Boundary value problems for systems of inhomogeneous polyharmonic equations with applications in the theory of thin shells and plates

Abstract


A number of problems in the theory of elasticity, the theory of heterogeneous media, the theory of thin shells and plates is reduced to solving boundary value problems for systems of inhomogeneous polyharmonic equations. The paper proposes a numerical algorithm for solving systems of polyharmonic equations of the form in single-connected and multi-connected areas with a piecewise smooth contour with specified boundary conditions. Two cases are considered when the function is a known polyharmonic function and when the function is also the desired polyharmonic function. The boundary conditions can have the form similar to Dirichlet conditions, Neiman conditions, and can have a mixed form when on one part of the boundary conditions of the Dirichlet type are given, and on the other - hand, the conditions of the Neiman type. On the basis of multiple applications of the Laplace operator and the boundary element method, which is based on the green integral identity, the given system is reduced to a system of integral identities. After approximating the boundary by an inscribed n-gon and discretizing the system of integral identities, the latter is reduced to a system of linear algebraic equations, which is conveniently represented as a system of matrix equations. The existence and uniqueness of the solution follows from the existence of a unique solution of a system of linear algebraic equations. Special attention is paid to the application of the algorithm to the solution of problems on the bending of thin plates, and the bending load can be a known function, and can be an unknown polyharmonic function of an arbitrary order with given boundary conditions. The problem of bending a thin plate of elliptic shape with a known load on the surface is solved, as well as the problem of bending a thin square plate with an unknown load, which is the solution of a harmonic equation with given boundary conditions. The level lines are constructed and the forms of curved plates are given.

Full Text

Введение Исследование проблем механики, теории оболочек и пластин, теории гетерогенных сред предполагает решение краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных. В пространственном случае зачастую возникает сложность в постановке граничных условий, поэтому ограничимся рассмотрением плоских задач. Ряд задач механики сплошной среды сводится непосредственно к системам эллиптического типа (системам полигармонических уравнений), например задача об изгибе тонкой пластины. В плоской теории упругости исследование изгиба пластин связано с решением дифференциального уравнения Софи Жермен для функции прогиба , (1) где D - цилиндрическая жесткость пластинки в области , которая задает форму пластинки. Если нагрузка является полигармонической порядка m (она может быть как заданной, так и неизвестной), то решение задачи сведется к решению системы полигармонических уравнений (2) Граничные условия будут задаваться в зависимости от способа закрепления кромки и вида функции нагрузки на границе. Задачи определения напряженного состояния водонасыщенной упругопористой среды [13], определения контуров обводнения области от источника [14] также сводятся к системе полигармонических уравнений. Исследование изгиба достаточно пологих упругих оболочек предполагает решение системы (3) где E - модуль Юнга; D - цилиндрическая жесткость; h - толщина пластины; - функция напряжений; - нормальное перемещение точек срединной плоскости; - распределенная нагрузка, действующая по нормали. Подробное решение дифференциальных уравнений эллиптического типа представлено в монографии И.Н. Векуа [3] и трудах современных авторов [5, 9, 11, 12, 22, 23, 29]. Например, монография F. Gazzola, H.-Ch. Grunau, G. Sweers [23], как и монография Векуа, охватывает линейные и нелинейные эллиптические краевые задачи более высокого порядка в ограниченных областях. В этой работе формулируются краевые задачи для систем полигармонических уравнений и анализируется существование и единственность их решений в функциональном пространстве. Во всех перечисленных работах приведены аналитические решения поставленных краевых задач в некоторых, достаточно простых, областях. В работах [11-12] решались различные системы дифференциальных уравнений, в том числе и эллиптического типа, в классе почти-периодических функций с помощью обобщенного дискретного преобразования Фурье. В этих работах задачи решались в областях, представляющих собой одно-, многослойные полосы и полуплоскости. Использование этих методов, например, в многосвязных областях с произвольной границей довольно затруднительно. Применение аналитических методов вообще возможно лишь в областях специального вида. Поэтому имеет смысл применить прямые численные методы, которые бы позволили рассчитать искомую функцию в односвязной или многосвязной (в зависимости от условия задачи) области произвольной формы с непрерывной кусочно-гладкой и несамопересекающейся границей . В настоящее время для численного решения краевых задач для полигармонических уравнений чаще используют метод конечных элементов [30], который требует использования всех точек области, что при вычислении, например, производных от искомых функций приводит к существенным погрешностям. При решении системы полигармонических уравнений этот метод довольно трудоемок, как и метод виртуальных элементов [28], предложенный авторами [20] для решения именно полигармонических уравнений, так как требует четкого разбиения области на элементы определенной формы. В последние годы для решения узкого спектра задач также используется метод Монте-Карло [24], в основе которого так же, как в конечно-разностных схемах, лежит метод сеток, который снова требует использования внутренних точек области. При использовании этого метода требуется решение дополнительной трудоемкой задачи: составить систему уравнений, отражающих взаимосвязи между погрешностями и значениями, что, в свою очередь, усложняет процесс решения исходной задачи. Поэтому с точки зрения простоты и эффективности метод граничных элементов выигрывает. В работе [5] методом прямого численного разложения полигармонического уравнения краевая задача была сведена к системе линейных уравнений, в результате был разработан простой численный алгоритм вычислений полигармонических функций. В основе этого алгоритма лежит метод линейных граничных элементов [1, 2], который является одним из эффективных методов для решения указанного класса задач. Серия численных результатов подтверждает эффективность и высокую точность вычислений. Ниже дается обобщение численных методов [7, 17] на системы линейных дифференциальных уравнений специального вида (аналог задачи Пуассона с известной правой частью или системы полигармонических уравнений): (4) Граничные условия определяются особенностями моделируемого сценария. В данной работе построен четкий алгоритм решения системы полигармонических уравнений специального вида (4). Ранее уже делалась попытка сформулировать краевые задачи для полигармонических систем [27]. Однако четкий алгоритм сформулирован не был. Автор попытался восполнить данный пробел, сформулировать строгий алгоритм для решения системы (4) и продемонстрировать этот алгоритм при решении задачи об изгибе тонкой пластины эллиптической и прямоугольной формы. Система уравнений (4) является упрощенной, но численный алгоритм может быть применим для системы линейных уравнений произвольного порядка. Рассматриваются два случая: 1) является искомой полигармонической функцией порядка n, непрерывной вместе со своими производными до -го порядка включительно, является заданной полигармонической функцией порядка m также непрерывной вместе со своими производными до -го порядка включительно в области ; 2) является искомой полигармонической функцией порядка n, непрерывной вместе со своими производными до -го порядка включительно, также является искомой полигармонической функцией порядка m, непрерывной вместо со своими производными до -го порядка включительно в области . Ссылаясь на результаты Векуа, мы оставляем в стороне теоремы существования и единственности решения и основное внимание обращаем на построение численного алгоритма и его применение при решении некоторых задач теории тонких оболочек и пластин. 1. Аппроксимация границы области и интеграла по границе Ограничимся рассмотрением односвязной области произвольной формы с непрерывной кусочно-гладкой и несамопересекающейся границей . Данный алгоритм можно обобщить на случай многосвязной области. Границу аппроксимируют вписанным многоугольником с сторонами (элементами), угловые точки называют узлами (рис. 1). Количество узлов равно . Если на границе есть угловые точки, то они совмещаются с узлами. Граничные условия удовлетворяются в средних (контрольных) точках элементов. Рис. 1. Аппроксимация области вписанным многоугольником Fig.1. Approximation of a region by an inscribed polygon Пронумеруем узловые и контрольные точки , причем , и , тогда геометрические характеристики границы в контрольных точках, таких как контрольная точка, длина элементов, координаты дуговой абсциссы и внешняя нормаль к контуру , определяются в виде (5) Рассмотрим две функции и - первая функция непрерывна на границе, в то время как функция может иметь в точке интегрируемую особенность. Интеграл от произведения двух функций по контуру определяется по формуле о среднем, допускающей ошибку порядка : (6) Приближенное значение интеграла может быть записано в виде произведения матриц (7) Компонентами матрицы являются интегралы по элементам Воспользовавшись интегральными представлениями [17], полигармоническое уравнение с учетом представления (6) можно представить в виде системы линейных интегральных уравнений [8]: (8) где (9) r - расстояние от фиксированной точки z до переменной точки на гладкой границе. Поскольку в контрольной точке контур гладкий, то множитель ; во внутренней точке . Третье уравнение в (9) есть обыкновенное дифференциальное уравнение вида . Решением является функция [10]: 2. Дискретизация уравнений (8) Пользуясь приближенным представлением (6) или (7), можно записать уравнение (8) в виде линейной системы дискретных значений функции и нормальной производной в контрольных точках: или в виде n матричных уравнений . (10) Равенство (10) представляет уравнений относительно компонент и , которые являются элементами матриц и и определяются как элементы матриц и определяются как значения интегралов и соответственно. 3. Краевые задачи 1-й тип. Пусть функция непрерывно дифференцируема m раз в замкнутой области и является известной полигармонической функцией порядка . Тогда второе уравнение системы (4) удовлетворяется тождественно. Применяя раз оператор Лапласа, получаем одно полигармоническое уравнение порядка : . (11) В соответствии с формулой (10) уравнение (11) записывается в виде системы матричных уравнений (12) Компонентами матриц и векторов являются значения соответствующих функций в N контрольных точках, найденных, как указано в предыдущем пункте. 2-й тип. Функция является искомой полигармонической функцией порядка n, непрерывной вместе со своими производными до -го порядка включительно, также является искомой полигармонической функцией порядка m, непрерывной вместо со своими производными до -го порядка включительно в области . Она определяется из второго уравнения системы (4) с граничными условиями. Если представить это уравнение в виде системы (12), то для его решения необходимо задать дополнительно значений в контрольных точках. Применив к первому уравнению системы оператор Лапласа раз, снова придем к полигармоническому уравнению -го порядка, которое также может быть представлено в виде системы уравнений (9). Таким образом, из системы уравнений (12) можно одновременно найти значения искомых функций и в контрольных точках. Значение функции в произвольной внутренней точке области находится из равенства (9) при . 4. Граничные условия В обоих случаях решение сводится к решению уравнения (11), для которого необходимо определить граничных условий. Они могут быть следующего вида: 1) - дуговая координата на границе; 2) 3) смешанные условия, когда на одной части границы заданы , а на другой Приведенные граничные условия аналогичны условиям Дирихле и Неймана. Например, в случае решения задачи об изгибе пластины, жестко защемленной по краям, моделируемой дифференциальным уравнением (1), краевые условия имеют смешанный тип [18]: Так как граница пластины и нормаль жестко фиксированы, то первое граничное условие показывает отсутствие прогиба на границе, второе граничное условие показывает отсутствие изменения положения края пластины от своего первоначального [16]. При переходе к системе уравнений (12) будут определены значений , или , или частично и . Для задачи 1-го типа достаточно задать значений в контрольных точках, дополнительные условий могут быть найдены из заданной функции в области и, следовательно, на границе : Для задач 2-го типа значений в контрольных точках определяются из граничных условий для первого уравнения системы (4), а оставшиеся значений - из граничных условий для второго уравнения этой системы. 5. Оценка точности численного алгоритма Оценить точность данного численного алгоритма возможно, оценив погрешность вычислений. Значение искомой функции в каждой внутренней точке области определяется формулой (8) при . Абсолютное значение разности интегралов в (8), вычисленных по контуру области и по границе вписанной многоугольной области , рассчитываем следующим образом: По теореме о дивергенции [19], справедлива следующая оценка: (13) где - площадь области ; - наибольшее значение модуля в этой области; . Таким образом, погрешность прямо пропорциональна площади . Оценим ее. Представим площадь области между контуром и вписанной многоугольной областью в виде где - площадь i-го сегмента между границей и i-й хордой, Введем с центром в контрольной точке каждой i-й хорды локальную систему координат так, что ось совмещена с хордой, . Тогда разложение некоторой функции в окрестности нуля в ряд Тейлора имеет вид (14) Отсюда производная определится следующим образом: . (15) Площадь сегмента как площадь некоторой криволинейной трапеции, образованной кривой и хордой, c учетом (14) и (15) рассчитывается так: Тогда где , - периметр вписанного многоугольника. Таким образом, расположение контрольной точки в середине хорды при вычислении интегралов типа (6) допускает ошибку . С другой стороны, с учетом условия Гельдера , где - постоянная Гельдера; - показатель Гельдера. Для непрерывно дифференцируемых функций можно считать . Для площади справедлива следующая оценка: где . Из (13) понятно, что погрешность прямо пропорциональна площади . При неограниченном увеличении количества узлов площадь , следовательно, погрешность также стремится к нулю, и возрастает точность предлагаемого численного метода. 6. Численные примеры Пример 1. Рассмотрим тонкую пластину толщиной 0,003 м эллиптической формы с полуосями в недеформированном состоянии на плоскости , края которой жестко закреплены. На поверхности пластины распределена безразмерная линейная внешняя нагрузка Рассчитаем функцию изгиба. Решаем уравнение в области , если на контуре пластины граничные условия имеют вид . Применяя описанный выше алгоритм, переходим к системе матричных уравнений Форма прогиба пластины представлена на рис. 2, линии уровня на рис. 3. Рис. 2. Форма прогиба эллиптической пластины Fig.2. The shape of the deflection of elliptical plates Рис. 3. Линии уровня при изгибе эллиптической пластины Fig. 3. Level lines when bending an elliptical plate Пример 2. Рассмотрим тонкую пластину толщиной 0,003 м квадратной формы в недеформированном состоянии на плоскости , края которой жестко закреплены. На поверхности пластины распределена безразмерная внешняя нагрузка, которая удовлетворяет гармоническому уравнению. На границе нагрузка принимает следующие значения: Рассчитать функцию прогиба. Для численного решения перейдем к полигармоническому уравнению третьего порядка с граничными условиями Решение этого уравнения на границе сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений: которую можно свести к простому матричному уравнению Результаты построения функции прогиба представлены на рис.4 Рис. 4. Форма прогиба квадратной пластины Fig. 4. Square plate deflection Заключение Изложенный численный алгоритм построен для системы упрощенного вида, но может быть применен к широкому классу подобных систем уравнений и представлять теоретический интерес для научных коллективов. В работе решена задача об изгибе тонкой пластины с известной нагрузкой, а также задача об изгибе плиты с неизвестной нагрузкой, удовлетворяющей полигармоническому уравнению. В современной научной практике часто методом выбора для численного решения, например, задач механики являются конечно-разностные схемы, метод конечных элементов, вариационные методы [4, 6, 15, 20, 25, 26, 30]. Но они учитывают все дискретные точки области. В ряде задач теории упругости требуется вычисление производных. Например, при решении классической задачи теории упругости для функции Эри нахождение напряжений требует численного вычисления производных. В указанных методах необходимо использование не только граничных точек, но и внутренних точек области. В сравнении с ними метод граничных элементов учитывает только точки на границе, что повышает точность расчетов. В работе оценена точность метода, эффективность метода подтверждена в более ранних работах [8, 9, 13, 14] на различных примерах сравнением численных результатов и аналитических решений.

About the authors

E A Mikishanina

Chuvash State University named after I.N. Ulianov

References

  1. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984. - 494 с.
  2. Бреббия К., Телес Ж., Вроубелл Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.
  3. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. - М.: Физматлит, 1948. - 296 c.
  4. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. - М.: Наука, 1982. - 282 с.
  5. Голушко С.К., Идимешев С.В., Семисалов Б.В. Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек / Конструкт.-технол. ин-т вычислит. техн. Сиб. отд-ния РАН. - Новосибирск, 2014. - 131 с.
  6. Егорова О.В., Жаворонок С.И., Курбатов А.С. О вариационных уравнениях расширенной теории n-го порядка упругих оболочек и их приложении к некоторым задачам динамики // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2015. - № 2. - С. 36-55.
  7. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журн. вычислит. мат. и мат. физики. - 2012. - Т. 52, № 11. - С. 2050-2059.
  8. Казакова А.О., Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Математическое моделирование в механике сплошных сред с использованием полигармонических уравнений и их систем // Современные проблемы механики сплошной среды: тез. докл. междунар. конф., посвященной памяти академика Л.И. Седова в связи со стодесятилетием со дня его рождения. - М.: Изд-во Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН, 2017. - С. 116-118.
  9. Казакова А.О. Полигармонические уравнения в механике сплошных сред // Математика. Образование. - 2013. - С. 361.
  10. Кангужин Б.Е., Кошанов Б.Д. Представления и свойства функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений // Мат. журн. - 2010. - Т. 8, № 1 (27). - С. 50-58.
  11. Кулагина М.Ф., Микишанина Е.А. Построение почти-периодических решений некоторых систем дифференциальных уравнений // Мат. замет. СВФУ. - 2015. - Т. 22, № 3. - С. 11-19.
  12. Кулагина М.Ф., Микишанина Е.А. О некоторых задачах механики сплошной среды для составных областей // Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций: материалы международ. науч. конф. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. - Т. 49. - С. 212-216.
  13. Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Об определении напряженного состояния упругопористой среды // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 159, кн. 2. - С. 204-215.
  14. Микишанина Е.А. Численное определение контуров обводнения в задачах нестационарной фильтрации // Науч.-техн. вестник Поволжья. - 2017. - № 1. - С. 21-24.
  15. Найштут Ю.С. Решение краевых задач теории тонких упругих оболочек методом Неймана // Компьютерные исследования и моделирование. - 2015. - T. 6, № 6. - C. 1143-1153.
  16. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1962. - 431 с.
  17. Терентьев А.Г. Краевые задачи теории полигармонических уравнений и их численное решение // Инновации в образовательном процессе. - М.: Изд-во МГОУ, 2007. - № 5. - С. 194-199.
  18. Терентьев А.Г. Теория упругости с элементами сопротивления материалов и пластичности. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2016. - 264 с.
  19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Физматлит, 2008. - Т. III. - 728 с.
  20. Antonetti P.F., Manzini G., Verani M. The conforming virtual element method for polyharmonic problems, MOX-Preprint 56/2018.
  21. Badriev I.B., Banderov V.V. Iterative methods for solving variational inequalities of the theory of soft shells // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2014. - Vol. 35. - No. 4. - Р. 371-383.
  22. Ciarlet P.G. Mathematical elasticity. Vol. III: Theory of shells, Collection “Studies in Mathematics and it application.” - North-Holland, Amsterdam, 2000. - 659 p.
  23. Ganzolla F., Grunau H.-Ch., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems: Positivity Preserving and Nonlinear Higher Order Elliptic Equations in Bounded Domains // Lecture Notes in Mathematics. - Berlin: Springer, 2010. - Vol. 1991.
  24. Lukinov V.L., Mikhailov G.A. Monte Carlo methods for solving the first boundary value problem for a polyharmonic equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2005. - Vol. 45. - No. 3. - Р. 476-489.
  25. The mimetic finite difference method for elliptic and parabolic problems with a staggered discretization of diffusion coefficient / K. Lipnikov, G. Manzini, G.D. Moulton, M. Shashkov // Journal of Computational Physics. - 2016. - No. 305. - Р. 111-126.
  26. MacDonald M., Kulatunga M.P. Finite element analysis of cold-formed steel structurial members with performations subjected to compression loading // Mechanics and Mechanical Engineering. - 2013. - Vol. 17. - No. 2. - Р. 127-139.
  27. Mikishanina E.A. Solution of boundary value problems for a system of polyharmonic equations of a special type with applications // J. Phys.: Conf. Ser. 1158 032033. - 2019.
  28. Natarajan S, Bordas P.A., Ooi E.T. Virtual and smoothed finite elements: a connection and its application to polygonal/polyhedral finite element methods // Intenational Journal on Numerical Methods in Engineering. - 2015. - No. 104(13). - P. 1173-1199.
  29. Skubachevskii A.L. Bondary-value problems for elliptic functional-differential equations and their applications // Journal of Phisics: Conf. Series. - 2016. - Vol. 71. - No. 5. - P. 801-812.
  30. Zeinikiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. - Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. - 707 p.

Statistics

Views

Abstract - 88

PDF (Russian) - 64

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2019 Mikishanina E.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies