Full Text

Введение Расчет напряжений во вращающихся дисках и валах относится к классическим задачам механики деформируемых твердых тел. Опубликовано множество научных трудов, посвященных решению данных задач в различных постановках. Обычно рассматривается три варианта кинематики задачи. Это цилиндры с закрепленными концами, свободными концами и диски различных профилей. Решение подобных задач входит в различные монографии и учебники [1-9]. Так, С.П. Тимошенко впервые [4] предложил рассчитывать распределения напряжений в форме решения соответствующей краевой задачи теории упругости. Для упругих тел данную задачу можно считать принципиально решенной после того, как А.И. Лурье получил общее решение этой задачи [5] с произвольной зависимостью упругого потенциала от инвариантов тензора конечных деформаций. В работах [10-13] рассмотрены задачи упругого деформирования вращающихся цилиндров из функционально-градиентных материалов. В работе [14] приведено решение задачи вязкоупругого деформирования сплошных и полых цилиндров из функционально-градиент-ных материалов. Вращение гиперупругих цилиндров приводится в работах [15-17]. Необратимое деформирование материала вращающегося цилиндра в рамках жесткопластического анализа рассмотрел впервые А. Надаи [6]. Изучению деформирования вращающихся дисков в условиях ползучести посвящена работа Ю.Н. Работнова [2]. Также можно отметить работы [18-21], посвященные изучению деформации ползучести вращающихся цилиндров. Упругопластическое деформирование впервые было рассмотрено в [22]. Но построенное решение, как позже было показано в [23], имело неисправимый изъян, заключающийся в том, что не обеспечивалась непрерывность перемещений на упругопластической границе. В отечественной учебно-методической литературе последнее обстоятельство называют «ошибкой К. Шевченко» [24]. Проявляется такая ошибка в попытках получить решение упругопластических задач в скоростях без должного отслеживания выполнения требования непрерывности перемещений на упругопластических границах. В работах [23, 25] приводится корректное решение упругопластической задачи для вращающегося цилиндра с закрепленными концами. Остаточные напряжения и деформации в сплошном цилиндре после его остановки получены в работе [26]. Полый цилиндр с закрепленными концами исследовался в [27]. Сплошной и полый вращающиеся цилиндры со свободными концами рассматривались в работах [28] и [29] соответственно. В работе [30] приводится сравнение результатов численных расчетов вращающихся сплошного и полого дисков для условий пластичности Треска и Мизеса. Полуаналитическое решение для сплошного диска при использовании условия Мизеса приведено в [31]. В работе [32] рассматривался вращающийся сплошной цилиндр из линейно-упрочняющегося упругопластического материала как с закрепленными, так и со свободными концами. Вращающийся цилиндр с нелинейным законом упрочнения рассматривался в работе [33]. Упругопластический анализ сплошных и полых цилиндров из функционально-градиентных материалов рассмотрен в работах [34-37]. Вязкопластическое течение вращающегося полого цилиндра со свободными и закрепленными торцами рассматривалось в работе [38]. В последнее время приобрела актуальность задача нахождения остаточных напряжений в трубе после вращения. Решение данной задачи используется для описания процесса автофретирования труб за счет вращения [39-43]. Из обзора материалов, посвященных вращающимся дискам и цилиндрам, можно видеть, что большинство работ посвящены рассмотрению сплошных и полых тел. Случаев, когда в качестве граничных условий выступают перемещения, гораздо меньше. Среди таких работ можно отметить [44-46], где рассматривался вращающийся диск с жестким включением, и [47] - с полностью зафиксированным диском. Целью данной работы является получение точного решения задачи об упругопластическом деформировании вращающегося полого цилиндра с зафиксированной радиальной компонентой перемещений на внешней границе. Полученное в итоге решение позволит вычислить напряженно-деформированное состояние (НДС) в таком цилиндре в любой момент времени. Также оно позволит выяснить, какое влияние на НДС окажет введение жесткого ограничения на радиальную компоненту вектора перемещений на внешней граничной поверхности. 1. Постановка задачи Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую среду с упругими и пластическими свойствами. Цилиндр ограничен двумя поверхностями и ( ). Граничная поверхность полагается жестко зафиксированной, - свободной. Положим, что такой цилиндр вращается с угловой скоростью . В начальный момент времени . В дальнейшем скорость вращения постепенно увеличивается до значения . После достижения этого значения скорость начинает плавно снижаться вплоть до полной остановки вращения. В цилиндрической системе координат для изотропного материала получим одномерный процесс деформирования относительно координаты . Для общности приведем ее к безразмерному виду: . Деформации в материале будем считать малыми и состоящими из упругих и пластических . Ненулевыми компонентами деформаций в нашем случае будут только компоненты и тензора полных деформаций: (1) где - безразмерные перемещения. Напряжения в деформируемом слое обусловливаются упругими деформациями в соответствии с законом Гука: (2) где - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона; - предел текучести. Соотношения, обратные к (2), имеют вид . (3) Будем считать угловое ускорение достаточно малым, чтобы можно было пренебречь силой инерции, определяемой вращательным ускорением. Это позволяет оставаться в рамках одномерности. В таком случае единственное уравнение равновесия примет вид , (4) где - плотность материала. Для учета пластических свойств деформируемого слоя воспользуемся теорией пластического течения. Для задания поверхности нагружения возьмем условие пластичности Треска-Сен-Венана, в нашем случае принимающее вид . (5) Ассоциированный закон пластического течения запишется в виде , (6) где - положительный коэффициент. Использование закона (6) вместе с условием (5) приводит к пластической несжимаемости. Из чего следует, что объемная деформация является чисто упругой. Исходя из этого и соотношений (1), (3) получим . (7) 2. Построение математической модели Граничные условия для полого цилиндра с внешней зафиксированной границей запишутся в виде Разобьем процесс деформирования на стадии. При росте скорости - упругое деформирование, упругопластическое и полная пластичность. При снижении скорости - упругое деформирование, появление повторного пластического течения. Рассмотрим более подробно данный процесс. 2.1. Упругое деформирование Из соотношений (1), (2), (4), с учетом равенства нулю пластических деформаций, получим дифференциальное уравнение, решение которого примет вид , (8) где - константы интегрирования. Напряжения примут значения (9) Для текущих граничных условий константы интегрирования рассчитываются следующим образом: . (10) Полученное упругое решение (8)-(10) справедливо для скоростей . Выход на поверхность нагружения может происходить как на внутренней граничной поверхности , так и на внешней . Найдем значение скоростей, при которых это происходит. На внутренней границе напряжения удовлетворяют неравенству , на внешней - . Условие пластичности (5) на внутренней поверхности примет вид , а на внешней . Используя полученные условия пластичности и упругое решение (9), (10), получим следующие скорости начала пластического течения: (11) Сравнив их, придем к выводу, что при пластическое течение начнется одновременно на двух граничных поверхностях (рис. 1). При бо́льших значениях - на внешней граничной поверхности. При меньших - на внутренней. Отметим, что при пластическое течение всегда будет начинаться на внешней границе. а б Рис. 1. Условие начала пластического течения: а - зависимость между и , при которых пластическое течение начнется на внутренней границе (ниже графика), на внешней - (выше графика); б - зависимость скорости начала пластического течения на внутренней и внешней граничных поверхностях от значения при Fig. 1. The condition for the start of plastic flow: a - the relationship between and , under which the plastic flow begins on the inner boundary (below the graph), on the outer (above the graph); b - the dependence of the velocity of the start of plastic flow on the inner and outer boundary surfaces on the value at 2.2. Упругопластическое деформирование При скорости вращения в цилиндре выполняется условие пластичности Треска (5) на внутренней граничной поверхности . Вследствие этого появляется область пластического течения, которую обозначим как I. Напряжения в области I ( ) удовлетворяют неравенству . В оставшейся части цилиндра ( ) продолжается процесс упругого деформирования. С увеличением скорости вращения до на внешней граничной поверхности выполняется условие пластичности (5) и зарождаются две области пластического течения, которые обозначим как II и III. Область II ( ) соответствует грани призмы Треска , а область III ( ) - ребру . В цилиндре по-прежнему сохраняется область упругого деформирования ( ). При достижении скорости вращения упругопластические границы и совмещаются между собой и упругая область исчезает. Так как области I и II принадлежат к одной грани призмы Треска, они сливаются вместе. Получившуюся область обозначим как II. При дальнейшем увеличении скорости вращения, вплоть до , граница будет постепенно продвигаться в направлении внутренней граничной поверхности . Рассмотрим каждую область. Упругая область. Полученное ранее упругое решение (8), (9) остается справедливым, однако значение констант интегрирования необходимо определять из условий на новых границах упругой области. При это границы и . Затем при это границы и . Область I Напряжения соответствуют грани призмы Треска . Условие пластичности (5) принимает вид . С помощью данного условия и уравнения (4), получим , (12) где - константа интегрирования. Используя ассоциированный закон пластического течения (6), найдем . Из (1) следует, что . В результате осевое напряжение определяется так же, как и в случае упругости: . (13) Подставив полученные напряжения (12), (13) в (7), получим дифференциальное уравнение для перемещений , решение которого имеет вид (14) где - константа интегрирования. Пластические деформации можно найти из (1), с учетом (3), (12), (13), (14): (15) Область II Область II соответствует той же грани призмы Треска, что и область I. Соответственно, решения (12)-(15) справедливы и для области II с той поправкой, что константы интегрирования заменятся на . Область III Напряжения в этой области соответствуют ребру призмы Треска . Условие пластичности (5) примет вид . С помощью данного условия и уравнения (4) получим значения напряжений , (16) где - константа интегрирования. Подставив полученные напряжения (16) в (7), получим дифференциальное уравнение для перемещений , решение которого имеет вид (17) где - константа интегрирования. Пластические деформации находятся из (1), (3), (16), (17): (18) 2.3. Разгрузка После достижения значения скорость вращения начинает уменьшаться. Это приводит к уменьшению напряжений и, соответственно, упругому деформированию цилиндрического слоя. На процесс упругости оказывают влияние накопленные пластически деформации. Обозначим их как . Преобразуя уравнение равновесия (4) с учетом (1), получим уравнение равновесия в перемещениях для стадии разгрузки В общем случае решение данного неоднородного уравнения примет вид где - константы интегрирования. Рассмотрим области с накопленными пластическими деформациями. Область I Область II 2.4. Повторное пластическое течение При дальнейшем снижении скорости вращения в цилиндре появляются области повторного пластического течения. В таких областях пластические деформации будут состоять из накопленных и вторичных пластических деформаций: . После снижения скорости вращения до значения в цилиндре на внутренней граничной поверхности зарождается область повторного пластического течения. Обозначим эту область III . Ей соответствует грань призмы Треска . В оставшейся части цилиндрического слоя ( и ) продолжается упругое деформирование. При уменьшении скорости вращения до зарождаются две пластические области на внешней граничной поверхности . Обозначим их IV и V. Области IV ( ) соответствует грань призмы Треска , а области V ( ) - ребро призмы Треска . Упругая область, соответственно, будет занимать оставшуюся часть деформируемого слоя ( и ). При дальнейшем уменьшении скорости, вплоть до , границы областей повторного пластического течения постепенно продвигаются внутрь деформируемого слоя в направлении поверхности . Рассмотрим подробней получившиеся области повторного пластического течения. Область III Напряжения соответствуют грани призмы Треска . Условие пластичности (5) принимает вид . (19) Из данного условия и уравнения (4) получим , (20) где - константа интегрирования. Используя ассоциированный закон пластического течения (6), найдем . (21) Учитывая накопленные в этой области пластические деформации (15), получим . Из (1) следует . В результате осевое напряжение определяется так же, как и в случае первичного пластического течения (13). Подставив напряжения (13), (20) в (7), получим дифференциальное уравнение , решение которого имеет вид (22) где - константа интегрирования. Используя (1), (3), (13), (15), (20), (21), (22), получим (23) Область IV Область IV соответствует той же грани призмы Треска, что и область III. Соответственно, для нее справедливо то же условие пластичности (19). Так же справедливо (20) с заменой на . Однако накопленные пластические деформации принимают другие значения (18). Что в свою очередь, с учетом (21), приводит к следующей зависимости: . (24) Подставив (20), (24) в (7), получим дифференциальное уравнение в перемещениях: решение которого при накопленных пластических деформациях (18) имеет вид (25) где - константа интегрирования. Из (1), (3), (20), (24), (25) можно найти пластические деформации: (26) Область V Напряжения соответствуют ребру призмы Треска . Условие пластичности (5) принимает вид . (27) По аналогии с областью III первичного пластического течения получим следующие значения напряжений: (28) и перемещений (29) где - константы интегрирования. Из уравнений (1), (3), (28), (29) можно найти пластические деформации: (30) 3. Случай начала пластического течения на внутренней границе Рассмотрим следующие физические и геометрические параметры цилиндра: Для текущих параметров . Следовательно, пластическое течение впервые начнется на внутренней граничной поверхности (см. рис. 1). Из (11) получим . На внутренней граничной поверхности зарождается пластическая область I. Для нахождения значений постоянных интегрирования для двух областей решим следующую систему уравнений: где - перемещения и напряжения для области I; - перемещения и напряжения для упругой области. Далее верхний индекс будет использоваться для обозначения области. Из данной системы уравнений можно найти значения констант интегрирования . Для нахождения значений и , при которых появятся пластические области II и III, решим добавочные уравнения . Решая второе уравнение при найденных константах интегрирования, получим . (31) Подставив полученную скорость в первое уравнение, получим . (32) В связи с нелинейностью данного уравнения по для его решения будем использовать численный метод Ньютона. В итоге искомые величины примут значения . (33) Далее, при в цилиндре присутствуют три области пластического течения и одна - упругого деформирования. К неизвестным добавятся четыре константы интегрирования и две границы . Для определения всех неизвестных воспользуемся системой уравнений (34) Для нахождения момента , когда произойдет схлопывание областей I и II, данных уравнений недостаточно, даже при введении дополнительного условия . Чтобы найти этот момент, сначала рассмотрим случай, когда . В этом случае в цилиндре остаются только две области пластического течения II и III и, соответственно, пять неизвестных . Итоговая система уравнений примет вид Из первых четырех уравнений найдем значения констант. Подставив найденные константы в пятое уравнение, можно найти зависимость между скоростью вращения и положением границы: . (35) В момент на поверхности необратимые деформации равны нулю. Подставив в уравнение для пластических деформаций (15) найденные значения констант и скорости (35) и приравняв его нулю, получим биквадратное уравнение. Его решение можно записать в виде . Так как нас интересует момент, когда пластические деформации равны нулю только в одной точке, данное уравнение распишется на два: и . Они примут вид (36) Из (35), (36) получим следующие значения: . Подставив в (35) значение , получим следующее положение границы: . На (рис. 2) представлены распределение напряжений в указанные моменты, итоговые пластические деформации и движение границ областей пластического течения. После достижения максимального значения скорость вращения начинает постепенно уменьшаться. При этом в цилиндрическом слое присутствуют две области упругого деформирования I и II, разделенные граничной поверхностью . Она не меняет своего положения. Найдем значение скорости вращения, при которой появятся области повторного пластического течения. Для этого разрешим условия пластичности на внутренней (19) и внешней (27) граничных поверхностях. В итоге получим (37) Сравнив полученные формулы с (14), получим и . Из этого можно сделать вывод, что повторное пластическое течение впервые начнется на той же граничной поверхности, на которой началось первичное пластическое течение. Из соотношений (37) также можно найти минимальное значение , при котором появится область повторного пластического течения. В нашем случае это . При повторное пластическое течение начнется в момент . а б в г д е Рис. 2. НДС цилиндра при росте скорости вращения : а - напряжения при ; б - напряжения при ; в - напряжения при ; г - напряжения при ; д - пластические деформации при ; е - развитие областей пластического течения Fig. 2. Stress-strain state of the cylinder with increasing angular speed : a - stresses at ; b - stresses at ; c - stresses at ; d - stresses at ; e - plastic strains at ; f - evolution of primary plastic regions При в цилиндрическом слое находятся одна область пластического течения и две области упругого деформирования. Следовательно, имеется семь неизвестных . Составим следующую систему уравнений для их нахождения: (38) Для нахождения скорости , при которой на внешней граничной поверхности зародятся две области повторного пластического течения IV и V, введем дополнительное уравнение . Из данного уравнения найдем значение : . Сравнив его с (31), заметим, что , если заменить на . Подставив полученную скорость в условие пластичности в системе (38), получим . (39) Как видим, полученное уравнение полностью совпадает с (32), только в качестве неизвестной стоит . Соответственно, при решении получаем то же положение упругопластической границы: . (40) При добавятся неизвестные . Для их нахождения внесем следующие изменения в систему (38): (41) Из получившейся системы найдем положения границ при условии : . (42) На (рис. 3) представлены распределение напряжений в указанные моменты, итоговые пластические деформации, движение границ областей пластического течения, а также распределения перемещений в цилиндре при разных скоростях вращения. а б в г д е Рис. 3. НДС цилиндра при снижении скорости вращения : а - напряжения при ; б - напряжения при ; в - напряжения при ; г - пластические деформации при ; д - развитие областей пластического течения; е - перемещения при разных Fig. 3. Stress-strain state of the cylinder with decreasing angular speed: a - stresses at ; b - stresses at ; c - stresses at ; d - plastic strains at ; e - evolution of secondary plastic regions; f - displacement at different 4. Случай начала пластического течения на внешней границе Рассмотрим по аналогии случай, когда пластическое течение начинается впервые на внешней граничной поверхности. Для этого возьмем следующие параметры: При таких параметрах, согласно (11), пластическое течение впервые начнется при скорости . Система уравнений для получения значения констант и нахождения положения границ областей будет выглядеть схоже с системой (34), за исключением уравнений для области I и границы . По аналогии с (31) аналитически вывели зависимость от значений и (в связи с ее громоздкостью не будем приводить ее здесь). В итоге получили следующие параметры, при которых пластическое течение начинается на внутренней граничной поверхности: . (43) По аналогии с предыдущим случаем получим (44) и . При снижении скорости вращения момент начала повторного пластического течения определяется по формулам (37). В нашем случае это . Для дальнейшего решения используются системы (38), (41), только без уравнений для области III и границы . Также удается вывести аналитическую зависимость скорости вращения, при которой начинается повторное пластическое течение на внутренней границе. Сравнив полученную формулу с формулой для , получим , если заменить на . В итоге получим . (45) Можно заметить, что, как и в предыдущем случае, положения границ областей в момент начала повторного пластического течения на другой стороне цилиндра (40), (45) совпадают с таковыми при первичном пластическом течении (33), (43). При дальнейшем уменьшении скорости для описания среды будем использовать систему (38), (41). Однако при скорости произойдет переход области IV через границу и она разобьется на две подобласти: IV и VI. Область VI будет идентична области III повторного пластического течения, только с заменой коэффициентов интегрирования с на . Это произойдет при следующих значениях: Для продолжения расчета в системы (38), (41) внесем изменения: (46) При дальнейшем уменьшении скорости произойдет слияние областей III и VI. Для нахождения этого момента воспользуемся теми же соображениями, что и ранее для случая первичного пластического течения. Системы уравнений (38), (41), (46) преобразуются к виду (47) Найдя из первых шести уравнений значения констант и подставив их в последнее уравнение, выразим скорость через положения границ: . Сравнив полученное выражение с (35), получим , если заменить на . Выполняя те же преобразования, что и ранее - только вместо равенства нулю пластические деформации должны равняться остаточным пластическим деформациям , - получим те же уравнения (36), только с заменой на и на . Заметим, что сама граница не входит в полученные уравнения. Из этих уравнений получим При остановке вращения граница между оставшимися двумя областями принимает положение На (рис. 4) представлены графики распределения напряжений и пластических деформаций, характеризующие ключевые стадии процесса. На основе полученных результатов можно составить следующие зависимости, которые с учетом ранее введенного обозначения для скорости вращения (4) примут вид , (47) где - скорости вращения на стадии разгрузки (уменьшения скорости вращения); - скорости вращения на стадии нагрузки (увеличения скорости вращения); - положения границ имеющихся пластических областей на стадиях разгрузки и нагрузки соответственно. а б в г д е Рис. 4. НДС цилиндра при начале течения с внешней границы: а - напряжения при ; б - пластические деформации при ; в - напряжения при ; г - пластические деформации при ; д - движение границ при увеличении ; е - движение границ при уменьшении Fig.4. Stress-strain state of the cylinder with plastic flow first started at outer border: а - stresses at ; b - plastic strains at ; c - stresses at ; d - plastic strains at ; e - evolution of primary plastic regions; f - evolution of secondary plastic regions Полученное соотношение (47) говорит о том, что мы можем на основе данных, полученных на стадии увеличения скорости вращения, проанализировать поведение цилиндрической среды на стадии уменьшения скорости вращения. А именно: где и какие области пластического течения образуются. Это позволяет, зная скорость, при которой впервые появляется пластическое течение в цилиндре, найти такое максимальное значение скорости, при которой при разгрузке в теле не возникнет повторного пластического течения. Либо в конструкциях, работающих на критических скоростях, позволяет определить границу, до которой можно опускать скорость вращения, чтобы не происходило излишнее пластическое деформирование металла. Однако данная зависимость (47) может не выполняться для других граничных условий. Что можно увидеть, например, в работах [21, 22] для сплошного цилиндра. Также следует отметить, что добавление граничных условий на перемещения сильно увеличивает значение скоростей вращения, при которых начинается пластическое течение. Так, в работе [38] для полого цилиндра со свободными концами скорости, при которых пластическое течение появится и распространится на всю деформируемую среду, составляют и соответственно. Из той же работы [38] для полого цилиндра с закрепленными концами получим и . По формулам (11), (36) для полого цилиндра с жестким внешним покрытием с закрепленными концами для тех же параметров среды получили и . С практической точки зрения это означает, что добавление ограничения на перемещения значительно повысит ресурс эксплуатируемой детали. В данном случае добавление жесткого ограничения на внешнюю граничную поверхность позволяет увеличить значение критической скорости вращения чуть более чем в полтора раза. Выводы Найдено точное аналитическое решение определяющей системы уравнений для задачи вращения полого цилиндра с жестким внешним покрытием. Найдена зависимость для критической скорости вращения, при которой начинается пластическое течение. Установлено, что в зависимости от толщины цилиндра и коэффициента Пуассона пластическое течение может начаться как на внутренней, так и на внешней поверхности цилиндра. Получены аналитические выражения для скоростей вращения, при которых появляются новые пластические области. Установлена зависимость между скоростями зарождения повторного и первичного пластического течения. Найдено значение максимальной скорости вращения, достаточное для полного перехода цилиндра в состояние повторного пластического течения. Установлено, что добавление жесткого ограничения на внешнюю поверхность позволяет в полтора раза повысить значение критической скорости, при которой впервые появится пластическое течение.

About the authors

A N Prokudin

Institute of machinery and metallurgy FEB RAS

S V Firsov

Institute of machinery and metallurgy FEB RAS

References

Statistics

Views

Abstract - 646

PDF (Russian) - 344