Full Text

В настоящее время в аэрокосмической промышленности широко используются конструкции, которые изготавливаются из слоистых композитных материалов, в том числе конструкции, в которых несущие слои разделены слоями заполнителя. Эти конструкции характеризуются высокой поперечной анизотропией и низкими значениями отношения модуля поперечного сдвига к модулю продольной упругости [1], где - кординатные оси по длине и толщине пластины соответственно. Это приводит к тому, что характер изменения продольных перемещений и продольных нормальных напряжений отличается от линейного, а поперечных касательных напряжений - от параболического закона [2]. В частности, показано, что при низких значениях имеет место значительная депланация поперечного сечения. Следствием этого является ярко выраженное отклонение закона изменения продольных нормальных напряжений от линейного закона с концентрацией напряжений у наружной и внутренней границы конструкции (stress-channelling эффект [3]). При этом закон изменения касательных напряжений так же значительно отличается от параболического закона. Учет этих особенностей при исследовании механики многослойных конструкций требует применения специализированных, достаточно сложных математических моделей. В литературных обзорах [4, 5] проанализировано более 500 работ, посвященных вопросам построения математических моделей многослойных конструкций. Модели, построенные на решении трехмерной задачи упругости, представлены [6-10]. Следует выделить эквивалентные однослойные модели [11-21], модели с независимыми слоями [22-26]. Применяются также комбинированные теории [27-29]. Наименьшей математической cложностью обладают модели, построенные в рамках теории деформаций сдвига первого порядка. В частности, при построении математической модели многослойных конструкций с сотовым заполнителем механика несущих обшивок, вследствие их малой толщины в сравнении с длиной или радиусом кривизны, описывается в рамках именно этой теории [30, 31]. Однако в литературе четко не обозначены рамки применения данной теории. В то же время в конструкции авиационных двигателей, в частности звукопоглощающих конструкциях, отношение выходит за рамки, указанные в [1]. Задача данной работы - определить границы, при которых необходимо учитывать нелинейность изменения продольных перемещений по толщине пластины при построении ее математической модели из композитных материалов с механическими характеристиками , находящимися в пределах 0,1-0,4, и коэффициентом Пуассона . Введение В настоящей работе изучается степень нелинейности функций перемещения деформируемого тела в зависимости от его упругих свойств и геометрической формы. Для определенности будет рассмотрена двумерная задача деформации прямоугольной пластины, когда в терминах безразмерных величин удается получить достаточно полное и наглядное решение. Аналогичная трехмерная задача более громоздка, но принципиального отличия не имеет. Рассмотрим деформацию прямоугольной пластины длиной и толщиной с коэффициентами упругости при условии жестко закрепленных боковых граней под воздействием равномерной нагрузки F, приложенной к верхней грани. Обозначим через и функции горизонтального и вертикального перемещения. Степень нелинейности функций перемещения и в зависимости от переменной y будет изучаться на вертикальном отрезке при , когда эта степень выражена наиболее явно. Кроме того, для изучения степени нелинейности должным образом будет использоваться только нормированная функция горизонтального перемещения , поскольку для функции вертикального перемещения эта степень оказывается существенно меньше. Степень нелинейности функции будет изучаться в терминах безразмерных величин , и коэффициента Пуассона . При этом нагрузка также оказывается безразмерной величиной в результате должной нормировки функции . Формально степень нелинейности нормированной функции определяется через ее максимальное и среднее отклонения от линейной среднеквадратической аппроксимации. Будет показано, что степень нелинейности функции практически не зависит от коэффициента Пуассона . При этом область изменения параметров естественным образом разбивается на три подобласти: подобласть существенной линейности, подобласть существенной нелинейности и промежуточную подобласть. За критерий линейности и нелинейности взято рассогласование по максимальному и среднему значениям между функцией и ее линейной среднеквадратической аппроксимацией. Величина рассогласования выбирается из соображений точности проведения инженерных расчетов, равной 5 %. 1. Построение нормированной функции горизонтальных перемещений Изучение зависимости степени нелинейности функций перемещения от упругих свойств и геометрической формы деформируемой пластины будет основываться на методе конечных элементов. В частности, после соответствующей дискретизации возможность решения задачи в пространстве безразмерных параметров основывается на представлении потенциальной энергии пластины в виде квадратичной формы от перемещений с коэффициентами от переменных Пропуская простые, но достаточно громоздкие вычисления методом конечных элементов, поясним основные действия, приводящие к желаемому представлению потенциальной энергии. Зададим целое n и разобьем пластину размером А×В на равновеликих прямоугольников с вершинами , где и . Далее разобьем каждый такой прямоугольник (рис. 1) диагональю на два треугольника с площадью . Рис. 1. Конечный элемент Fig. 1. The finite element В методе конечных элементов в пределах рассматриваемых треугольников функции перемещения и принимаются линейными: . Поэтому по формулам Коши деформации выражаются в виде . Обозначим через перемещения узловых точек . Выражая через перемещения вершин нижнего треугольника, получаем деформации в виде Далее, выражая через перемещения , , вершин верхнего треугольника, получаем деформации в виде Используя выражение для потенциальной энергии , где потенциальную энергию прямоугольника с вершинами , , , можно представить в виде , где через обозначена некоторая квадратичная форма от переменных с коэффициентами, являющимися многочленами от Наконец, осуществляя суммирование по получаем потенциальную энергию деформированной пластины в виде , где через обозначена квадратичная форма от переменных , где , с коэффициентами, являющимися многочленами от Напомним, что прогиб прямоугольной пластины изучается под действием равномерно распределенной нагрузки , приложенной к верхней грани, при условиях жесткого закрепления боковых граней. В рамках решения дискретной задачи условия закрепления боковых граней можно записать следующим образом: , Работа внешних сил записывается в виде . Отметим, что при решении задачи с неравномерной нагрузкой вертикальные перемещения в линейной форме идут с весами. Из вариационного принципа следует, что в рамках сделанных предположений перемещения , где , определяются из решения задачи минимизации , где . Фактическое решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений относительно переменных , где . Предполагая кратным 4, зададим , При изучении степени нелинейности будут использоваться нормированные горизонтальные перемещения . В частности, из соображений линейности следует, что значения нормированных перемещений не зависят от параметра λ. 2. Разбиение области безразмерных параметров Определим величины для заданной тройки безразмерных параметров Для этого вычислим коэффициенты и из соображений линейной среднеквадратической аппроксимации и зададим величины максимального и среднего рассогласований и . Полезно отметить, что . Зададим и разобьем область изменения безразмерных параметров на три подобласти: подобласть линейности , подобласть нелинейности и промежуточную подобласть . Получим предлагаемое разбиение на три подобласти для критерия нелинейности с точностью до 5 % в пределах при значении , достаточном для получения адекватных вычислительных результатов. Отметим, что для композитных материалов, применяемых в авиадвигателестроении, коэффициент Пуассона изменяется в пределах Важно заметить, что при изменении коэффициента Пуассона в указанных границах величины и остаются практически неизменными. Так, при изменении коэффициента Пуассона в пределах вариация величин не превышает 0,0074, что на порядок меньше заданной точности, равной 5 %. В этой связи предлагаемое разбиение на подобласти будет осуществлено при значении коэффициента Пуассона В частности, это позволит сделать изложение более наглядным. Зададим шаг измерения параметров и осуществим вычисление величин и в узловых точках , Пространственное изображение величин и показано на рис. 2. Рис. 2. Величины и Fig. 2. Quantities and Разбиения области изменения безразмерных параметров и на три подобласти по критерию показано на рис. 3. На рис. 3 левый уровень соответствует стеклопластику Hexply 914/33%/644, а правый уровень соответствует стали. Для стеклопластика функции нормированных горизонтальных перемещений при (для промежуточной подобласти) и (для подобласти нелинейности) вместе с линейными среднеквадратическими аппроксимациями показаны на рис. 4, а и б соответственно. Таким образом, для стали первые две точки попадают в область линейности, третья точка - в промежуточную область. Для стеклопластика первая точка лежит в области линейности, вторая - в промежуточной области, третья - в области нелинейности. Рис. 3. Подобласти линейности и нелинейности Fig. 3. The subdivision of linearity and nonlinearity into subdomains A а б Рис. 4. Функции горизонтальных перемещений стеклопластика Hexply 914/33%/644: а - ; б - Fig. 4. Functions of horizontal displacements of fiberglass Hexply 914/33%/644: а - ; b - Для композитных пластин нелинейность продольных перемещений необходимо учитывать, когда длина пластины на порядок больше ее толщины, тогда как для сталей нелинейность характерна для относительно толстых пластин. Таким образом, результаты данной работы позволяют корректно применять гипотезу о линейном распределении продольных перемещений по толщине пластины из композиционного материала, что значительно упрощает построение ее математической модели деформации.

About the authors

N. V Osadchy

PJSC UEC- Saturn

V. A Malyshev

PJSC UEC- Saturn

V. T Shepel

PJSC UEC- Saturn

References

Statistics

Views

Abstract - 266

PDF (Russian) - 207