Full Text

Введение Несмотря на то, что изучение полей напряжений у вершины трещины в идеально пластическом материале восходит к работам Прандтля [1] и является классической проблемой механики упругопластического разрушения, вопросы определения напряженно-деформированного состояния в жестко идеально пластическом и упругом идеально пластическом материале продолжают вызывать интерес в научном сообществе, особенно в связи с необходимостью математического описания полей напряжений у вершины трещины в условиях смешанного нагружения в материалах с нелинейными определяющими уравнениями [2-14]. Результаты исследований [2-14], полученные в самое последнее время и касающиеся более точного и аккуратного описания напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины в упругопластических материалах, опираются на теоретические, экспериментальные и численные решения, ставшие уже классическими результатами нелинейной механики разрушения [15-23]. Например, в статье [2], где исследуется возможность распространения имеющихся асимптотических решений двумерных задач для идеально пластического материала на трехмерный случай, дано обобщение решений плоских задач механики трещин для упругопластического материала на случай пространственных проблем. В [3] авторы отмечают, что многочисленные исследования показали существенное значение стесненной деформации в вершине трещины при изучении распространения трещины в рамках механики упругопластического разрушения и что влияние стесненности деформации (влияние геометрии нагружаемого образца и условий нагружения) подробно изучено в основном для задач чистого отрыва. Очень мало работ посвящено рассмотрению влияния стесненности деформации в вершине трещины на разрушение типа II или смешанного типа I/II в металлических материалах. Поэтому в [3] проведено численное исследование параметра стесненности деформации при сдвиговом нагружении для образца в условиях чистого сдвига. С помощью метода конечных элементов проведено моделирование образца, находящегося в условиях чистого сдвига, а также изучен диапазон допустимых значений параметра стесненности сдвиговой деформации. В [4] получены оценки областей пластического течения вблизи краевых надрезов в условиях смешанного нагружения, полученные с помощью метода конечных элементов. Продемонстрирована геометрия пластических зон у вершины надрезов вдоль фронта трещины по толщине образца в трехмерной постановке упругопластической задачи. В [5] в качестве основного метода исследования полей напряжений и перемещений у вершины трещины используются методы асимптотического анализа и синтеза, являющиеся классическими, стандартными методами анализа напряженно-деформированного состояния у вершины трещины, активно применяющимися в настоящее время для материалов с нелинейными определяющими уравнениями [7, 24-29]. В [6] представлен анализ процесса гибки металлического листа с возможностью образования трещин на поверхности. Для прогнозирования разрушения получено решение задачи гибки листа в условиях плоского деформированного состояния методом графического построения линий скольжения в идеально пластическом материале. В [7] приводится математическая постановка задачи о центральной трещине в пластине из упрочняющегося упругопластического материала в условиях плоского деформированного состояния. Получено численно-аналитическое решение задачи с использованием методов асимптотического анализа. В работе предлагается методика определения коэффициента нелинейности, характеризующего нелинейность диаграммы деформирования упругопластического материала. В [8] дана экспериментальная оценка области пластического течения в условиях усталостного нагружения. Авторы [8] с помощью метода корреляции цифровых изображений и его комбинации с конечно-элементным анализом получили конфигурации области пластического течения у вершины усталостной трещины для различных режимов: от маломасштабного пластического течения до развитых пластических деформаций. Работа [9] также посвящена усталостному росту трещины, однако рассматривается смешанное нагружение и используется сканирующий электронный микроскоп для экспериментального определения направления роста трещины в условиях смешанного нагружения. В [10] обсуждаются экспериментальные методики определения зон пластического течения у вершины трещины. В [11] авторы используют пластический коэффициент интенсивности напряжений для установления связи между двухосностью нагружения, свойствами материала и условиями пластического течения: от маломасштабного до развитого пластического течения в окрестности вершины трещины. Работа [12] посвящена теоретическому изучению параметров стесненности и их влияния на конфигурацию областей пластического течения у вершины трещины. В статье предложены новые параметры, эффективно описывающие пластические зоны у вершин трещин нормального отрыва и поперечного сдвига. Показано, что эти параметры хорошо описывают пластическую зону как в условиях маломасштабного пластического течения, так и в условиях умеренного пластического течения. Авторы статей [13, 14] с помощью методов асимптотического анализа построили поля напряжений у вершины трещины вблизи трещины в условиях смешанного нагружения и V-образного выреза для степенного закона Бейли - Нортона теории установившейся ползучести. В [13, 14] основным методом исследования является метод разложения по собственным функциям, приводящий к нелинейным задачам на собственные значения. В случае трещины и V-образного выреза в материале со степенным законом Бейли - Нортона теории установившейся ползучести в условиях смешанного нагружения нелинейные задачи на собственные значения решаются численно с помощью метода многопараметрической пристрелки, результаты которого требуют дополнительной проверки и обоснования. Хорошо известно, что в предельном случае, когда показатель нелинейности в степенных определяющих уравнениях увеличивается, поведение материала приближается к поведению идеально пластического материала. Поэтому представляется важным иметь аналитические выражения для компонент тензора напряжений в предельном случае идеально пластического материала в условиях смешанного нагружения, чему и посвящена настоящая работа. Первыми работами, в которых были исследованы асимптотические механические поля вблизи вершины трещины в упрочняющемся по степенному закону материале при смешанном деформировании и получены аналитические представления для поля напряжений в окрестности вершины трещины в идеально пластическом материале в условиях смешанного нагружения, являются работы Ши [15, 16]. В [15] был впервые введен параметр смешанности нагружения, характеризующий вид смешанного нагружения, , (1) где - компоненты тензора напряжений в полярной системе координат с полюсом в вершине трещины. Ши [16] впервые получил асимптотические поля напряжений у вершины трещины при смешанном нагружении и угловые распределения компонент тензора напряжений у вершины трещины в условиях смешанного нагружения для степенного закона упрочнения для плоского деформированного состояния и рассмотрел предельный случай идеально пластического материала, для которого приведены аналитические выражения поля напряжений для четырех значений параметра смешанности нагружения Таким образом, в работе [16] рассмотрены два значения параметра смешанности нагружения, соответствующие чистому поперечному сдвигу и чистому нормальному отрыву, и два значения параметра смешанности нагружения, отвечающие непосредственно смешанному нагружению. Для значения показателя упрочнения приведено сравнение угловых распределений компонент тензора напряжений, построенных численно, с аналитическим решением, найденным для идеально пластического материала. Сравнение показывает их хорошее совпадение. Дальнейшее изучение поля напряжений у вершины трещины в идеально пластическом теле шло по двум направлениям: 1) построение поля напряжений для всего диапазона значений параметра смешанности нагружений и 2) устранение скачка радиальной компоненты тензора напряжений и построение непрерывного поля напряжений в окрестности вершины трещины, что достигается за счет введения упругих секторов в окрестности вершины трещины. Так, одной из классических работ в построении асимптотических полей напряжений в окрестности вершины трещины в упругом идеально пластическом материале стало исследование [17], где построено асимптотическое решение статически определимой задачи для поля напряжений в окрестности вершины трещины в условиях смешанного нагружения в предположении реализации плоского деформированного состояния. Авторы показали, что асимптотическое решение хорошо согласуется с конечно-элементным решением для целого ряда значений параметра смешанности нагружения. В работе [17] подробно рассмотрены четыре значения параметра смешанности нагружения для нагрузок, при которых область пластического течения охватывает не всю окрестность вершины трещины и имеются упругие секторы в окрестности вершины трещины. С помощью двух допущений: 1) об ограниченности поля напряжений и 2) о непрерывности всех компонент тензора напряжений - авторам удалось построить асимптотическое решение задачи для трех указанных значений параметра смешанности нагружения. Несмотря на приведенный детальный анализ секторов, формирующих поле напряжений, в статье [17] не получено решение для всех значений параметра смешанности нагружения. Кроме того, при более высоких нагрузках пластическая область может охватывать всю окрестность вершины трещины (без упругих секторов) [18], а для таких смешанных нагружений асимптотические решения, по всей видимости, отсутствуют. Проблема построения аналитических решений для поля напряжений вызывает интерес и в настоящее время [2, 12, 14, 17]. Так, в [19] проанализированы асимптотические поля напряжений у вершины стационарной трещины отрыва в условиях плоского деформированного состояния в несжимаемом материале. Предложено 5-секторное решение, включающее в себя в качестве частных случаев решения, полученные в [20, 21]. К построению поля напряжений у вершины трещины в упругом идеально пластическом материале при смешанном нагружении в условиях плоского напряженного состояния позже обращались и другие исследователи [22]. В [22] построено непрерывное поле напряжений в окрестности вершины трещины в условиях плоского напряженного состояния с использованием упругих секторов вблизи вершины трещины. Таким образом, можно заключить, что свойственное отсутствие непрерывности радиального напряжения в решении для идеально пластического материала снимается путем введения упругих зон в окрестности вершины трещины. Тем не менее решение для идеально пластического материала представляет собой предельное решение для полей напряжений Хатчинсона - Райса - Розенгрена [23-25] в окрестности вершины трещины в упрочняющемся по степенному закону материале. При построении угловых распределений компонент тензора напряжений в упрочняющихся по степенному закону материалах и в материалах, следующих степенному закону ползучести Бейли - Нортона, очень важным оказывается знание закономерностей угловых распределений компонент тензора напряжений для смешанного деформирования [14, 26-32]. Мотивом настоящего исследования послужило отсутствие аналитических представлений для компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины в идеально пластическом материале в полном диапазоне смешанных форм нагружения от чистого поперечного сдвига до чистого нормального отрыва и анализ угловых распределений напряжений для различных значений параметра смешанности нагружения. Поэтому целью настоящей работы является асимптотический анализ поля напряжений в окрестности вершины трещины в идеально пластическом материале в условиях смешанного нагружения в предположении реализации плоского напряженного и плоского деформированного состояния без предположения существования упругих зон в окрестности вершины. 1. Математическая постановка задачи и основные уравнения Определение напряженного состояния в окрестности вершины трещины в идеально пластическом материале приводит к необходимости решения следующей системы уравнений: - уравнений равновесия (2) - условия пластического течения (3) где , - предел текучести при растяжении для плоского деформированного и плоского напряженного состояния соответственно. Граничные условия задачи есть условия отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины (4) Вид смешанного нагружения характеризуется значением параметра смешанности нагружения (1). Заданное значение параметра смешанности нагружения замыкает математическую постановку задачи. 2. Асимптотическое решение задачи. Плоское деформированное состояние Распределение напряжений в окреcтности вершины трещины можно получить следующим образом. Опираясь на асимптотический анализ уравнений равновесия, проведенный в [33] и дополнительно представленный в [17], можно разыскивать напряжения в непосредственной окрестности вершины трещины в виде разложения по собственным функциям (5) В дополнение можно отметить, что в случае плоского деформированного состояния справедливо равенство . Исходя из этого равенства, как по уравнениям теории течения, так и по уравнениям деформационной теории, справедливо соотношение . Поэтому напряжения в окрестности вершины трещины ограничены и их можно искать в асимптотической форме (5). Подставляя асимптотическое разложение (5) в разрешающую систему уравнений (2), (3) и пренебрегая малыми при величинами, приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (6) и алгебраическому условию пластического течения (7) Условие пластического течения (7) будет тождественно выполнено, если положить (8) где - функции, подлежащие определению в ходе решения задачи. Исследование системы уравнений (6), (7) вместе с граничными условиями на берегах трещины (4) приводит к хорошо известным распределениям для трещин нормального отрыва [34-37], состоящим из пяти секторов: (9) и поперечного сдвига, состоящим из семи секторов: (10) В соотношениях (9) и (10) все компоненты тензора напряжений отнесены к пределу текучести при чистом сдвиге и записаны в безразмерной форме. Пользуясь распределением напряжений (10), справедливым для трещины поперечного сдвига в идеально пластическом материале, можно построить решение для произвольного значения параметра смешанности нагружения (1). Обобщение формул (10) на случай смешанного нагружения включает семь секторов и имеет вид: (11) В выражения (11) входит параметр смешанности нагружения: на отрезке компоненты тензора напряжений определяются соотношениями, найденными с помощью определения параметра смешанности нагружения (1) и общей структуры решения задачи (8): что позволяет получить решения для различных значений Неизвестные углы определяются из условий непрерывности компонент тензора напряжений и на лучах, разделяющих сектора. Формулируя условия непрерывности на лучах можно получить выражения для углов (12) Формулируя условия непрерывности компонент и на луче , можно получить выражения для углов : (13) Из соотношений (13) следует, что при угол становится равным и область исчезает из решения. Следовательно, распределение (11) справедливо для всех значений параметра смешанности нагружения из диапазона При значениях параметра смешанности нагружения, превышающих асимптотическое решение задачи определяется соотношениями, образующими шесть секторов: (14) Углы вычисляются с помощью формул (12), поскольку в области решение сохраняет свою структуру, а углы находятся из уравнений Результаты решения задачи представлены на рис. 1-3, на которых приведены угловые распределения компонент тензора напряжений, определяемые соотношениями (11) и (14). Рис. 1. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины трещины для различных значений параметра смешанности нагружения (плоское деформированное состояние) Fig. 1. Distributions of the radial stress in the vicinity of the crack tip for different values of the mixity parameter (plane strain condition) Рис. 2. Распределения тангенциального напряжения в окрестности вершины трещины для различных значений параметра смешанности нагружения (плоское деформированное состояние) Fig. 2. Distributions of the circumferential stress in the vicinity of the crack tip for different values of the mixity parameter (plane strain condition) Следует отметить, что при значениях параметра смешанности нагружения, близких к единице (при нагружениях, близких к нормальному отрыву), решение обладает особенностью. Можно было бы ожидать, что при стремлении параметра смешанности к единице распределение (14) будет непрерывным образом стремиться к решению (9). Однако не существует конечного предела функций, которыми задается решение, в областях и при Анализ решения (14) при увеличении параметра смешанности наружения показал, что угловые распределения компонент тензора напряжений выходят на решение, отвечающее нормальному отрыву при Рис. 3. Распределения касательного напряжения в окрестности вершины трещины для различных значений параметра мешанности нагружения (плоское деформированное состояние) Fig. 3. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for different values of the mixity parameter (plane strain condition) Для всех значений параметра смешанности нагружения из отрезка решение описывается формулами (9), отвечающими чистому нормальному отрыву (см. рис. 1-3) (решение включает пять секторов). На рис. 1-3 можно ясно видеть переход от чистого поперечного сдвига к чистому нормальному отрыву. Кривая красного цвета на каждом из рисунков показывает распределение компонент тензора напряжений для чистого поперечного сдвига (первый предельный случай ): компоненты тензора напряжений являются антисимметричными относительно оси ординат, тогда как касательное напряжение симметрично. Кривые, изображенные синими точками, отвечают второму предельному случаю - чистому нормальному отрыву ( ). Здесь, напротив, компоненты симметричны относительно оси ординат, а касательное напряжение - антисимметрично. 3. Асимптотическое решение задачи. Плоское напряженное состояние В случае плоского напряженного состояния асимптотическое решение задачи будем также искать в форме (5). Справедливы уравнения равновесия (6), но условие пластического течения имеет вид . (15) Условию пластического течения для плоского напряженного состояния (15) можно тождественно удовлетворить, если положить [37, 38] (16) Известно и иное распределение компонент тензора напряжений, приводящее к тождественному выполнению условия пластического течения [30, 38]: (17) где - такие постоянные, что . (18) Хорошо известны решения для задач о трещинах нормального отрыва [30, 38, 39] (здесь и далее напряжения отнесены к пределу текучести ): (19) где углы определяются из решения системы трансцендентных уравнений и поперечного сдвига [36] в идеально пластическом материале (20) В асимптотическом решении (20) углы и константы определяются из условий непрерывности тангенциального и касательного напряжений на лучах, разделяющих сектора, - условий, приводящих к необходимости решения следующих систем уравнений. Угол и константа находятся из системы уравнений (21) Угол и константа находятся из системы уравнений (22) Углы вычисляются с помощью системы уравнений (23) Углы вычисляются с помощью системы уравнений (24) Обобщение представления (20) на случай смешанного нагружения позволяет получить асимптотическое решение для значений параметра смешанности нагружения, близких к поперечному сдвигу. Анализ соотношений (20) указывает на их справедливость для смешанного нагружения с заменой решения в секторе на выражения где константа определяется из соотношения (1) и (25) отражает вид смешанного нагружения. Аналитическое решение (20) для других секторов сохраняется и для смешанного нагружения. Таким образом, для смешанного нагружения поле напряжений определяется различными зависимостями в семи секторах: (26) Появление в решении константы (переход к рассмотрению смешанного нагружения) приводит к изменению углов , которые в случае смешанного нагружения определяются из системы уравнений (27) Углы в случае смешанного нагружения вычисляются с помощью системы уравнений (28) При приближении значения параметра смешанности нагружения к углы приближаются друг к другу и совпадают для приведенного значения параметра смешанности нагружения, поэтому асимптотическое решение (26), состоящее из семи секторов, редуцируется к решению, состоящему из пяти секторов: (29) Значения углов определяются из системы тригонометрических уравнений (30) Значения углов определяются из системы тригонометрических уравнений (31) Таким образом, два представления (26) и (29) полностью описывают поле напряжений в окрестности вершины трещины в идеально пластическом материале при условии, что пластическое течение охватывает вершину трещины. Представление (26) дает поле напряжений для значений параметра смешанности нагружения при значениях параметра смешанности нагружения, меньших Параметры, входящие в зависимости (26), вычисляются с помощью уравнений (21), (22) и (27), (28). В случае смешанного нагружения, отвечающего значениям параметра смешанности нагружения, большим решение описывается формулами (29), в которых значения углов вычисляются из уравнений (30) и (31). Результаты вычислений показаны на рис. 4-6, где приведены угловые распределения компонент тензора напряжений для всех значений параметра смешанности нагружения (в полном диапазоне смешанных форм деформирования от чистого поперечного сдвига до чистого нормального отрыва, когда параметр смешанности нагружения пробегает значения от нуля до единицы). Рис. 4. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины трещины для различных значений параметра смешанности нагружения (плоское напряженное состояние) Fig. 4. Distributions of the radial stress in the vicinity of the crack tip for different values of the mixity parameter (plane stress condition) Следует отметить, что в случае плоского напряженного состояния константа , связанная с параметром смешанности нагружения уравнением (25), принимает значения для поперечного сдвига и нуль - для нормального отрыва. При стремлении константы к нулю имеется конечный предел компонент тензора напряжений в уравнениях (29). Поэтому, как видно из рис. 4-6, увеличивая параметр смешанности нагружения до 1, можно получить распределение напряжений, соответствующее нормальному отрыву, в отличие от ранее рассмотренного случая плоского деформированного состояния. Наглядную картину распределения радиального напряжения у вершины трещины при изменении параметра смешанности нагружения дают рис. 7-13, показывающие радиальное напряжение для трещины поперечного сдвига (рис. 7, а), для смешанного нагружения (см. рис. 7-13) и для трещины нормального отрыва (рис. 13, б). Риc. 5. Распределения тангенциального напряжения в окрестности вершины трещины для различных значений параметра смешанности нагружения (плоское напряженное состояние) Fig. 5. Distributions of the circumferential stress in the vicinity of the crack tip for different values of the mixity parameter (plane stress condition) Рис. 6. Распределения касательного напряжения в окрестности вершины трещины для различных значений параметра смешанности нагружения (плоское напряженное состояние) Fig. 6. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for different values of the mixity parameter (plane stress condition) Из рис. 9 видно, что радиальное напряжение претерпевает резкие изменения вблизи при переходе от значения параметра смешанности нагружения к значению что может вызвать сложности при реализации метода двухпараметрической пристрелки для построения численных и асимптотических решений задач определения поля напряжений у вершины трещины в условиях смешанного нагружения в материалах, подчиняющихся степенному закону деформационной теории пластичности и степенному закону установившейся ползучести [38-44]. а б Рис. 7. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины трещины поперечного сдвига (а) и для смешанного нагружения (б) Fig. 7. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mode II crack (а) and for mixed mode crack (b) а б Рис. 8. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины в условиях смешанного нагружения при (а) и (б) Fig. 8. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mixed mode crack (а) and (b) а б Рис. 9. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины в условиях смешанного нагружения при (a) и (б) Fig. 9. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mixed mode crack (а) and (b) а б Рис. 10. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины в условиях смешанного нагружения при (а) и (б) Fig. 10. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mixed mode crack (a) and (b) а б Рис. 11. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины в условиях смешанного нагружения при (а) и (б) Fig. 11. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mixed mode crack (a) and (b) а б Рис. 12. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины в условиях смешанного нагружения при (а) и (б) Fig. 12. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mixed mode crack (a) and (b) а б Рис. 13. Распределения радиального напряжения в окрестности вершины в условиях смешанного нагружения при (а) и (б) Fig. 13. Distributions of the shear stress in the vicinity of the crack tip for mixed mode crack (a) and (b) Выводы и обсуждение результатов В статье получены аналитические решения задач определения напряженного состояния у вершины трещины в идеально пластическом материале в условиях смешанного нагружения в предположении, что область пластического течения полностью охватывает вершину трещины для случаев плоского деформированного и плоского напряженного состояний. Асимптотические решения получены для всего диапазона значений параметра смешанности нагружения, задающего вид деформирования. Полученные решения позволяют для указанного значения параметра смешанности нагружения построить угловые распределения компонент тензора напряжений. Интересной и важной особенностью рассмотренного класса задач для плоского деформированного состояния является наличие отрезка значений параметра смешанности нагружения, для которого решение задается выражениями, не зависящими от параметра смешанности (справедливы единые зависимости (9) для всех значений параметра смешанности из отрезка ). Для данного диапазона значений параметра смешанности нагружения трещина ведет себя как трещина отрыва, несмотря на наличие сдвиговой нагрузки. Построенные аналитические решения могут быть полезным для получения угловых распределений компонент тензора напряжений в материале, упрочняющемся по степенному закону, или для материала, следующего степенному закону теории установившейся ползучести, в условиях смешанного нагружения для больших значений показателя нелинейности материала, поскольку, как правило, при построении численного решения применяется метод многопараметрической (параллельной или множественной) пристрелки [40-47] и его результаты нуждаются в дополнительном обосновании и верификации, что и позволят сделать найденные аналитические зависимости.

About the authors

L. V Stepanova

Samara National Research University

References

Statistics

Views

Abstract - 426

PDF (Russian) - 340