# Abstract

Shell structures are often used in different fields and their studies are important for many applications. To eliminate the stress concentration near the contour, especially at the corner points of the shell, the border of the structure has a fixed movable hinge support. This paper considers double-curved shallow shells, square in a plan, made from orthotropic materials with their border having a fixed movable hinge support. The mathematical model is based on the hypotheses of the theory of Tymoshenko - Reisner shells, which takes into account the transverse shifts and represents the mixed-form equations. In addition, the model takes into account the geometric nonlinearity. To solve the system of differential equations we used the method of Bubnov - Galerkin, that makes it possible to reduce the problem to the solution of a system of nonlinear algebraic equations. The convergence of the method is also shown for the increasing number of terms of approximation. The resulting system is nonlinear and solved by the Newton method. The developed algorithm is implemented in Maple 2017. The proposed algorithm is verified by comparing the calculation results of the test problem with the result obtained by other authors. The combination of the load-deflection curve showed a good consistency of the data. The stability analysis of three variants of shallow shell structures with a double curvature is carried out; each of them is made of four orthotropic materials. The outer uniformly distributed transverse load acts on the shell, the border fixing is hinged-movable. For all the structures studied, the critical buckling load, the maximum value of the deflection, corresponding to this load, and load-deflection curves are given. Conclusions are drawn about the stress-strain state of the shells under consideration.

# Full Text

Введение Оболочечные конструкции широко используются в разных областях техники, и их исследование важно для многих прикладных задач: например, подобные конструкции применяются в строительстве и машиностроении [1, 2]. Оболочечные конструкции подвергаются воздействию различных нагрузок [2-14]. Так, в работах [3-6] рассматривается влияние температуры. В работах [7, 8] проводится анализ устойчивости конструкций под воздействием осевого сжатия, причем в работе [7] также проводятся расчеты устойчивости под воздействием точечной нагрузки. В [2, 9-11] рассматривается воздействие статической поперечной равномерно-распределенной нагрузки. В работах [12-14] исследуется процесс деформирования конструкций, находящихся под воздействием динамической нагрузки, причем в [13] также исследуется состояние конструкции под воздействием осевого сжатия. Конструкции разной геометрии деформируются по-разному, поэтому тип рассматриваемых конструкций также имеет большое значение для исследования их напряженно-деформированного состояния. В большинстве рассмотренных работ [3, 4, 7, 12, 16] исследуются цилиндрические оболочки, в [13, 14] - конические, в [16] исследуются тороидальные, в [2, 17, 19] - пологие двоякой кривизны, в [20] - прямоугольные пластины. В работе [10] приводится общая модель деформирования для оболочек канонической формы (тороидальные, цилиндрические, конические, пологие двоякой кривизны). Исследование устойчивости таких конструкций является актуальной задачей. Также актуален вопрос облегчения подобных конструкций, для чего применяются современные композиционные материалы, такие как стеклопластики, боропластики, органопластики, углепластики и текстолиты, а также полимеры [17, 18, 21, 22]. Их использование позволяет существенно снизить вес конструкции. Приведенные материалы обладают свойством ортотропии, т.е. его физические свойства различны по взаимно перпендикулярным направлениям. Благодаря этому они превосходят традиционные материалы и сплавы по своим механическим и физическим свойствам. Так, композиционные материалы обладают большой удельной прочностью [19] и стойкостью к воздействиям высоких температур и вибрационным нагрузкам [17]. Применение материалов более сложной структуры приводит к необходимости решения задач уточнения и усовершенствования математической модели их деформирования и выбору устойчивого и точного алгоритма ее исследования [23]. Для исследования оболочечных конструкций применяются различные модели. Так, могут быть использованы математические модели в форме функционала полной потенциальной энергии деформации [2, 23]. Также, что особенно удобно в случае шарнирно-подвижно опертых по контуру конструкций, используются уравнения в смешанной форме [10, 12, 24-28]. Для решения задач устойчивости могут использоваться различные численные методы, такие как метод конечных элементов [2, 20, 29] и метод Ритца [23], а также метод Бубнова-Галеркина [12-15]. Для исключения концентрации напряжений вблизи контура, особенно в угловых точках оболочки, используется шарнирно-подвижное закрепление контура конструкции [30]. Подобное закрепление уменьшает вероятность потери прочности конструкции, что особенно важно, если она изготовлена из ортотропного материала[1]. 1. Математическая модель деформирования пологой оболочки Будем рассматривать пологие оболочки двоякой кривизны, квадратные в плане. Срединную поверхность оболочки толщиной примем за координатную. Оси ортогональной системы координат направлены по линиям главных кривизн оболочки. Ось ортогональна срединной поверхности и направлена в сторону вогнутости. Параметры Ляме и параметры кривизны пологой оболочки двоякой кривизны соответственно равны Оболочка по контуру закреплена шарнирно-подвижно, находится под действием равномерно-распределенной поперечной нагрузки (рис. 1). Рис. 1. Схематичное изображение пологой оболочки Fig. 1. Schematic representation of a shallow shell В качестве математической модели деформирования оболочечной конструкции воспользуемся уравнениями в смешанной форме, полученными в работе [10] для оболочек общего вида (пологих двоякой кривизны, цилиндрических, конических, тороидальных и др.), а также позволяющими учесть наличие подкрепления ребрами жесткости. После некоторых упрощений для гладких пологих оболочек двоякой кривизны получим (1) где - модули упругости и коэффициенты Пуассона материала; - модули сдвига в плоскостях соответственно; [10]; - перемещение точки срединной поверхности оболочки вдоль оси ; - функции изменения кривизн, - функция изменения кручения, (2) Здесь функции - углы поворота отрезка нормали к срединной поверхности в сечениях соответственно; В соотношениях (1) - обозначения усилий через функцию напряжений в срединной поверхности оболочки : (3) Здесь также используется упрощенная форма функций изменения кривизн и кручения, соответствующая модели Кирхгофа-Лява [10]: (4) Описанные выше уравнения представляют собой систему уравнений равновесия в смешанной форме для оболочек из ортотропного материала с учетом геометрической нелинейности и поперечных сдвигов. Неизвестными функциями здесь являются . 2. Алгоритм решения уравнений математической модели Для решения полученных уравнений относительно неизвестных функций применим метод Бубнова-Галеркина. Тогда неизвестные функции будут иметь вид (5) Здесь - неизвестные числовые параметры; - некоторые аппроксимирующие функции. Аппроксимирующие функции выберем исходя из краевых условий при шарнирно-подвижном закреплении контура оболочки: при x = 0, x = a (6) при (7) Тогда в качестве аппроксимирующих можно принять следующие тригонометрические функции: (8) В соответствии с методом Бубнова-Галеркина подставляем разложения искомых функций (5), используя аппроксимирующие функции (8), в систему уравнений в смешанной форме (1). Обозначим первое уравнение второе - , третье - , четвертое - Затем строим систему из уравнений относительно неизвестных числовых параметров : (9) Система (9) нелинейная в силу нелинейности самой рассматриваемой модели. Для ее решения применим метод Ньютона. В соответствии с методом Ньютона составим матрицу Якоби данной системы (10) Наконец, выбирается начальное приближение и решается система относительно вектора поправок : (11) Отсюда находятся значения на следующем шаге: (12) Приведенный итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие (13) Для улучшения скорости сходимости метода рекомендуется использовать в качестве начального приближения на очередном шаге значения, полученные на шаге предыдущем. Полученные коэффициенты подставляются в разложение (5), таким образом находятся аппроксимации неизвестных функций при заданной нагрузке . При исследовании устойчивости оболочек решается геометрически нелинейная задача и строится график зависимости «нагрузка-прогиб» в некоторой точке оболочки, например в ее центре. Анализируются экстремумы этого графика, и таким образом, находятся верхние и нижние критические нагрузки. При этих нагрузках «хлопком» происходит переход на новое равновесное состояние. По сути дела для нахождения критических нагрузок применяется критерий Ляпунова, когда малому изменению входного параметра (нагрузки) соответствует существенное изменение выходного параметра (прогиба). 3. Верификация модели Прежде чем приступить к исследованию устойчивости оболочечных конструкций, необходимо провести верификацию математической модели для проверки ее адекватности. Сравнение проводится с результатами, полученными в [4] и [7]. В рассмотренных примерах исследовалась цилиндрическая оболочка, выполненная из алюминия, а также шарнирно-подвижно закрепленная по контуру. Цилиндрическую оболочку можно рассматривать как частный случай пологой оболочки двоякой кривизны, но с нулевым коэффициентом кривизны для одной из сторон: или , т.е. один из радиусов равняется бесконечности. Параметры конструкции геометрические: физические: Исследование устойчивости приведенной конструкции проводилось в среде аналитических вычислений Maple с удержанием членов разложения в методе Бубнова-Галеркина (5). На рис. 2 приводятся графики зависимости «нагрузка-безразмерный прогиб в центре» для данной цилиндрической панели, полученные в [4] и [7], а также по предложенной в данной работе методике. Рис. 2. Сравнительный анализ расчета конструкции Fig. 2. Comparative analysis of the structure calculation Как видно из представленного графика, все три кривые достаточно близко лежат друг к другу. Таким образом, можно сделать вывод об адекватности разработанной модели и применимости к ней приведенного алгоритма. 4. Расчетные параметры Рассматривались конструкции трех разных размеров (табл. 1) из четырех разных материалов (табл. 2). Таким образом, всего было исследовано 12 конструкций (табл. 3) Таблица 1 Варианты геометрических характеристик Table 1 Variants of geometric characteristics Характеристика Вариант геометрии 1 2 3 h, м 0,09 0,09 0,09 а = b, м 5,4 10,8 18 R1 = R2, м 20,25 40,05 45,27 Таблица 2 Варианты физических характеристик материала Table 2 Variants of the physical characteristics of the material Характеристика Углепластик M60J/Epoxy [8] Графит AS/3501/Epoxy [7] E-Glass/Epoxy [7] Стеклопластик Т10/UPE22-27/ Epoxy [8] Е1, МПа 330000 138000 60700 29400 Е2, МПа 59000 8960 24800 17800 G12 = G13 = G23, МПа 3900 7100 12000 3010 µ12 0,320 0,300 0,230 0,123 µ21 0,057 0,019 0,094 0,074 Показатель анизотропии 5,59 15,4 2,44 1,65 Таблица 3 Варианты рассматриваемых конструкций Table 3 Variants of the constructions under consideration Вариант конструкции Материал Вариант геометрических характеристик 1 Углепластик M60J/Epoxy 1 2 Графит AS/3501/Epoxy 1 3 E-Glass/Epoxy 1 4 Стеклопластик Т10/UPE22-27/Epoxy 1 5 Углепластик M60J/Epoxy 2 6 Графит AS/3501/Epoxy 2 7 E-Glass/Epoxy 2 8 Стеклопластик Т10/UPE22-27/Epoxy 2 9 Углепластик M60J/Epoxy 3 10 Графит AS/3501/Epoxy 3 11 E-Glass/Epoxy 3 12 Стеклопластик Т10/UPE22-27/Epoxy 3 Для определения оптимального числа членов разложения проведем сравнение получаемых данных при Будем рассматривать конструкции 9, 10, 11 и 12, т.е. вариант геометрических характеристик 3, выполненный из всех четырех приведенных материалов. Результаты для варианта конструкции 9 приведены на рис. 3, для варианта 10 - на рис. 4, для варианта 11 - на рис. 5, для варианта 12 - на рис. 6. Обозначение соответствует прогибу в центре конструкции при членах разложения, а - наибольшему прогибу оболочки. Для оболочки варианта 10 также проведем сравнение значений нормальных напряжений , и интенсивности напряжений . Анализ значений будем проводить в центре конструкции, так как на краях (в том числе в угловых точках) значения всех компонентов напряжений будут равны нулю. Полученные результаты приведены на рис. 7-9 и в табл. 4. Рис. 3. Сходимость результатов для варианта конструкции 9 Fig. 3. Convergence of results for the 9th variant of the construction Рис. 4. Сходимость результатов для варианта конструкции 10 Fig. 4. Convergence of results for the 10th variant of the construction Рис. 5. Сходимость результатов для варианта конструкции 11 Fig. 5. Convergence of results for the 11th variant of the construction Рис. 6. Сходимость результатов для варианта конструкции 12 Fig. 6. Convergence of results for the 12th variant of the construction Рис. 7. Сходимость напряжений для варианта конструкции 10 Fig. 7. Convergence of strains for the 10th variant of the construction Рис. 8. Сходимость напряжений для варианта конструкции 10 Fig. 8. Convergence of strains for the 10th variant of the construction Рис. 9. Сходимость интенсивности напряжений для варианта конструкции 10 Fig. 9. Convergence of the intensity strain for the 10th variant of the construction Таблица 4 Значения напряжений в центре оболочки варианта 10 в момент потери устойчивости Table 4 The strain values corresponding to the critical buckling load in the center of the 10th variant of the construction N σх, МПа σу, МПа σi, МПа 4 99,38 -20,38 110,98 9 -28,55 -27,98 28,27 16 -0,48 -23,32 23,08 25 -13,01 -26,03 22,55 Полученные значения напряжений для оболочки варианта 10 показывают хорошую сходимость для σу и σi, для σх сходимость есть, но выражена слабее. Как можно заметить из представленных в данном разделе графиков и таблиц, расчеты на устойчивость при N = 16 и N = 25 дают близкий результат вне зависимости от материала, из которого изготовлена конструкция. Таким образом, все дальнейшие расчеты будут проводиться при удержании N = 16 членах разложения в методе Бубнова-Галеркина (5). 5. Исследование устойчивости Проводится расчет устойчивости 12 конструкций, приведенных в табл. 3, с геометрическими характеристиками, указанными в табл. 1, и физическими характеристиками, указанными в табл. 2. На рис. 10 приведены графики «нагрузка-прогиб» для варианта геометрических параметров 1 для всех четырех материалов. Индекс соответствует наибольшему прогибу конструкции из материала , а индекс - прогибу в центре. Для рассматриваемой конструкции наибольший прогиб равен прогибу в центре оболочки: . Рис. 10. График зависимости «нагрузка-прогиб» для варианта геометрических параметров 1 Fig. 10. Graph of the "load-deflection" dependence for the 1st variant of geometric parameters На рис. 11 приведены графики «нагрузка-прогиб» для варианта геометрических параметров 2 для всех четырех материалов. Рис. 11. График зависимости «нагрузка-прогиб» для варианта геометрических параметров 2 Fig. 11. Graph of the "load-deflection" dependence for the 2nd variant of geometric parameters На рис. 12 приведены графики «нагрузка-прогиб» для варианта геометрических параметров 3 для всех четырех материалов. Рис. 12. График зависимости «нагрузка-прогиб» для варианта геометрических параметров 3 Fig. 12. Graph of the "load-deflection" dependence for the 3rd variant of geometric parameters Анализируя полученные результаты, можно заметить, что для конструкций с вариантом геометрических параметров 1 прогиб в центре совпадает с максимальным для всех четырех материалов. Это связано с отношением длины сторон оболочки к ее толщине. Для остальных двух вариантов геометрических параметров при той же толщине размеры в плане существенно больше, чем у первого варианта. Отсюда возникает различие между значениями прогиба в центре конструкции и ее максимальным прогибом, особенно вблизи критической нагрузки потери устойчивости. Для вариантов конструкций 5-8 (вариант геометрических параметров 2) это характерно только для стекловолокна E-Glass/Epoxy, а для вариантов конструкций 9-12 (вариант геометрических параметров 3) - уже для всех исследуемых материалов. Все значения критических нагрузок , при которых оболочки теряют устойчивость, сведены в табл. 5, а значение наибольшего прогиба, соответствующего этой нагрузке, - в табл. 6. Таблица 5 Значения критических нагрузок потери устойчивости qkr Table 5 The values of the critical loads of buckling qkr Вариант геометрии qkr, Мпа Углепластик M60J/Epoxy Графит AS/3501/Epoxy E-Glass/Epoxy Стеклопластик Т10/UPE22-27/ Epoxy 1 0,575 0,205 0,265 0,105 2 0,081 0,059 0,120 0,036 3 0,098 0,067 0,070 0,030 Таблица 6 Значения наибольшего прогиба , соответствующего потере устойчивости Table 6 The values of the maximum deflection corresponding to the critical buckling load Вариант геометрии , м Углепластик M60J/Epoxy Графит AS/3501/Epoxy E-Glass/Epoxy Стеклопластик Т10/UPE22-27/ Epoxy 1 0,300 0,130 0,115 0,135 2 0,261 0,155 0,115 0,159 3 0,328 0,143 0,091 0,109 Рис. 13. Критические нагрузки потери устойчивости в зависимости от выбранного материала Fig. 13. The critical buckling loads, depending on a chosen material Рис. 14. Значения максимального прогиба, соответствующего потере устойчивости, в зависимости от выбранного материала Fig. 14. The values of the maximum deflection corresponding to the critical buckling load, depending on a selected material Для лучшего восприятия данных в табл. 5, 6 те же самые значения приведены на рис. 13 и 14 соответственно. На следующих графиках индекс обозначает максимальный прогиб оболочки из материала i, соответствующий потере устойчивости, то есть при нагрузке . Как видно из представленных графиков и таблиц, наибольшее значение критической нагрузки потери устойчивости из рассмотренных материалов дают углепластик M60J/Epoxy и стекловолокно E-Glass/Epoxy. При этом оболочки, выполненные из стекловолокна E-Glass/Epoxy, к моменту достижения критической нагрузки потери устойчивости имеют наименьший максимальный прогиб среди всех четырех рассматриваемых материалов, в то время как конструкции из углепластика - наибольший. Таким образом, можно говорить о том, что наилучшим выбором среди четырех рассмотренных материалов будет E-Glass/Epoxy в силу высокой устойчивости и большой несущей способности выполненных из него конструкций. Однако заметим, что углепластик M60J/Epoxy в данном случае был выбран однонаправленный, в то время как стеклопластик имеет волокна, уложенные в обоих направлениях. Укладка волокон углепластика в обоих направлениях может сделать его наиболее оптимальным материалом. Заключение В ходе исследования рассматривались пологие оболочки двоякой кривизны, прямоугольные в плане. Оболочки закреплены по контуру шарнирно-подвижно и выполнены из ортотропного материала. По результатам исследования были получены следующие выводы и результаты: 1. Была проведена верификация математической модели деформирования оболочечных конструкций, предложенная в [10], для данного вида конструкций. Модель учитывает ортотропию материала, геометрическую нелинейность и поперечные сдвиги, что дает наибольшую точность расчетов. 2. Был разработан алгоритм расчета, основанный на методе Бубнова-Галеркина для решения систем дифференциальных уравнений и методе Ньютона для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. 3. В среде аналитических вычислений Maple было проведено исследование устойчивости 12 конструкций, имеющих три разных набора геометрических характеристик и выполненных из четырех различных материалов. Получены значения критических нагрузок потери устойчивости и графики зависимостей «нагрузка-прогиб».

### I V Kamenev

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

### A A Semenov

Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering

# References

1. Кривошапко С.Н. О возможностях оболочечных сооружений в современной архитектуре и строительстве // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2013. - №1. - С. 51-56.
2. Соловей Н.А., Кривенко О.П., Малыгина О.А. Конечно-элементные модели исследования нелинейного деформирования оболочек ступенчато-переменной толщины с отверстиями, каналами и выемками // Инженерно-строительный жур. - 2015. - № 1(53). - С. 56-69. doi: 10.5862/MCE.53.6
3. Спасская М.В., Трещев А.А. Термоупругое деформирование цилиндрической оболочки из анизотропного разносопротивляющегося материала // Вестн. Чуваш. гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. - 2015. - № 1. - С. 65-74.
4. Duc N.D., Tung H.V. Nonlinear response of pressure-loaded functionally graded cylindrical panels with temperature effects // Composite Structures. - 2010. - Vol. 92 - P. 1664-1672. doi: 10.1016/j.compstruct.2009.11.033
5. Гумерова Х.С. Влияние деформации поперечного сдвига на устойчивость ортотропной термочувствительной цилиндрической оболочки // Вестн. Казан. технол. ун-та. - 2017. - Т. 20, № 7. - С. 91-92.
6. Kukudzhanov S. The stability of orthotropic shells of revolution, close to cylindrical ones, with an elastic filler, under the action of torsion, normal pressure and temperature // Transactions of A. Razmadze Mathematical Institute. - 2017. doi: 10.1016/j.trmi.2017.10.005
7. Zhao X., Liew K.M. Geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells // International Journal of Mechanical Sciences. - 2009. - Vol. 51 - P. 131-144. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2008.12.004
8. Rotter J.M., Sadowski A.J. Cylindrical shell bending theory for orthotropic shells under general axisymmetric pressure distributions // Engineering Structures. - 2012. - Vol. 24 - P. 258-265. doi: 10.1016/j.engstruct.2012.04.024
9. Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Расчет ортотропных конструкций вариационным методом на основе трехмерных функций с конечным носителем // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 2. - С. 195-207. doi: 10.15593/perm.mech/2017.2.11
10. Karpov V.V., Semenov A.A. Mixed-form equations for stiffened orthotropic shells of arbitrary canonical shape with static load // Journal of Mechanics. - 2017. doi: 10.1017/jmech.2017.82
11. Bich D.H., Nam V.H., Phuong N.T. Nonlinear postbuckling of eccentrically stiffened functionally graded plates and shallow shells // Vietnam Journal of Mechanics. - 2011. - Vol. 33 - P. 131-147. doi: 10.15625/0866-7136/33/3/207
12. Okhovat R., Boström A. Dynamic equations for an orthotropic cylindrical shell // Composite Structures. - 2018. - Vol. 184 - P. 1197-1203. doi: 10.1016/j.compstruct.2017.10.034
13. Sofiyev A.H., Pancar E.B. The effect of heterogeneity on the parametric instability of axially excited orthotropic conical shells // Thin-Walled Structures. - 2017. - Vol. 115 - P. 240-246. doi: 10.1016/j.tws.2017.02.023
14. Sofiyev A.H. The effect of elastic foundations on the nonlinear buckling behaviour of axially compressed heterogeneous orthotropic truncated conical shells // Thin-Walled Structures. - 2014. - Vol. 80 - P. 178-191. doi: 10.1016/j.tws.2014.03.016
15. Nonlinear dynamic stability of the orthotropic functionally graded cylindrical shell surrounded by Winkler-Pasternak elastic foundation subjected to a linearly increasing load / K. Gao, W. Gao, D. Wu, S. Song // Journal of Sound and Vibration. - 2017. - Vol. 415 - P. 147-168. doi: 10.1016/j.jsv.2017.11.038
16. Kaplunov J., Nobili A. A robust approach for analysing dispersion of elastic waves in an orthotropic cylindrical shell // Journal of Sound and Vibration. - 2017. - Vol. 401. - P. 23-35. doi: 10.1016/j.jsv.2017.04.028
17. Jiang W., Redekop D. Static and vibration analysis of orthotropic toroidal shells of variable thickness by differential quadrature // Thin-Walled Structures. - 2003. - Vol. 41. - P. 461-478. doi: 10.1016/S0263-8231(02)00116-7
18. Ungbhakorn V., Singhatanadgid P. A Scaling Law for Vibration Response of Laminated Doubly Curved Shallow Shells by Energy Approach // Structural Engineering and Mechanics. - 2002. - Vol. 14. - P. 345-364. doi: 10.1080/15376490902970430
19. Stress and strain recovery for functionally graded free-form and doubly-curved sandwich shells using higher-order equivalent single layer theory / F. Tornabene, N. Fantuzzi, E. Viola, R.C. Batra // Composite Structures. - 2015. - Vol. 119. - Iss. 1. - P. 67-89. doi: 10.1016/j.compstruct.2014.08.005
20. Paccola R.R., Sampaio M.S.M., Coda H.B. Continuous stress distribution following transverse direction for FEM orthotropic laminated plates and shells // Applied Mathematical Modelling. - 2016. - Vol. 40. - P. 7382-7409. doi: 10.1016/j.apm.2016.03.005
21. Тышкевич В.Н. Выбор критерия прочности для труб из армированных пластиков // Изв. ВолгГТУ. - 2011. - № 5 (78). - С. 76-79.
22. Смердов А.А., Буянов И.А., Чуднов И.В. Анализ оптимальных сочетаний требований к разрабатываемым углепластикам для крупногабаритных ракетно-космических конструкций // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 2012. - № 8. - С. 70-77.
23. Karpov V.V., Maslennikov A.M. Methods for Solving Non-Linear Tasks for Calculating Construction Structures // World Applied Sciences Journal. - (Problems of Architecture and Construction). - 2013. - Vol. 23. - P. 178-183. DOI: 10.5829/ idosi.wasj.2013.23.pac.90035. - URL: http://idosi.org/wasj/wasj 23%28pac%2913/35.pdf (accessed 12 Fedruary 2018).
24. Kuo S.-R., Yau J.D. Buckling Equations of Orthotropic Thin Plates // Journal of Mechanics. - 2012. - Vol. 28. - P. 555-567. doi: 10.1017/jmech.2012.64
25. Krysko V.A., Awrejcewicz J., Komarov S.A. Nonlinear deformations of spherical panels subjected to transversal load action // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2005. - Vol. 194. - No. 27-29. - P. 3108-3126. doi: 10.1016/j.cma.2004.08.005.
26. Analytical Method of Determining Folded Depressed Shells Free Oscillation Frequency / L.N. Kondratyeva, Yu.L. Routman, A.M. Maslennikov, O.V. Golykh // Advanced Materials Research. - 2014. - Vol. 1020. - P. 291-296. doi: 10.4028/www.scientific.net/AMR.1020.291
27. Zerin Z. The effect of non-homogeneity on the stability of laminated orthotropic conical shells subjected to hydrostatic pressure // Structural Engineering and Mechanics. - 2012. - Vol. 43. - No. 1. - P. 89-103. doi: 10.12989/sem.2012.43.1.089
28. Karpov V. Variational method for derivation of equations of mixed type for shells of a general type // Architecture and Engineering. - 2016. - Vol. 1. - No. 2. - P. 43-48. doi: 10.23968/2500-0055-2016-1-2-43-48
29. Korobko V.I., Savin S.Yu., Ivlev I.A. Stability analysis of orthotropic plates by the form factor interpolation method // Procedia Engineering. - 2017. - Vol. 206. - P. 924-928. doi: 10.1016/j.proeng.2017.10.573
30. Chupin V.V., Chernogubov D.E. Stability of flexible spherical panels of variable thickness under various fixing conditions // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. - 2015. - No. 5. - P. 45-57. doi: 10.17804/2410-9908.2015.5.045-057

# Statistics

#### Views

Abstract - 79

PDF (Russian) - 66

#### PlumX

Copyright (c) 2018 Kamenev I.V., Semenov A.A.