Full Text

Введение Углеродные нанотрубки применяются в различных областях промышленности. Механические свойства этих трубок являются исключительными. Исследования по углеродным нанотрубкам проводятся с момента их открытия в 1991 году. Ряд статей посвящен динамической устойчивости нанотрубок с текущим флюидом. В [5] показано влияние массы движущегося флюида на собственные частоты и критическую скорость одностенной углеродной нанотрубки. В [1] эти колебания изучаются в случае, когда нанотрубка лежит на упругом основании Винклера. При исследовании собственных колебаний и устойчивости труб с протекающим флюидом часто применяется дифференциально-квадратичный метод. В [3] с использованием дифференциально-квадратичного метода решены разные задачи и показана его эффективность. В [4] приведены различные схемы дифференциально-квадратичного метода при исследовании колебаний балок для разных граничных условий. В [2] представлена техника решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. В [9] анализируется влияние плотности транспортируемой жидкости, длины трубы и размеров ее поперечного сечения на критическую скорость потока жидкости в двухслойной нанотрубке. В [10] исследуется динамика труб с флюидом на основаниях Винклера и Пастернака. Труды с [11] по [30] посвящены исследованиям колебаний различных нанотрубок с протекающим флюидом. В [6] исследована консольная труба с протекающим флюидом. Применен обобщенный дифференциально-квадратичный метод и проведены параметрические исследования устойчивости трубы. В настоящей работе дифференциально-квадратичный метод применяется для определения критической скорости протекающего флюида в однослойной углеродной нанотрубке, лежащей на упругом основании Пастернака. Рассмотрены различные параметры этого упругого основания. 1. Методология Однослойная углеродная нанотрубка исследуется на динамическую устойчивость с использованием континуальной модели балки Эйлера. Эта модель (рассмотренная в [8]) чрезвычайно проста и надежна в исследованиях такого типа. Эксперименты в области устойчивости углеродных нанотрубок демонстрируют эффективность модели Эйлера [7]. Дифференциальное уравнение, описывающее поперечные колебания нанотрубки с длиной L, изгибной жесткостью EI, по которой течет флюид со скоростью V, имеет следующий вид: (1) где и - масса флюида на единицу длины трубы и масса трубы на единицу длины соответственно; - осевая координата вдоль оси трубы; - время; - поперечные перемещения оси трубы; и являются параметрами упругого основания Пастернака, моделирующего полимерную матрицу. Для нанотрубки с шарнирными опорами на обоих концах применяются следующие граничные условия: (2) Решение дифференциального уравнения (1) ищется следующим образом: , (3) где - комплексная круговая частота системы. После подставления выражения (3) в (1) и преобразования получается дифференциальное уравнение (4) Для удобства введены следующие безразмерные параметры: (5) Уравнение (4), записанное в безразмерной форме, принимает следующий вид: (6) Уравнение (6) можно преобразовать в систему алгебраических уравнений дифференциально-квадратичным методом, использованным в [4], [6]. Согласно этому методу значения производных функции представляются в виде суммы умноженных с коэффициентами значений функции в каждой точке оси трубы после дискретизации. (7) где - количество точек, которые разделяют нанотрубку на участки; - коэффициенты для n-й производной в i-й точке оси трубы. В настоящей статье ось трубы дискретизируется с использованием схемы Чебышева-Гаусса-Лобато, согласно которой . (8) Коэффициенты рассчитываются с помощью интерполяционных функций Лагранжа [6]: (9) (10) (11) (12) В формуле (9) первая производная интерполяционных полиномов Лагранжа в каждой точке с ординатой вычисляется по формуле . (13) Показано, что применение интерполяционных полиномов Лагранжа при дискретизации в схемах Чебышева-Гаусса-Лобато обеспечивает конвергенцию решаемой задачи. Увеличение количества точек приводит к уменьшению ошибки в решении [6]. Применением формул (7), (8), (9), (10), (11), (12) и (13) уравнение (6) представляется следующей системой алгебраических уравнений в точках оси трубы: (14) Граничные условия (2) записываются следующим образом: . (15) Уравнение (14), записанное в матричной форме, дает следующую форму: (16) В (16) (17) являются матрицами размерностью . Векторы (18) (19) Четыре граничных условия записываются в матричной форме: (20) где матрица имеет размерность и следующий вид: . (21) Уравнения (16) и (20) могут быть записаны в системе алгебраических уравнений с неизвестными: (22) После преобразований уравнение (22) принимает следующий вид: (23) Здесь (24) (25) (26) (27) (28) (29) Учитывается, что (30) В результате получается система с уравнениями и неизвестными: (31) Чтобы уравнение (31) имело ненулевое решение, определитель перед вектором должен быть нулевым. Этот определитель является функцией неизвестной критической скорости и неизвестной круговой частоты . В случае когда , система устойчива. Если , система теряет свою стабильность. Если , система находится в состоянии безразличного равновесия. Следующая вычислительная процедура используется для определения критической скорости: задается конкретное значение и из условия, что определитель перед вектором в уравнении (31) равен нулю, определяется круговая частота , на основе которой система оценивается как стабильная. 2. Численные исследования Для иллюстрации предложенного метода исследована устойчивость однослойной углеродной нанотрубки с внешним радиусом поперечного сечения и толщиной Длина трубки Трубка имеет шарнирное опирание. Исследованы случаи жидкостей с плотностями в диапазоне Определена критическая скорость флюида для параметров упругого основания Пастернака и Полученные результаты представлены на рисунке. Параметры и соответствуют механическим характеристикам полимерной матрицы, в которую вставлена иследованная нанотрубка. Исследования показали, что при представленные результаты для разных значений довольно похожи. Наблюдаемые отклонения . Выводы Из графика на рисунке видно, что снижение жесткости упругого основания оказывает стабилизирующее воздействие на систему. В пределах исследуемого интервала более высокие критические скорости флюида получены для упругого основания с меньшей жесткостью . В обоих исследованных упругих основаниях видно снижение критической скорости при увеличении массового отношения . Рис. Зависимость критической скорости флюида от массового отношения Fig. Dependence of the critical fluid velocity and the mass ratio

About the authors

D S Lolov

University of Architecture, Civil Engineering and Geodesy

Sv V Lilkova-Markova

University of Architecture, Civil Engineering and Geodesy

References

Statistics

Views

Abstract - 320

PDF (Russian) - 220