The Torsion Problem of a Cylindrical Solid Taking Into Account the Material Weakening

Abstract


The weakening of the material begins reaching a critical level of stress state, is characterized by a decrease in the level of stress during growing deformations and can develop with an equilibrium accumulation of structural damage. The equilibrium accumulation of damage is possible if the given displacements of the boundary points are provided (that is, with “hard” loading) and if the rigidity of the loading system is sufficient. The design becomes unable to withstand the load only when zones with weakened connections are developed enough. Therefore, taking into account the full deformation diagram in the calculations allows to more accurately determine the load bearing capacity of the design. This paper gives an analytical solution for the problem of a homogeneous cylindrical solid torsion with a circular cross section with its hard loading taking into account the material weakening. Piecewise linear approximations of elastic and elastoplastic medium with a linear weakening at the supercritical deformation stage are considered. The diagrams are plotted regarding stress distribution over the cross section are given; the graphs of the maximum torque value and the extreme value of the relative angle of rotation on the parameters of the deformation diagram. The dependences of the torque on the relative angle of rotation of the sections for the stage of initial supercritical deformation, as well as the stage of supercritical deformation and fracture are determined. The graphs of the dependence of torque on the angle of rotation of the section are given. Reserves of the load bearing capacity of the design are identified. It is noted that taking into account the weakening of the material is expedient in strength calculations and in determination of the system’s safety factor.

Введение В настоящее время при расчетах конструкций за критическое состояние принимается состояние, при котором напряжения достигают предела текучести либо предела прочности материала [1, 2]. Стадия разупрочнения (закритическая стадия деформирования) начинается после достижения материалом максимальных в данных условиях напряжений (предела прочности) и характеризуется снижением уровня напряжений при растущих деформациях [3-10]. Закритическая стадия деформирования может развиваться при равновесном накоплении повреждений и может быть устойчивой при достаточной жесткости нагружающей системы [11-13]. Экспериментально полная диаграмма деформирования материала может быть получена с использованием специальных установок [14-20]. Анализ деформируемых систем с учетом разупрочнения материала позволяет выявить условия устойчивого закритического деформирования в локальных зонах и оценить соответствующие резервы несущей способности конструкций, что показано в работах [21-27]. Аналитические решения задач с учетом полной диаграммы деформирования были получены в работах В.А. Ибрагимова, В.Д. Клюшникова (задачи чистого изгиба балки и сферической полости в пространстве, нагруженной равномерно распределенным давлением) [22]; Л.В. Никитина, Е.И. Рыжака (задача о всестороннем сжатии горных пород) [23]; С.Д. Волкова, Г.И. Дубровиной, Ю.П. Соковнина (задача растяжения пластины с поперечной трещиной) [24]; В.В. Стружанова (задача о разрушении диска с ослабленной центральной зоной) [25]; В.Э. Вильдемана (задачи трехточечного изгиба балки, разрушения толстостенного цилиндра под действием внутреннего давления, задачи механики закритического деформирования стержневых систем) [1, 26, 12]. В работе рассматривается задача кручения стержня круглого поперечного сечения при его «жестком» нагружении с учетом разупрочнения материала. 1. Кручение стержня из упругого материала с разупрочнением Закон связи напряжений и деформаций выбирается для простоты кусочно-линейным: (1) Приведенные соотношения обеспечивают проиллюстрированную на рис. 1 двухзвенную кусочно-линейную аппроксимацию полной диаграммы деформирования: - модуль сдвига; - модуль разупрочнения при сдвиге, ; - предел текучести при сдвиге и соответствующий угол сдвига; - деформация полного разрушения. Иначе связь напряжений и деформаций на участке разупрочнения представима в виде [28] (2) где - функция пластичности Ильюшина [29]. Для данной задачи (3) где (4) Рис. 1. Диаграмма деформирования материала с участком разупрочнения Fig. 1. The material’s deformation diagram with weakening stage Предполагается выполнение гипотезы плоских сечений. Относительный угол сдвига γ связан с относительным углом закручивания θ формулой [30] (5) где - расстояние от центра до рассматриваемой точки сечения; относительный угол закручивания определяется отношением угла закручивания к длине, на которой он измеряется: (6) Выполнение соотношения (5) можно обеспечить при кручении цилиндрических образцов с утолщенной зоной для захватов, которая работает упруго и обеспечивает линейную связь между сдвиговыми деформациями и расстоянием от центра, на котором эти деформации рассматриваются. Связь между внешним крутящим моментом и относительным углом закручивания устанавливается из равенства внешних и внутренних силовых факторов с учетом (2): (7) где использованы соотношения (8) Здесь - расстояния от центра сечения до границ упругой зоны и зоны закритической деформации соответственно; - радиус стержня; при отсутствии пластических деформаций (максимальный угол сдвига меньше угла сдвига ), аналогично , когда отсутствуют участки разрушенного материала. В области в случае устойчивого деформирования имеет место полностью разрушенный материал с нулевым сопротивлением внешним нагрузкам. а б Рис. 2. Эпюры распределения напряжений: a - стадия начальной закритической деформации; б - стадия закритической деформации и разрушения; I - упругая зона; II - зона закритического деформирования; III - зона с разрушенным материалом; - радиусы упругой зоны и зоны с разрушенным материалом соответственно определяются соотношением (8) Fig. 2. Stress distribution diagrams: a - stage of initial supercritical deformation; b - stage of supercritical deformation and fracture; I - elastic zone; II - supercritical deformation zone; III - fractured material zone 1. Стадия начальной закритической деформации. Данная стадия характеризуется тем, что а значит, , . Пусть начало закритической стадии деформирования стержня с полярным моментом инерции происходит при крутящем моменте и относительном угле закручивания : (9) Тогда, подставляя (3)-(5) в (7), получим (10) Найдем точку экстремума функции из условия равенства нулю производной (11) отметим, что . Экстремальное значение крутящего момента (12) Будем понимать под резервом несущей способности величину, показывающую, насколько максимальный крутящий момент , рассчитанный с учетом участка разупрочнения материала, превышает момент , рассчитанный для стержня, работающего в упругой области. Тогда формула (12) позволяет выявить и оценить резерв несущей способности с учетом неупругого деформирования. Чем меньше , т.е. чем меньше модуль спада системы, тем больше резерв стержня. Графически зависимость (12) показана на рис. 3. Рис. 3. Зависимость максимального значения крутящего момента от (в относительных координатах) Fig. 3. Dependence of the maximum torque value on (in relative coordinates) Формула (11) отражает зависимость соответствующего моменту значения экстремального относительного угла поворота сечения от . Данная зависимость показана на рис. 4. Из графика видно, что с уменьшением растет экстремальное значение . При , материал в данном сечении переходит в пластическое состояние; радиус упругой области стремится к нулю. Рис. 4. Зависимость экстремального относительного угла закручивания от (в относительных координатах) Fig. 4. Dependence of the extreme relative angle of rotation on (in relative coordinates) 2. Стадия закритической деформации и разрушения. На данной стадии , , . Выразим , приравняв выражение (2) нулю: . (13) Тогда из выражения (7) получим (14) Графики, отображающие зависимость крутящего момента от относительного угла поворота сечения, показаны на рис. 5. При «мягком» нагружении экстремальные значения являются предельными, так как невозможно дальнейшее увеличение нагрузки; при «жестком» нагружении после достижения экстремума момент может уменьшаться, асимпотически стремясь к нулю. Из графиков видно, что с увеличением уменьшается предельное значение крутящего момента и предельное значение относительного угла поворота. Соответственно, материал, обладающий меньшим значением коэффициента разупрочнения при сдвиге , является более эффективным для применения в конструкциях, работающих на кручение. Рис. 5. Графики зависимости крутящего момента от относительного угла поворота сечения для разных значений : 1-5 - графики для соответственно; пунктирная линия ограничивает график для . Маркеры означают (слева направо): момент начала разупрочнения; экстремумы; момент начала разрушения материала Fig. 5. The dependence of torque on the relative angle of rotation of the cross section for different values of : 1-5 - are dependences for respectively; the dashed line limits dependence for . Markers mean (from left to right): the beginning of weakening; extreme points; destruction start point 2. Кручение стержня из упругопластического материала с разупрочнением Примем закон связи напряжений и деформаций для материала в следующем виде: (15) Приведенные соотношения обеспечивают проиллюстрированную на рис. 6 трехзвенную кусочно-линейную аппроксимацию полной диаграммы деформирования: - коэффициент упрочнения материала при сдвиге; - предел прочности при мягком нагружении при чистом сдвиге и соответствующий угол сдвига. Рис. 6. Диаграмма деформирования материала с участками упрочнения ( ) и разупрочнения ( ) Fig. 6. The deformation diagram for a material with a hardening stage ( ) and weakening stage ( ) Из условия равенства между внутренними и внешними силовыми факторами следует равенство (16) При записи последнего соотношения использованы следующие обозначения: (17) где - расстояния от центра сечения до границ упругой зоны, зон пластического упрочнения и закритической деформации соответственно. В области в случае устойчивого деформирования имеет место полностью разрушенный материал с нулевым сопротивлением внешним нагрузкам. На стадиях упругого ( ) и упругопластического деформирования ( ) уравнение (16) после преобразований совпадает с известными решениями. Получим соотношения, позволяющие определять распределение напряжений в сечении стержня, на стадии закритической деформации. 1. Стадия начальной закритической деформации. Пусть указанная стадия характеризуется тем, что , следовательно, , , . После преобразования из уравнения (16) следует (18) Экстремальное значение относительного угла поворота сечения найдем из условия равенства нулю производной : (19) отметим, что , максимум достигается до начала разрушения материала. а б в Рис. 7. Графики зависимости крутящего момента от относительного угла поворота сечения для материала с участком упрочнения при разных параметрах: a - ; б - ; в - . Маркеры означают (слева направо): момент начала упрочнения; момент начала разупрочнения; момент наибольшего значения крутящего момента; момент начала разрушения Fig. 7. The dependence of torque on the relative angle of rotation of the cross section for the material with hardening stage with different parameters: а - ; b - ; c - . Markers mean (from left to right): the moment the hardening begins; the beginning of weakening; the moment of the greatest value of torque; destruction start point Данная стадия кончится, когда деформации вблизи поверхности достигнут значения ; напряжения будут равны нулю. Выразим через из уравнения (15): (20) где - безразмерный коэффициент. Отметим, что резерв несущей способности конструкции превышает значения, полученные для материала с двухзвенной диаграммой деформирования, в силу наличия зоны упрочнения; значение резерва определяется параметрами диаграммы деформирования материала. 2. Стадия закритической деформации и разрушения. Указанная стадия характеризуется тем, что ; , , . Тогда уравнение зависимости крутящего момента от относительного угла поворота сечения выглядит следующим образом: (21) Функция монотонно убывает и ограничена снизу нулем. Графики зависимостей крутящего момента от относительного угла поворота сечения для разных значений коэффициентов показаны на рис. 7. Из графиков видно, что критическое значение момента и критическое значение относительного угла поворота прямо пропорциональны коэффициентам и ; обратно пропорциональны коэффициенту . При этом наибольшее влияние оказывает ; коэффициент на изменение вида графика влияет слабо. В предельном случае, при , из данного решения получим решение для упругого материала с разупрочнением. Заключение Таким образом, в работе получено новое аналитическое решение задачи о кручении цилиндрического тела круглого поперечного сечения из упругопластического материала с разупрочнением. Были рассмотрены двухзвенная и трехзвенная аппроксимации диаграммы деформирования. Получены соотношения, описывающие распределения деформаций и напряжений на разных стадиях нагружения; приведены эпюры распределения напряжений по сечению. Для двухзвенной диаграммы деформирования получены графики зависимости максимального значения крутящего момента и экстремального значения относительного угла поворота сечения от параметров диаграммы деформирования. Показано, что с уменьшением модуля спада при разупрочнении растет максимальный крутящий момент. Приведены оценки прочностных резервов, связанных с реализацией закритической стадии деформирования; показана зависимость резервов от параметров диаграммы деформирования. Построены графики зависимости крутящего момента от относительного угла поворота сечения. Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, что учет участка закритических деформаций целесообразен при проведении прочностных расчетов и определении коэффициента запаса системы.

V E Wildemann

Perm National Research Polytechnic University

A I Mugatarov

Perm National Research Polytechnic University

  1. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов / под ред. Ю.В. Соколкина. - М.: Наука: Физматлит, 1997. - 288 с.
  2. К теории накопления повреждений / Г.И. Дубровина, Ю.П. Соковнин, Ю.П. Гуськов [и др.] // Проблемы прочности. - 1975. - № 2. - С. 21-24.
  3. Основы экспериментальной механики разрушения / И.М. Керштейн, В.Д. Клюшников, Е.В. Ломакин [и др.]. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 140 с.
  4. Ломакин Е.В. Кручение цилиндрических тел с изменяющимися деформационными свойствами // МТТ. - 2008. - № 3. - С. 217-226.
  5. Bažant Z.P. Size effect on strength and lifetime probability distribution of quasibrittle structures // Sadhana. - 2012. - Vol. 37. - Iss. 1. - P. 17-31.
  6. Yu Q., Bazant Z.P. Shear strength of reinforced concrete beams: Size effect and its fracture-mechanics basis // American Concrete Institute, ACI Special Publication. -2015. January. - Iss. SP 300. - P. 143-174.
  7. Никитин Л.В. Закритическое поведение разупрочняющегося материала // Докл. АН. - 1995. - Т. 342, № 4. - С. 487-490.
  8. Effect of complex combined loading mode on the fracture toughness of titanium alloys / M.G. Chausov, P.O. Maruschak, V. Hutsaylyuk, L. Śnieżek, A.P. Pylypenko // Vacuum. - 2018. - Vol. 147. - P. 51-57.
  9. Tsvetkov A.B., Pavlova L.D., Fryanov V.N. Construction of the approximant of complete diagram for rock deformation // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. - 2016. - Vol. 45. - Iss. 1.
  10. Struzhanov V.V., Korkin A.V. The stability of the deformation of one of the farm with the softening of the material elements // CEUR Workshop Proceedings. - 2016. - Vol. 1825. - P. 180-187.
  11. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Краевые задачи континуальной механики разрушения. - Пермь, 1992. - (Препринт / УрО РАН).
  12. Вильдеман В.Э. Задачи механики закритического деформирования стержневых систем // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. Динамика и прочность машин. - 2005. - № 5. - С. 15-29.
  13. Линьков А.М. Об условиях устойчивости в механике разрушения // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 233, № 1. - С. 45-48.
  14. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении / С.Д. Волков, Ю.П. Гуськов, В.И. Кривоспицкая [и др.] // Проблемы прочности. - 1979. - № 1. - С. 3-6.
  15. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г. Установка для построения полностью равновесных диаграмм деформирования // Проблемы прочности. - 1981. - № 12. - С. 104-106.
  16. Волков С.Д., Дубровина Г.И., Соковнин Ю.П. Устойчивость сопротивления материала в механике разрушения // Проблемы прочности. - 1978. - № 6. - С. 65-69.
  17. Закритическое деформирование и разрушение тел с концентраторами в условиях плоского напряженного состояния / В.Э. Вильдеман, Е.В. Ломакин, Т.В. Третьякова, М.П. Третьяков // МТТ. - 2017. - № 5. - С. 22-29.
  18. Chausov N.G. Full deformation diagram as source of information about accumulation of damages and material crack resistance // Zavodskaya Laboratoriya. Diagnostika materialov. - 2004. - Vol. 70. - Iss. 7. - P. 42-49.
  19. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Евецкий Ю.Л. Методика построения полных диаграмм деформирования листовых материалов // Проблемы прочности, - 1986. - № 9. - С. 29-32.
  20. Setup for testing materials with plotting complete stress-strain diagrams / N.G. Chausov, D.G. Vojtyuk, A.P. Pilipenko, A.M. Kuz'menko // Problemy Prochnosti. - 2004. - Iss. 5. - P. 117-123.
  21. Стружанов В.В. О применении полных диаграмм деформирования в расчетах на прочность // Проблемы прочности. - 1988. - № 5 - С. 122-123.
  22. Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой // Механика твердого тела. - 1971. - № 4 - С. 116-121.
  23. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Закономерности разрушения горной породы с внутренним трением и дилатансией // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1977. - № 5. - С. 22.
  24. Волков С.Д., Дубровина Г.И., Соковнин Ю.П. О краевой задаче механики разрушения // Проблемы прочности. - 1978. - № 1. - С. 3-7.
  25. Стружанов В.В. О разрушении диска с центральной ослабленной зоной // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - № 1. - С. 135-141.
  26. Вильдеман В.Э., Ташкинов А.А. Расчет несущей способности толстостенных труб с использованием полных диаграмм деформирования // Проблемы прочности. - 1994. - № 8. - С. 17-20.
  27. Радченко В.П., Горбунов С.В. Метод решения краевой упругопластической задачи о растяжении полосы с концентраторами напряжений с учетом локальных областей пластического разупрочнения материала // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2014. - № 4. - С. 98-110.
  28. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести: справ. пособие. - Киев: Наук. думка, 1981. - 496 с.
  29. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. - М.: Изд-во ОГИЗ, 1948. - 376 с.
  30. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наук. думка, 1988. - 736 с.

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 44

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2019 Wildemann V.E., Mugatarov A.I.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies