Non-stationary coupled axisymmetric thermoelasticity problem for a rigidly fixed round plate

Abstract


A new closed solution is constructed for the axisymmetric dynamic problem of the classical (CTE) theory of thermoelasticity for a rigidly fixed circular isotropic plate in the case of a temperature change on its face surfaces (boundary conditions of the first kind). The mathematical formulation of the problem under consideration includes linear equations of thermal conductivity and equilibrium in a spatial setting, assuming that their inertial elastic characteristics can be neglected in the structures under study. In constructing a general solution of related non-self-conjugate equations, we use the mathematical apparatus of separation of variables in the form of finite integral transformations i.e. Hankel along the radial coordinate and biorthogonal transformation (FIT) with respect to the axial variable. At each stage of the investigation, a procedure is performed to reduce the boundary conditions to a form that allows the corresponding transformation to be applied. A particular feature of this solution is the application of a FIT based on a multicomponent relation of the eigenvector functions of two homogeneous boundary value problems. An important point in the procedure of the structural algorithm is the separation of the adjoint operator, without which it is impossible to solve non-self-adjoint linear problems of mathematical physics. This transformation is the most effective method for studying similar boundary value problems. The calculated design relationships make it possible to determine the stress-strain state and the character of the distribution of the temperature field in a rigidly fixed circular isotropic plate for an arbitrary external temperature effect with respect to time. Numerical analysis of the strength characteristics of the concrete structure shows that during the period of the unsteady load the maximum values of mechanical stresses are observed. Later, at a constant temperature regime, as a result of heating the entire plate, the displacements increase and the stresses fall.

Full Text

Введение При проектировании конструкций различного назначения возникает необходимость исследования их работы в условиях неравномерного нестационарного нагрева [1-3]. Данное воздействие сопровождается возникновением тепловых деформаций и напряжений, которые необходимо учитывать в случае всестороннего анализа прочностных характеристик упругих систем конечных размеров. В настоящее время разработаны различные теории термоупругости (CTE, GHI-GHIII, LS) [4, 5], позволяющие решить данную проблему с различной степенью точности. Математическая формулировка рассматриваемых начально-краевых задач в линейной постановке включает связанные несамосопряженные дифференциальные уравнения движения и теплопроводности. Проблема их интегрирования и построение общего решения приводит, как правило при проведении практических расчетов, к исследованию только уравнения теплопроводности без учета деформирования упругой системы [5-9]. Другой подход связан с анализом задач термоупругости в несвязанной постановке. При этом расчетная схема конструкции представляется в виде тонкостенных [10-14] или бесконечно длинных тел [15-21]. В связанной постановке замкнутые решения динамических задач термоупругости представлены в немногих работах. В частности, исследование [22] выполнено при использовании классической (CTE) теории термоупругости для бесконечного цилиндра и сферы с помощью обобщенного метода конечных интегральных преобразований [23], с учетом заданной на поверхностях элементов плотности тепловых потоков (граничные условия 2-го рода) [8]. В работах [24, 25], также при использовании CTE-теории, построены решения для конечного изотропного цилиндра с мембранным закреплением его торцевых поверхностей. Расчетные соотношения представлены в виде спектральных разложений по биортогональной системе собственных функций несамосопряженного пучка дифференциальных операторов [26]. Исследование [27] проведено в рамках гиперболической (GHII) теории термоупругости и позволяет провести анализ частотного уравнения, а также форм гармонических волн в бесконечном цилиндрическом волноводе. В [28] получены представления для перемещений и температуры в гармонической GHIII - термоупругой волны для волновода с проникающей для тепла стенкой. В настоящей работе объектом исследования является жестко закрепленная круглая изотропная пластина при нестационарном осесимметричном температурном воздействии на ее лицевые поверхности (граничные условия 1-го рода). Численные результаты расчета данной задачи в несвязанной постановке [29] позволяют сделать вывод, что упругие инерционные характеристики диска необходимо учитывать в очень тонких конструкциях ( - толщина и радиус пластины) при действии высокочастотной нагрузки. При этом недостатком такого подхода в организации итерационного процесса является аппроксимация сложных расчетных соотношений более простыми приближенными функциями. В данном исследовании для решения этой проблемы исходные несамосопряженные расчетные соотношения классической теории термоупругости включают уравнения равновесия в предположении, что для рассматриваемой конструкции выполняется условие Построенное решение связанной задачи позволяет при неравномерном нагреве тела учесть влияние деформаций, а также скорости изменения его объема (скорость дилатации) на характер распределения температурного поля и напряженно-деформированное состояние. 1. Постановка задачи Пусть круглая жестко закрепленная пластина занимает в цилиндрической системе координат область : . На ее торцевых поверхностях задана температура, величина которой зависит от радиальной координаты и времени : при , при (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема Fig. 1. Calculation scheme В общем случае линейные дифференциальные осесимметричные уравнения равновесия и теплопроводности классической (CTE) теории термодинамики, начально-краевые условия для однородной упругой изотропной среды в цилиндрической системе координат и безразмерной форме имеют вид [4] (1) , (2) , , ; (3) , , (4) ; (5) В равенствах (1)-(5) используются следующие обозначения: , , , , , , , , , - компоненты вектора перемещений; изменение температуры и абсолютная температура начального состояния тела; модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; коэффициенты линейного теплового расширения, температуропроводности и теплопроводности материала. Условия (2) означают жесткое закрепление цилиндрической поверхности пластины и отсутствие передачи тепла. Равенство (3) определяет ограниченность решения в центре пластины, а первые два условия (4) - отсутствие нормальных и касательных напряжений на ее лицевых поверхностях. Соотношения (1)-(5) представляют собой математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи термоупругости. 2. Построение общего решения Начально-краевую задачу (1)-(5) решаем методом интегральных преобразований, используя последовательно преобразование Ханкеля [30] с конечными пределами по переменной и биортогональное конечное преобразование (КИП) [31] по координате . Преобразование Ханкеля позволяет удовлетворить только смешанные граничные условия [30]. Поэтому для выполнения данного требования необходимо последнее равенство (2) заменить условием наличия касательных напряжений на цилиндрической поверхности пластины: (6) Для решения задачи (1)-(6) вводится новая функция , связанная с , соотношением (7) Здесь неизвестные функции, выражение которых определяется в процессе решения задачи из условия отсутствия вертикальной компоненты вектора перемещений на цилиндрической поверхности пластины . Подстановка (7) в (1)-(6) позволяет получить новую краевую задачу относительно функций , в которой дифференциальные уравнения (1) и первое граничное условие (4) становятся неоднородными с правыми частями*: При этом граничные условия на цилиндрической поверхности принимают вид , . (8) К краевой задаче относительно применяем преобразование Ханкеля с конечными пределами по переменной , используя следующие трансформанты: (9) и формулы обращения (10) где - положительные нули функции . В результате получаем начально-краевую задачу относительно трансформант Ханкеля: (11) , , ; (12) , (13) где На следующем этапе решения предварительно производится процедура стандартизации [32] (приведение неоднородных граничных условий (12) к однородным) путем введения новых функций , связанных с соотношениями (14) где , . Подстановка (14) в (11)-(13) при выполнении условий: , , (15) позволяет получить начально-краевую задачу относительно функций с однородными граничными условиями по переменной z. При этом правые части дифференциальных уравнений (11) и начальные условия (13) относительно функции принимают вид (16) Начально-краевую задачу (11)-(13) относительно решаем, используя структурный алгоритм биортогонального конечного интегрального преобразования (КИП) [31]. Для этого вводим на сегменте [0, h] КИП с неизвестными компонентами собственных векторов-функций ядер преобразований : (17) (18) где - собственные значения соответствующих однородных линейных краевых задач относительно сопряженных и инвариантных компонент векторов-функций ядер КИП ( ). В результате использования алгоритма КИП [26] получаем счетное множество задач Коши для трансформанты : (19) , решение которых имеет вид (20) а также две системы дифференциальных уравнений и граничные условия относительно неизвестных ядер преобразований: (21) ; (22) ; (23) . (24) Задачи для трансформанты (19) и сопряженная однородная задача (21), (22) относительно компонент ядра получены в результате применения вырожденного преобразования (17), а соотношения (23),(24) построены путем использования к полученной (сопряженной) задаче (21),(22) аналогичного (17) КИП с компонентами ядра . Системы (21), (23) приводятся к разрешающим уравнениям 6-го порядка относительно функций , которые допускают разложение на коммутативные сомножители 2-го порядка. В общем случае, принимая во внимание численные значения физических характеристик основных строительных материалов (величины ), выражения для записываются следующим образом: (25) где - постоянные, полученные в результате приведения (21), (23) к разрешающим уравнениям; - постоянные интегрирования. Расчетные соотношения остальных компонент ядер преобразований определяются из (21),(23) с учетом (25). Подстановка , в соответствующие граничные условия (22),(24) позволяет сформировать две системы алгебраических уравнений, решение которых позволяет определить постоянные интегрирования и собственные значения Окончательные выражения функций , получим, применяя к трансформанте (20) последовательно формулы обращения КИП (18) и метод конечных преобразований Ханкеля (10). В результате с учетом (7), (14) имеем (26) Полученные выражения являются сходящимися в силу полноты систем функций и на интервале и на интервале . Заключительным этапом исследования является определение функций , , , . Первоначально рассматривается случай действия только температурной нагрузки ( ). Тогда функции вычисляются из условия упрощений правых частей дифференциальных уравнений (16): В результате формируются две системы дифференциальных уравнений относительно функций и . Их решения при удовлетворении граничных условий (15) позволяют определить . Функция определяется из условия : (27) На следующем этапе решения к цилиндрической поверхности пластины прикладываются касательные напряжения ( ). Принимая во внимание условие уравновешенности пластины и отсутствие касательных напряжений на ее лицевых поверхностях, представляем в виде следующей зависимости: Здесь параметр определяется из условия суммарного равенства перемещений по высоте пластины с обратным знаком при решении двух задач. Функции также вычисляются из условия упрощений правых частей дифференциальных уравнений (16): В этом случае образуются две системы дифференциальных уравнений относительно функций и , которые решаются при удовлетворении граничных условий (15). Полученные расчетные соотношения (26) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1) и краевым условиям (2)-(5) (последнее условие (2) с заданной точностью), т.е. представляют замкнутое решение рассматриваемой краевой задачи термоупругости. 3. Численный анализ результатов. Выводы В качестве примера рассматривается жестко закрепленная круглая железобетонная пластина ( м, м, Па, , кг/м3, Вт/(м °С), 1/0 C, м2/c) в случае действия на верхней лицевой поверхности ( ) температурной нагрузки в виде где единичная функция Хэвисайда ( при , при ); , максимальное значение внешнего температурного воздействия и соответствующее ему время в размерной форме ( , , с). На рис. 2-7 представлены численные результаты расчета, на основании которых можно сделать следующие выводы: 1. При достижении функции изменения температуры максимального значения ( ) ее срединная поверхность при прогревается на 17 °C (см. рис. 2, график 1). В дальнейшем, при постоянной величине , равномерный прогрев всей пластины наблюдается при (см. рис. 2, график 3). Рис. 2. Графики изменения по высоте пластины в различные моменты времени: (1); (2); (3) Fig. 2. Charts of change by the height of the plate at various times: (1); (2); (3) 2. Влияние скорости изменения объема (скорости дилатации) тела в результате его деформирования приводит к перераспределению тепла. В частности, учет дилатационного члена в уравнении теплопроводности повышает температуру в срединной поверхности пластины (см. рис. 3, сплошная линия). При этом время полного прогрева конструкции ( ) с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линя) ее деформирования одинаково. Рис. 3. Изменения с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия) деформации упругой системы Fig. 3. Changes of including (solid line) and excluding (dashed line) deformation of the elastic system 3. Зависимость температурного поля от деформаций пластины наблюдается также при установившемся тепловом режиме ( ). В конструкции высотой м температурное поле по толщине распределяется по линейной зависимости (см. рис. 4, кривая 1), а в случае увеличения ее высоты до 0,3 м - по параболической (см. рис. 4, а, график 2). При исследовании несвязанной задачи оба графика будут прямолинейными. Рис. 4. Изменение по высоте пластины: м (1); м (2) Fig. 4. Plate height variation: m (1); m (2) 4. В период изменения температурного поля конструкция деформируется, что приводит к росту компонент вектора перемещений (см. рис. 5, 6, графики 1-3). Причем при установившемся режиме нейтральная поверхность ( ) располагается на ее нижней ( ) лицевой плоскости. Рис. 5. Графики изменения по высоте пластины в различные моменты времени: (1); (2); (3) Fig. 5. Charts of change by the height of the plate at various times: (1); (2); (3) 5. В случае достижения нестационарной температурной нагрузки максимального значения наблюдаются наибольшие механические напряжения (см. рис. 7, график 1). В дальнейшем при постоянном температурном воздействии в результате прогрева всей пластины перемещения увеличиваются, а напряжения падают (см. рис. 7, график 2). Рис. 6. Графики изменения по высоте пластины в различные моменты времени: (1); (2) Fig. 6. Charts of change by the height of the plate at various times: (1); (2) В заключение следует отметить, что представленная методика расчета позволяет также исследовать связанные задачи термоупругости при использовании граничных условий теплопроводности II и III родов. Рис. 7. Изменение по высоте пластины в различные моменты времени: (1); (2) Fig. 7. Change by the height of the plate at various times: (1); (2)

About the authors

D A Shlyakhin

Samara State Technical University

Zh M Dauletmuratova

Samara State Technical University

References

  1. Подстригач Я.С. Теплоупругость тел неоднородной структуры. - М.: Наука, 1984. - 368 с.
  2. Боли Б. Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964. - 520 c.
  3. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. - М.: Мир, 1970. - 256 с.
  4. Радаев Ю.Н., Таранова М.В. Волновые числа термоупругих волн в волноводе с теплообменом на боковой стенке // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - № 2 (23). - С. 53-61.
  5. Шашков А.Г., Бубнов В.А., Яновский С.Ю. Волновые явления теплопроводности. Системно-структурный подход. - Изд. 2-е, доп. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 296 с.
  6. Кудинов В.А., Карташев Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций. - М.: Высш. шк., 2005. - 430 с.
  7. Кудинов В.А., Клебнеев Р.М., Куклова Е.А. Получение точных аналитических решений нестационарных задач теплопроводности ортогональными методами // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. -2017. - Т. 21, № 1. - С. 197-206.
  8. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость. - Киев: Наук. думка, 1965. - 204 с.
  9. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел. - М.: Высш. шк., 1985. - 480 с.
  10. Филатов В.Н. Расчет на температурные воздействия гибких пологих оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер // Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1989. - С. 108-110.
  11. Аналитическое решение квазистатических задач термоупругости с переменными физическими свойствами среды / В.А. Кудинов [и др.] // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2014. - № 2(35). - С. 130-135.
  12. Кобзарь В.Н., Фильштинский Л.А. Плоская динамическая задача термоупругости // Прикл. мат. и мех. - 2008. - Т. 72, вып. 5. - С. 842-851.
  13. Sargsyan S.H. Mathematical model of micropolar thermo-elasticity of thin shells // Journal of Thermal Stresses. - 2013. - Vol. 36. - No. 11. - P. 1200-1216.
  14. Verma K.L. Thermoelastic waves in anisotropic plates using normal mode expansion method // World Academy of Science, Engineering and Technology. - 2008. - Vol. 37. - P. 573-580.
  15. Жорник А.И., Жорник В.А., Савочка П.А. Об одной задаче термоупругости для сплошного цилиндра // Изв. ЮФУ. Технические науки. - 2012 (темат. вып.). - С. 63-69.
  16. Жуков П.В. Расчет температурных полей и термических напряжений в толстостенном цилиндре при импульсном подводе теплоты // Вестн. Иван. гос. энергет. ун-та. - 2013. - Вып. 3. - С. 1-4.
  17. Макарова И.С. Решение несвязанной задачи термоупругости с краевыми условиями первого рода // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2012. - Т. 28, № 3. - С. 191-195.
  18. Harmatij H., Król M.M., Popovycz V.V. Quasi-static problem of thermoelasticity for thermosensitive infinite circular cylinder of complex heat exchange // Advances in Pure Mathematics. - 2013. - No. 3. - P. 430-437. DOI.org/10.4236/apm.2013.34061
  19. Zong-Yi Lee. Coupled problem of thermoelasticity for multilayered spheres with time-dependent boundary conditions // Journal of Marine Science and Technology. - 2004. - Vol. 12. - No. 2. - P. 93-101.
  20. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Краевая задача несимметричной деформации цилиндрического резервуара с жидкостью в температурном поле // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 2. - С. 60-77.
  21. Агаловян Л.А., Геворкян Р.С., Саркисян А.Г. Сравнительный асимптотический анализ несвязанной и связанной теорий термоупругости // Изв. РАН. МТТ. - 2014. - № 4. - С. 38-53.
  22. Сеницкий Ю.Э. К решению связанной динамической задачи термоупругости для бесконечного цилиндра и сферы // Прикл. мех. АН УССР. -1982. -Т. 18, № 6. -С. 34-41.
  23. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики // Изв. вузов. Математика. - 1991. - № 4. - С. 57-63.
  24. Лычев С.А. Связанная динамическая задача термоупругости для конечного цилиндра // Вестн. Самар. гос. ун-та. - 2003. - № 4 (30). - С. 112-124.
  25. Лычев С.А., Манжиров А.В., Юбер С.В. Замкнутые решения краевых задач связанной термоупругости // Изв. РАН. МТТ. - 2010. - № 4. - С. 138-154.
  26. Лычев С.А., Сеницкий Ю.Э. Несимметричные интегральные преобразования и их приложения к задачам вязкоупругости // Вестн. Самар. ун-та. Естественно-научная серия. - 2002 (спец. вып.) - С. 16-38.
  27. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н., Семенов Д.А. Связанные динамические задачи гиперболической термоупругости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т. 9, вып. 4(2). - С. 94-127.
  28. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н., Ревинский Р.А. Прохождение обобщенной GHIII-термоупругой волны через волновод с проницаемой для тепла стенкой // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Т. 11, вып. 1. - С 59-70.
  29. Шляхин Д.А., Даулетмуратова Ж.М. Нестационарная осесимметричная задача термоупругости для жесткозакрепленной круглой пластины // Инж. журн.: наука и инновации. - 2018. - Вып. 5 (77). DOI.1018698/2308-6033-2018-5
  30. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. - М.: Изд-во иностр. лит., 1955. - 668 с.
  31. Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 8. - С. 71-81.
  32. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. - 224 с.
  33. Шляхин Д.А. Уточненное решение динамической задачи электроупругости для биморфной пластины // Вестн. Киргиз.-рос. славян. ун-та. - 2016. - Т. 16, № 5. - С. 108-113.

Statistics

Views

Abstract - 101

PDF (Russian) - 96

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2019 Shlyakhin D.A., Dauletmuratova Z.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies