется модель Бергстрёма-Бойс [19, 20] как одна из наиболее перспективных современных моделей гипервязкоупругости эластомеров. Среди многочисленных формулировок закона вязкоупругости для резиноподобных материалов модель Бергстрёма-Бойс наиболее популярна [21, 22], так как позволяет достаточно точно описывать экспериментальные данные, включая гистерезис при циклическом нагружении и зависимость диаграмм материала от скорости деформирования. Данная модель нашла широкое применение и признание, прошла экспериментальную проверку и получила дальнейшее развитие [23-28]. Настоящая статья посвящена обсуждению модели гипервязкоупругости Бергстрёма-Бойс, ее критическому анализу и феноменологическому обобщению с целью получения более достоверных результатов моделирования высокоэластичных оболочек вращения при симметричном нагружении. 1. Нелинейная гипервязкоупругая модель Бергстрёма-Бойс Йорген Бергстрем и Мэри Бойс разработали модель гипервязкоупругих материалов на основе соображений микроструктуры [19, 20]. Исходя из анализа экспериментальных данных было выработано положение, по которому механический отклик резиноподобных материалов может быть разложен на две части: реакцию равновесия и отклонение от равновесия, зависящее от времени. Это предполагает, что материал может быть смоделирован в виде двух полимерных сетей, действующих параллельно. Первая сеть фиксирует равновесный отклик материала и может моделироваться любой существующей моделью гиперэластичности. Вторая сеть моделируется идеальной сетью, подобной сети , и включенным последовательно элементом, который действует так, чтобы ослабить нагрузку на идеальную сеть со временем, позволяя описать характеристики, наблюдаемые в экспериментальном исследовании [19, 20]. Наглядно сформулированное положение иллюстрирует реологическая (механическая) модель Кельвина-Пойнтинга1 применительно к случаю одноосного растяжения / сжатия (рис. 1). В модели Кельвина-Пойнтинга упругий элемент параллельно соединен со звеном , называемым элементом Максвелла и состоящим из последовательно соединенных упругого и вязкого элементов. При медленном (квазистатическом) нагружении вязкий элемент не сопротивляется деформации и не воспринимает приложенные напряжения. Поэтому поведение материала определяется деформацией одного упругого элемента . В случае конечной скорости деформации работают все элементы модели, причем сопротивление вязкого элемента (демпфера) зависит от скорости деформации. При очень быстром динамическом (практически мгновенном) нагружении демпфер как бы «запирается», в нем не происходит деформации, и напряжение распределяется между упругими элементами и . В этом случае реакция системы является упругой, однако жесткость повышается по сравнению с медленным упругим деформированием. В начальный момент времени, при деформировании из ненагруженного состояния с произвольной по величине скоростью, напряжение принимает нулевое значение, что является характерной особенностью модели Кельвина-Пойнтинга. Как отмечалось Кельвином [15], упругость такой системы является «совершенной» в том смысле, что вся деформация полностью исчезает при разгрузке и является поэтому «упругой» (обратимой). Рис. 1. Реологическая модель Кельвина-Пойнтинга Fig. 1. Rheological model of Kelvin-Poynting При построении определяющих соотношений в [19] материал полагается однородным, изотропным и сжимаемым. Градиент полных деформаций считается одинаковым для обеих ветвей: (здесь и - радиусы-векторы материальной точки в отсчетной и актуальной конфигурациях соответственно). Градиент деформации представляется через градиент упругих деформаций и градиент вязких (неупругих) деформаций по формуле мультипликативного разложения (рис. 2): . (1) Тензор переводит локальную (бесконечно малую2) отсчетную конфигурацию материала в локальную промежуточную конфигурацию , получаемую из локальной актуальной конфигурации в результате полной виртуальной упругой разгрузки сети (см. рис. 1) в состояние без напряжений (рис. 2). По этой причине в [19] конфигурация называется разгруженной конфигурацией (relaxed configuration). По теореме Коши о полярном разложении градиент можно представить в виде , (2) где - собственный ортогональный тензор поворота, сопутствующий деформации; и - правый и левый тензоры растяжения, которые являются симметричными положительно определенными тензорами. Аналогичные разложения имеют место для градиентов и (см. рис. 2): , (3) . (4) Рис. 2. Мультипликативное разложение деформации: , , - бесконечно малая окрестность материальной точки среды в отсчетной, актуальной и промежуточной конфигурациях Fig. 2. Multiplicative strain decomposition: , , - is the infinitely small neighborhood of the material point of the medium in the current, current and intermediate configurations В свою очередь, левые тензоры растяжения , можно представить через их спектральное разложение: , , (5) где , - собственные числа (кратности удлинения); , - собственные векторы тензоров , соответственно. Тензор напряжений складывается из тензора напряжений сети и тензора напряжений сети (см. рис. 1): . (6) Тензоры , выражаются в [19] через главные напряжения: , . (7) Главные напряжения схематизируются по модели Арруда-Бойс [30], согласно которой квазистатический отклик материала относится к отклику кубической ячейки, содержащей восемь цепей Ланжевена, связывающих центр ячейки с его вершинами [30]. При этом получаются выражения (8) Здесь , - начальные модули упругости; , - предельные растяжения сети; - объемный модуль упругости, , (9) - кратность усредненного удлинения макромолекулярной цепи эластомера (эффективное деформационное растяжение цепи), , , (10) , (11) - первый и третий главные инварианты правых мер полных и упругих деформаций Коши-Грина; , , - функция, обратная функции Ланжевена . При использовании, например, модели гиперупругости Муни-Ривлина [18], имеющей упругий потенциал (12) главные напряжения определяются выражением [5] (13) с подстановками вида , . Здесь , , - главные инварианты тензора (для несжимаемого материала , [5]). Параметры , , - материальные постоянные, которые могут быть определены путем подгонки кривой материала в условиях одноосного квазистатического растяжения / сжатия. Модель Бергстрёма-Бойс допускает использование и других упругих потенциалов, прошедших экспериментальную проверку [5, 31, 32]. В более поздней работе Бергстрема и Бойс [20] определяющие соотношения (7), (8) представляются в тензорной (инвариантной) форме записи с несущественными изменениями в обозначениях и в представлении членов, учитывающих объемную деформацию. Вариации определяющих соотношений (7), (8) содержатся в [21, 22, 27, 28]. При кинематическом описании полимерной сети (см. рис. 1) полный градиент скорости разлагается на упругую и вязкую (неупругую) составляющие: , (14) где , , . (15) Для замыкания кинематических соотношений (14), (15) и обеспечения единственности мультипликативного разложения (1) Бергстрём и Бойс [19, 20] со ссылкой на обоснование [33] принимают для кососимметричного тензора соотношение . (16) Тензор скоростей вязких деформаций выражается для сети (см. рис. 1) через девиатор тензора напряжений по закону течения , (17) где , - девиатор и норма тензора соответственно; - единичный тензор. Фактически при постулировании (17) в [19, 20] неявно принимается, что материал является «вязко (неупруго) несжимаемым»3: . Интенсивность скорости вязких деформаций аппроксимируется в [19] степенным законом (в [20] без множителя благодаря перенормировке): , (18) где , , , - материальные постоянные (в приложениях используются только три материальные постоянные , , ), , , (19) - собственные числа правой меры вязких деформаций Коши-Грина . В формуле (18) множитель получен из соображений микроструктуры эластомера рассмотрением динамики рептационного движения полностью или частично неактивных полимерных цепей [19] при эвристическом предположении, что . Модель Бергстрёма-Бойс (1)-(19) содержит восемь материальных параметров , , , , , , , , заданием которых полностью определяется поведение вязкоупругого эластомера. По рекомендациям, приведенным в приложении к статье [19], первые пять параметров , , , , могут быть экспериментально оценены путем анализа квазистатических диаграмм одноосного растяжения / сжатия и диаграмм поведения материала во время нагрузки / разгрузки при циклическом одноосном растяжении / сжатии с заданной скоростью деформации. Оценка остальных трех параметров , , (особенно константы ), напротив, может быть выполнена только методом проб и ошибок, основанным на сравнении экспериментальных данных на одноосное растяжение / сжатие в заданном диапазоне скоростей деформации с соответствующими численными решениями уравнений математической модели [18, 19]. Таким способом успешные результаты получены при малых скоростях деформирования [25] и больших скоростях деформации при ударных испытаниях на разрезном стержне Гопкинсона [26]. При умеренно высоких скоростях деформирования в [21, 22] параметры модели подбирались отдельно для каждого динамического режима испытаний. Поэтому процедура определения единого набора значений параметров модели, пригодных для описания экспериментальных данных при разных скоростях нагружения, требует дополнительного исследования [21, 22]. 2. Критический анализ модели Бергстрёма-Бойс Центральной проблемой моделей вязкоупругости и пластичности, использующих мультипликативное разложение (1), является его неединственность [33-39]. Здесь имеется в виду тот факт, что если тензоры , удовлетворяют разложению (1), то аналогичное будет верно для тензоров , с произвольным ортогональным тензором поворота : . Последнее означает, что тензоры поворота , в разложениях (3), (4) оказываются неопределенными. Иными словами, само по себе разложение (1) не позволяет разделить упомянутые два вращения. В [37] рассматриваются следующие два варианта решения проблемы4: {1} и , {2} и , где - тензор поворота в полярном разложении градиента деформации (напомним, что в модели Бергстрёма-Бойс , ибо ). Конечное предпочтение отдается первому условию однозначности из соображений математического удобства. В последующей статье [33] помимо вышеуказанных двух условий однозначности вводится условие, ограничивающее значение спина вязких деформаций , входящего в (15). Из соображений удобства и простоты предлагается следующее условие однозначности: {3} , которое, очевидно, отлично от условия (16). При использовании ранее построенной модели [37] для решения тестовой задачи простого сдвига получаются идентичные результаты при обоих условиях «{2}» и «{3}». На основании этого в [33] делается вывод, что выбор конкретного ограничения не существенен при решении проблемы неоднозначности мультипликативного разложения. Допустимость ограничения «{3}» на спин вязких деформаций детально исследуется в [38]. Формулируется следующее положение: если у задачи есть решение, то любое зависящее от времени и пространства вращение промежуточной (разгрузочной) конфигурации (см. рис. 2) также дает (идентичное) решение и можно выбрать это вращение таким образом, чтобы преобразованное решение неупруго не вращалось: . При этом отмечается: «Результат такого характера кажется частью фольклора теории пластичности для изотропных материалов, но мы не знаем фактического доказательства» [38]. Затем такое доказательство приводится (на основании принятых допущений), после чего делается вывод, что при обсуждении проблемы неоднозначности мультипликативного разложения, связанной с изотропными вязкопластическими и аморфными твердыми телами, можно без потери общности ограничить внимание решениями с . Для полноты общей картины следует отметить, что в историческом обзоре теории пластичности [36] как допустимые варианты отмечаются условия однозначности , , , а в монографии [35] - еще два условия , . Чтобы понять, насколько существенным (или не существенным) является выбор конкретного условия однозначности мультипликативного разложения градиента деформации, применим модель гипервязкоупругости Бергстрёма-Бойс к решению задачи простого сдвига, которому соответствует закон движения , , , где - абсолютный сдвиг; - угол сдвига. Возьмем три условия однозначности , , . (20) Значения материальных параметров заимствуем из [19]: = 0,2 МПа, = 1,6, = 8, = 100 МПа, = 4, = 7 МПа-m/с, = -1. Рассмотрим один цикл нагружения и разгрузки, при котором деформирование происходит с постоянной равной скоростью = 2,5 с-1 до максимального значения = 2,5, соответствующего максимальному углу сдвига = 68,2°. Поскольку квазистатические напряжения в полимерной сети не зависят от выбора условия однозначности (20), наибольший интерес представляют динамические напряжения в полимерной сети (рис. 3). Как видим, влияние того, какой вариант будет выбран, является существенным. Однако отличия в значениях полных напряжений (рис. 4) менее значительны, что позволяет признать модель гипервязкоупругости Бергстрёма-Бойс вполне удовлетворительной при описании напряженного состояния по сравнению с описанием деформированного состояния промежуточной конфигурации не только в отношении поворотов, но и изменения расстояний между материальными точками в каждый момент времени (рис. 5). Рис. 3. Динамические напряжения (в полимерной сети ) при простом сдвиге по модели гипервязкоупругости Бергстрема-Бойс при разных условиях однозначности: 1 - ; 2 - ; 3 - Fig. 3. Dynamic stresses (in the polymer network ) under simple shear according to the Bergström-Boyce model of hyper-viscous elasticity under different conditions of uniqueness: 1 - ; 2 - ; 3 - Рис. 4. Полные напряжения при простом сдвиге по модели гипервязкоупругости Бергстрёма-Бойс при разных условиях однозначности: 1 - ; 2 - ; 3 - Fig. 4. Total stresses under simple shear according to the Bergström-Boyce hyper-viscoelasticity model under different conditions of uniqueness: 1 - ; 2 - ; 3 - Рис. 5. Конфигурации М-образца (отсчетная , актуальная , промежуточная ) при простом сдвиге по модели гипервязкоупругости Бергстрёма-Бойс на этапе разгрузки при угле сдвига = 5° в момент времени t = 1,965 c при разных условиях однозначности: 1 - ; 2 - ; 3 - Fig. 5. Configurations of the M-sample (reference , current , intermediate ) under simple shear according to the Bergström-Boyce hyper-viscoelasticity model at the unloading stage at a shear angle = 5° at the time t = 1,965 s under different conditions of uniqueness: 1 - ; 2 - ; 3 - В заключение необходимо указать критерий, позволяющий отделить допустимые условия однозначности от физически неприемлемых условий. С этой целью обратимся к принципу объективности [35, 40-42]. Так, например, для упругих материалов, если в одной системе отсчета (без звездочки) для тензора напряжений имеет место определяющее соотношение в виде функции , то в любой другой системе отсчета (со звездочкой) имеет место определяющее соотношение в виде аналогичной функции . Поскольку условие однозначности в моделях, использующих мультипликативное разложение градиента деформации, является неотъемлемой составной частью определяющего соотношения (а не уравнения движения) для тензора напряжений, представляемого в виде одного или системы нескольких уравнений, то принцип объективности должен распространяться и на условие однозначности (постулируемое положение). Если без ограничения общности в формуле Нолла для преобразования времени принять , то тогда при замене системы отсчета тензор напряжений преобразуется по формуле перехода [40-42] , (21) где - ортогональный тензор, характеризующий относительный поворот систем отсчета. Если - векторы базиса сопутствующей лагранжевой системы координат (, , - координаты Лагранжа материальной точки) в данной системе отсчета, то по формуле Нолла в другой системе отсчета . (22) В начальный момент времени (в отсчетной конфигурации) по формуле (22) . (23) Если ввести обычные упрощенные обозначения без указания аргументов: , , , , то тогда выражения (21)-(23) можно переписать в компактном виде: , , . (24) Для градиента деформации справедливо диадное разложение [35] , (25) где - векторы взаимного (дуального) базиса сопутствующей лагранжевой системы координат: , - символы Кронекера. На основании (24) формула преобразования градиента деформации (25) принимает вид . (26) Если в начальный момент времени у обеих систем отсчета оси базисных декартовых систем координат совпадают5, тогда и формула (26) принимает традиционный вид . Произвольность и постоянство тензора в (26) существенно упрощает технику применения принципа объективности для построения определяющих соотношений с использованием теорем об изотропных функциях при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе отсчета [44]. Не так однозначно обстоит дело с формулами преобразования градиентов упругих и вязких деформаций, входящих в формулу мультипликативного разложения (1). Так, например, в [36] приводятся формулы , , (27) а в [38, 39] утверждается иное: , . (28) В зависимости от этого одно и то же условие однозначности будет либо допустимым, либо физически неприемлемым. Чтобы разобраться в данном вопросе, обратимся к диадным разложениям градиентов деформации , (см. рис. 2), аналогичным (25): , . Здесь , - векторы основного и взаимного базисов сопутствующей лагранжевой системы координат в промежуточной конфигурации (), которые при замене системы отсчета преобразуются согласно (22): , . Следовательно (при ), если промежуточная конфигурация отнесена к начальному моменту времени , тогда будут справедливы формулы преобразования (28), если же промежуточная конфигурация отнесена к текущему моменту времени , тогда следует использовать формулы преобразования (27). Если говорить о реально осуществляемой разгрузке из локальной актуальной конфигурации (см. рис. 2), тогда , и поэтому оба набора формул (27), (28) будут неверными. Если исходить из развернутой записи разложения (1) в виде , передающей суть математической модели, тогда становится понятным, что тензоры , , характеризуют деформированное состояние в одной и той же материальной точке среды (с радиусами-векторами , , в отсчетной, промежуточной и актуальной конфигурациях соответственно) в один и тот же текущий момент времени t. Об этом свидетельствует, в частности, рис. 5. Поэтому более уместно называть конфигурацию (см. рис. 2) промежуточной (или вспомогательной) конфигурацией, как в [36], а не (изохронно) разгруженной конфигурацией, чтобы не возникало излишних ассоциаций с термином «разгрузка». Таким образом, в качестве следует брать текущий момент времени , поэтому формулы преобразования градиентов упругих и вязких деформаций будут иметь вид , . (29) При формулы (29) переходят в (27). В частности, исходя из формулы (29), формул полярного разложения Коши и формул (14), (15) можно показать, что , , , , , , , , , , , , , (30) , , где , - симметричная и кососимметричная части тензора . В таблице приведены соотношения, принятия которых достаточно для обеспечения однозначности мультипликативного разложения градиента деформации. Только часть из них удовлетворяет требованиям независимости от выбора системы отсчета. При желании список такого рода соотношений можно многократно расширить. Вопрос, какое именно условие однозначности следует использовать, должен решаться так же, как это делается, например, для упругих потенциалов: надлежащей постановкой и проведением экспериментальных исследований либо теоретическим исследованием микроструктуры материала6. К сказанному следует добавить, что согласно формуле (30) тензор является необъективным, вследствие чего определяющее соотношение (17) не удовлетворяет принципу объективности поведения материалов. Последнее можно исправить, если по примеру [25] заменить в (17) тензор , тензором . Исчерпывающее решение затронутого вопроса требует отдельного исследования. Поэтому дальнейшее изложение (в рамках феноменологического подхода) ограничено важным для приложений случаем, когда можно обойтись без конкретизации условия однозначности. Соответствие условий однозначности принципу объективности материалов Compliance of the conditions of uniqueness to the objectivity principle of materials Система отсчета Допустимость (+) Неприемлемость (-) Старая (без звездочки) Новая (со звездочкой) + - - + + - - - + 3. Феноменологическая модель вязкоупругости эластомеров Перейдем к рассмотрению прикладной задачи, касающейся высокоэластичных оболочек, и воспользуемся тем упрощающим обстоятельством, что при симметричном нагружении оболочек вращения орты меридиана и параллели во все моменты времени совпадают по направлению с главными осями напряжений и деформаций (полных, упругих и вязких) и не изменяют своей ориентации относительно материальных линий (волокон) оболочки. Благодаря соосности градиентов полных, упругих и вязких деформаций соответствующее мультипликативное разложение является однозначным. При этом ограничение на неизменность ориентации главных осей напряжений относительно материальных линий (волокон) является существенным (пока надлежащим образом проведенные испытания эластомеров не покажут обратное) в свете исследований поликристаллических материалов (конструкционных сталей и сплавов) при непропорциональных циклических нагружениях [46]. Перейдем в сопутствующую систему отсчета, относительно которой бесконечно малая окрестность материала не вращается7, и рассмотрим представительный элемент однородного изотропного несжимаемого8 эластомера (например, резины) в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 6). После нагружения нормальными (главными) напряжениями , , он деформируется без поворота и с сохранением прямоугольной формы. Вследствие этого градиент деформации будет иметь диагональный вид: , (31) где , , - кратности удлинения соответствующих ребер параллелепипеда. а б Рис. 6. Однородная деформация представительного элемента эластомера: а - до нагружения; б - после нагружения Fig. 6. Homogeneous deformation of the representative element of the elastomer: a - before loading; b - after loading По выражению (31) определяется тензор скоростей полной деформации: , (32) где - симметричная часть тензора . Схожий вид имеет также тензор напряжений (рис. 6, б): . (33) Далее будем опираться на реологическую модель Кельвина-Пойнтинга (см. рис. 1), которая при феноменологическом подходе не только наглядно отображает поведение материала, но и играет активную роль при выводе определяющих соотношений, задавая их структуру [13]. Следуя [21, 22] и методическим рекомендациям [13], на основании реологической модели Кельвина-Пойнтинга (см. рис. 1) можно констатировать следующее. При параллельном соединении звеньев и они деформируются одинаково: , (34) а напряжения складываются из откликов упругих элементов звеньев и : . (35) Здесь - градиент полной деформации материала (упругого элемента ); - градиент упругой деформации материала (упругого элемента ). Поскольку в звене упругий элемент последовательно соединен с вязким элементом, должно выполняться равенство , (36) где , - градиент вязкой деформации материала (вязкого элемента ) и скорость его изменения соответственно. Градиенты деформации , , связаны между собой формулой мультипликативного разложения , (37) предложенной и впервые использованной Е.Х. Ли для описания больших неупругих деформаций [34, 35]. Зависимости (34)-(36), со всей очевидностью, порождены исключительно структурой реологической модели Кельвина-Пойнтинга (см. рис. 1); они предопределяют дальнейший вид получаемых определяющих соотношений гипервязкоупругого материала. Для детализации математической модели требуется задать свойства структурных элементов реологической модели. Для описания свойств упругих элементов и воспользуемся определяющими соотношениями гиперупругого несжимаемого материала: , (38) . (39) Для вязкого элемента возьмем определяющее соотношение . (40) Здесь , , - неопределенные множители Лагранжа, наличие которых обусловлено несжимаемостью материала [40-42]; , - упругие потенциалы, , , (41) - правые меры полной, упругой и вязкой деформации Коши-Грина соответственно; (42) - тензор скоростей вязкой деформации, вводимый наряду с выражениями , (43) для тензора скоростей упругой деформации и тензора скоростей полной деформации. Поскольку третий главный инвариант , коэффициент вязкости как изотропная скалярная функция тензора будет определяться через первые два главных инварианта ,: . (44) Замечание. Определяющее соотношение (40) при постоянном коэффициенте вязкости соответствует несжимаемой жидкости Рейнера-Ривлина [47-49], у которой или в наиболее общем виде . (45) Поперечная вязкость полагается равной нулю, а кажущаяся вязкость - степенной функцией от второго главного инварианта или, что то же самое, нормы тензора скоростей деформации , являющегося девиатором: . При этом , где - неопределенный множитель Лагранжа (гидростатическое давление, взятое со знаком минус). С учетом этого после подстановки в (45) выражения получается определяющее соотношение , , (46) в котором коэффициент вязкости и показатель степени являются положительными материальными параметрами и могут зависеть от температуры. Когда , соотношение (46) переходит в реологический закон Ньютона для линейно вязких (ньютоновских) несжимаемых жидкостей классической гидродинамики. Если же , то соотношение (46) становится подобным закону сухого трения Кулона-Амонтона; на нем основывается классическая теория пластичности и ее современные обобщения [50-52]. Следует также отметить, что зависимость (46) в записи (47) является наиболее распространенной аналитической зависимостью в теории течения - одном из вариантов прикладной теории ползучести [53, 54]. В другом, более общем варианте прикладной теории ползучести, называемом теорией упрочнения [53, 54], скалярный параметр полагается зависящим от линейного тензора деформации ползучести . Как правило, используется степенная зависимость вида , (48) где , - материальные константы. Зависимость (48) относится главным образом к таким конструктивным материалам, как металлы и их сплавы при высоких температурах. Применительно к эластомерам исходя из основополагающих зависимостей (17), (18) модели Бергстрёма-Бойс и равенства , выполняющегося в рассматриваемом случае, для коэффициента вязкости получается степенная зависимость , , . (49) Зависимость (49), имеющая вид , является частным случаем зависимости (44). Указанные зависимости соотносятся между собой так же, как, например, неогуковский упругий потенциал Трелоара [31, 41] соотносится с упругим потенциалом Муни-Ривлина (12). Последнее может быть важным для правильной настройки модели при описании зависимости от скорости вязких деформаций. Вернемся к описанию процесса деформирования представительного элемента вязкоупругого материала (см. рис. 6). В условиях рассматриваемого нагружения упругая и вязкая составляющие градиента полной деформации имеют вид, аналогичный (31): , (50) . (51) Подставляя (31), (50), (51) в формулу (37), будем иметь . Следовательно, , , . (52) Дифференцируя выражения (52) по времени и подставляя результат в (32), придем к формуле аддитивного разложения тензора скоростей деформации , (53) где , , (54) формулы диадного разложения тензоров скоростей полной, упругой и вязкой деформации (42), (43) соответственно. С помощью (13) определяющие соотношения (38)-(40) можно переписать в более удобном для расчетов виде: , , (55) , , (56) , . (57) Здесь используются обозначения , . (58) Подставляя (55), (56) в (35), с учетом (33) находим (), (59) где - суммарный множитель Лагранжа. Аналогичным образом, подставляя (56), (57) в (36), получаем (), (60) где обозначено . Уравнения (59), (60) совместно с выражениями (52)-(54), (58) и (49) приводят к следующей системе уравнений: () (61) Система уравнений (61) представляет собой искомую систему определяющих соотношений гипервязкоупругого материала, соответствующую реологической модели Кельвина-Пойнтинга (см. рис. 1). К ним надо добавить условия несжимаемости: , , . (62) С помощью (52) нетрудно убедиться, что из любых двух условий несжимаемости (62) вытекает третье условие, поэтому независимыми в (62) являются только два условия несжимаемости. Из (62) также вытекает, что (63) Построение феноменологической модели гипервязкоупругости заканчивается заданием явной зависимости (44) для коэффициента вязкости . По-видимому, во многих практически важных случаях достаточно точной является зависимость Бергстрёма-Бойс (49). Если, как в исследованиях полиуретана [21, 22], при использовании (49) возникнут затруднения в определении единого набора значений параметров модели, пригодных для описания экспериментальных данных при разных скоростях нагружения, то тогда может потребоваться поиск более общего выражения для коэффициента вязкости , зависящего не только от первого, но и второго инварианта правой меры вязких деформаций Коши-Грина9. Определяющие соотношения (61) пригодны для экспериментального определения материальных параметров модели по стандартным испытаниям на одноосное растяжение-сжатие, двуосное растяжение-сжатие и чистый сдвиг [5, 31]. Для этих целей, а также для описания напряженно-деформированного состояния оболочек вращения при симметричном нагружении определяющие соотношения (61) с учетом условий несжимаемости (62), (63) должны быть преобразованы к удобному для численных расчетов виду, что выходит за рамки текущей статьи и является предметом отдельного исследования. Заключение Для удовлетворения практической потребности в повышении точности расчетов высокоэластичных оболочек должна привлекаться теория конечных вязкоупругих деформаций эластомеров. Среди современных моделей гипервязкоупругости резиноподобных материалов одной из наиболее перспективных и популярных является модель Бергстрёма-Бойс, основанная на сведениях о микроструктуре эластомеров и использующая мультипликативное разложение градиента полной деформации. Прямое решение тестовой задачи простого сдвига по модели Бергстрёма-Бойс показывает, что получаемые расчетные результаты существенно зависят от выбора условия однозначности, обеспечивающего единственность мультипликативного разложения градиента деформации. Из множества предлагаемых в научной литературе условий однозначности только определенная часть удовлетворяет требованию независимости от выбора системы отсчета. При желании список подобных условий однозначности можно многократно расширить. Поэтому вопрос, какое именно условие однозначности следует использовать, должен решаться так же, как это делается, например, для упругих потенциалов: надлежащей постановкой и проведением экспериментальных исследований либо теоретическим исследованием микроструктуры материала. Предложенная феноменологическая модель гипервязкоупругости, основанная на одномерной реологической модели Кельвина-Пойнтинга, ограничивается случаем, когда главные оси напряжений и деформаций (полных, упругих и вязких) совпадают и не изменяют своей ориентации относительно материальных линий (волокон). Благодаря этому отпадает необходимость в формулировке условия однозначности, обеспечивающего единственность соответствующего мультипликативного разложения. Учет зависимости коэффициента вязкости от второго инварианта правой меры вязких деформаций Коши-Грина в степенном законе кажущейся вязкости модели Рейнера-Ривлина обобщает соответствующую зависимость модели Бергстрёма-Бойс и позволяет, при необходимости, расширить диапазон скоростей деформации при согласовании расчетных и экспериментальных данных. Разработанная математическая модель гипервязкоупругости резиноподобных материалов предназначена для расчета напряженно-деформированного состояния высокоэластичных оболочек вращения при симметричном нагружении.

V S Korneyev

Omsk State Technical University

S A Korneyev

Omsk State Technical University

  1. Акопян Р.А. Пневматическое подрессоривание автотранспортных средств (вопросы теории и практики). - Львов: Выща школа, 1979. - Ч. 1. - 218 с.
  2. Певзнер Я.М., Горелик А.М. Пневматические и гидропневматические подвески. - М.: ГНТИМЛ, 1963. - 319 с.
  3. Равкин Г.О. Пневматическая подвеска автомобиля. - М.: ГНТИМЛ, 1962. - 288 с.
  4. Системы виброзащиты с использованием инерционности и диссипации реологических сред / Б.А. Гордеев [и др.]. - М.: Физматлит, 2004. - 176 с.
  5. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. - Л.: Машиностроение, 1986. - 336 с.
  6. Общая нелинейная теория упругих оболочек / С.А. Кабриц [и др.] / под ред. К.Ф. Черныха, С.А. Кабрица. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. - 388 с.
  7. Бидерман В.Л. Расчеты резиновых и резинокордных деталей // Расчеты на прочность в машиностроении / С.Д. Пономарев [и др.] / под ред. С.Д. Пономарева. - М.: Машгиз, 1958. - Т. 2. - С. 487-591.
  8. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. - М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.
  9. Расчетно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций / И.А. Трибельский [и др.]. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. - 240 с.
  10. Ильюшин А.А. Труды. Т. 3. Теория термовязкоупругости. - М.: Физматлит, 2007. - 288 с.
  11. Ильюшин А.А., Победря Б.Б. Основы математической теории термовязкоупругости. - М.: Наука, 1970. - 281 с.
  12. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. - М.: Мир, 1974. - 340 с.
  13. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. - М.: Наука, 1976. - 328 с.
  14. Рейнер М. Феноменологическая макрореология // Реология: теория и приложения / под ред. Ф. Ейриха. - М.: ИЛ, 1962. - С. 22-85.
  15. Рейнер М. Реология. - М.: Наука, 1965. - 224 с.
  16. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 536 с.
  17. Banks H.T., Hu Sh., Kenz Z.R. A brief review of elasticity and viscoelasticity for solids // Adv. Appl. Math. Mech. - 2011. - Vol. 3. - No. 1. - P. 1-51. doi: 10.4208/aamm.10-m1030
  18. Dynamic Response Analysis of Thermoplastic Polyurethane / V. Fontanari, M. Avalle, C. Migliaresi, L. Peroni, B.D. Monelli // Advanced Structured Materials. - 2012. - Vol. 16. - P. 337-354. doi: 10.1007/978-3-642-22700-4
  19. Bergström J., Boyce M. Constitutive modeling of the large strain time-dependent behavior of elastomers // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - Vol. 46. - P. 931-954. doi: 10.1016/S0022-5096(97)00075-6
  20. Bergström J., Boyce M. Large strain time-dependent behaviour of filled elastomers // Mech. Mater. - 2000. - Vol. 32. - P. 627-644. doi: 10.1016/S0167-6636(00)00028-4
  21. Белкин А.Е., Даштиев И.З., Лонкин Б.В. Моделирование вязкоупругости полиуретана при умеренно высоких скоростях деформирования // Математическое моделирование и численные методы. - 2014. - № 3. - С. 39-54.
  22. Белкин А.Е., Даштиев И.З., Семенов В.К. Математическая модель вязкоупругого поведения полиуретана при сжатии с умеренно высокими скоростями деформирования // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. - 2014. - № 6. - С. 44-58.
  23. Bergström J.S., Hilbert L.B. A constitutive model for predicting the large deformation thermomechanical behavior of fluoropolymers // Mechanics of Materials. - 2005. - Vol. 37. - P. 899-913.
  24. Bergström J., Bischoff M. An Advanced Thermomechanical Constitutive Model for UHMWPE // Int. J. of Structural Changes in Solids. Mechanics and Applications. - 2010. - Vol. 2. - No. 1. - P. 31-39.
  25. Qi H.J., Boyce M.C. Stress-strain behavior of thermoplastic polyurethane // Mechanics of Materials. - 2005. - Vol. 37. - P. 817-839.
  26. Quintavalla S.J., Johnson S.H. Extension of the Bergström-Boyce model to high strain rates // Rubber Chem. Technol. - 2004. - Vol. 77. - P. 972-981.
  27. Guo Q., Zaïri F., Guo X. A thermo-viscoelastic-damage constitutive model for cyclically loaded rubbers. Part I: Model formulation and numerical examples // International Journal of Plasticity. - 2018. - Vol. 101. - P. 106-124. DOI: doi: 10.1016/j.ijplas.2017.10.01
  28. Guo Q., Zaïri F., Guo X. A thermo-viscoelastic-damage constitutive model for cyclically loaded rubbers. Part II: Experimental studies and parameter identification // International Journal of Plasticity. - 2018. - Vol. 101. - P. 58-73. doi: 10.1016/j.ijplas.2017.10.009
  29. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
  30. Arruda E.M., Boyce M.C. A three-dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials // Journal of Mechanic Physics Solids. - 1993. - Vol. 41. - No. 2. - pp. 389-412.
  31. Трелоар Л. Физика упругости каучука. - М.: ИЛ, 1953. - 241 с.
  32. Hariharaputhiran H., Saravanan U. A new set of biaxial and uniaxial experiments on vulcanized rubber and attempts at modeling it using classical hyperelastic models // Mechanics of Materials. - 2016. - Vol. 92. - P. 211-222. doi: 10.1016/j.mechmat.2015.09.003
  33. Boyce M.C., Weber G.G., Parks D.M. On the kinematics of finite strain plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1989. - Vol. 37. - No. 5. - P. 647-665.
  34. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain // ASME Journal of Applied Mechanics. - 1969. - Vol. 36. - Р. 1-6.
  35. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.
  36. Bruhns O.T. The Multiplicative Decomposition of the Deformation Gradient in Plasticity - Origin and Limitations // Advanced Structured Materials. - 2015. - Vol. 64. - P. 37-66. doi: 10.1007/978-3-319-19440-0
  37. Boyce M.C., Parks D.M., Argon A.S. Large inelastic deformation of glassy polymers. part 1: rate dependent constitutive model // Mechanics of Materials. - 1988. - Vol. 7. - P. 15-33.
  38. Gurtin M.E., Anand L. The decomposition F=FeFp, material symmetry, and plastic irrotationality for solids that are isotropic-viscoplastic or amorphous // International Journal of Plasticity. - 2005. - Vol. 21. - P. 1686-1719.
  39. Dashne P.A. Invariance Considerations in Large Strain Elasto-PIasticity // Journal of Applied Mechanics. -1986. - Vol. 53. - P. 55-60.
  40. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
  41. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. - 512 с.
  42. Truesdell C., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. - Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2004. - 602 p.
  43. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. - М.: Наука, 1977. - 496 с.
  44. Корнеев С.А. Принцип объективности и техника его применения при построении определяющих соотношений с точностью до скалярных коэффициентов // Мат. моделирование систем и процессов: межвуз. сб. науч. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2007. - № 15. - С. 97-122.
  45. Reina C., Schlömerkemper A., Conti S. Derivation of F=FeFp as the continuum limit of crystalline slip // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2016. - Vol. 89. - Р. 231-254.
  46. Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Петров В.К. Пластичность материалов при пропорциональных и непропорциональных циклических нагружениях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 3. - С. 53-74. doi: 10.15593/perm.mech/2017.3.04
  47. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978. - 309 с.
  48. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. - М.: Наука, 1982. - 376 с.
  49. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. - М.: ИЛ, 1963. - 256 с.
  50. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.
  51. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Физматлит, 2001. - 704 с.
  52. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 223 с.
  53. Качанов Л.М. Теория ползучести. - М.: ГИФМЛ, 1960. - 455 с.
  54. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.

Views

Abstract - 10

PDF (Russian) - 11

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2019 Korneyev V.S., Korneyev S.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies