Full Text

Введение C развитием современной науки и техники требуется точное знание процессов деформирования материалов с усложненной структурой. Этому требованию отвечают модели упругих моментных сред, к которым, в том числе, относится модель Коссера. Общая теория такой несимметричной теории упругости впервые была разработана братьями Коссера (Э. и Ф. Коссера) [1]. В настоящий момент моментная теория упругости привлекает внимание многих исследователей. В [2] рассмотрена динамическая связанная осесимметричная задача микрополярной теории термоупругости для изотропных слоя, полупространства или пространства. А в работах [3-5] получены решения аналогичных нестационарных осесимметричных задач для однородной изотропной среды псевдокоссера. В статьях [6,7] построены решения двумерных нестационарных задач для упругих моментных полупространств и полуплоскости. В работах [8, 9] исследованы осесимметричные задачи для упругих тел со сферическими границами. В [10, 11] исследованы особенности распространения плоских периодических и уединенных волн. B работе [12] рассматривается задача о распространении поверхностных волн в среде Коссера (случай полупространства), в [13] исследовано распространене нестационарных поверхностных возмущений для полуплоскости, заполненной псевдоконтинуумом Коссера. Континуальная модель слоистой среды изучалась Н.В. Зволинским и К.Н. Шхинек в работе [14]. В статье [15] рассматривается начально-краевая задача для тонкой пластинки с позиций общей трехмерной несимметричной теории упругости. В статье [16] исследуется динамическая задача для микрополярных упругих тел при помощи использования метода собственных значений. В [17] рассматривается динамическая связанная осесимметричная задача микрополярной теории упругости для бесконечной в радиальном направлении изотропной среды. В статье [18] получен ряд новых аналитических решений статических и динамических волновых задач линейной упругой среды Коссера. В цикле работ М.А. Кулеша рассматриваются задачи о распространении объемных продольных и поперечных волн [19]. В статье [20] изучаются одномерные динамические уравнения микрополярных упругих тонких балок со свободным вращением, со стесненным вращением и «малой сдвиговой жесткостью». В том числе рассматриваются свободные колебания балок при шарнирном опирании на концах. В статье [21] динамическая задача моментной теории упругости о трещине конечной длины при нормальной нагрузке на берегах методом интегральных преобразований сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно перемещений и поворотов, которая решается численно. Нелинейные моментные теории упругости рассматриваются в работах [22-26]. В статье [27] рассматриваются поверхностные волны в упругом слоистом полупространстве с периодическим изменением жесткости по глубине. Целью работы является постановка задач о распространении нестационарных антисимметричных кинематических возмущений от сферической полости в среде Коссера. 1. Постановка задачи Рассмотрим однородное изотропное упругое моментное пространство со сферической полостью радиусом занятое средой Коссера [28]. Используем сферическую систему координат где , , , с началом в центре полости и оронормированным базисом . Полагаем, что движение является аналогом рассматриваемой в теории упругости антиплоской деформации - антисимметричным относительно полупрямой , что соответствует следующим полям перемещений и вращения : При этом координаты вектора связаны со скалярным и векторным потенциалами следующим образом: (1) Такое движение среды описывается тремя уравнениями [28]: (2) где Здесь - время; и - упругая постоянная Ламе, плотность и мера инерции среды при вращении (плотность момента инерции); - физические параметры континуума Коссера, характеризующие наличие моментных эффектов; , , и - скорости распространения волн; - оператор Лапласа для скалярной функции. Полагаем, что в начальный момент времени возмущения отсутствуют: (3) а на границе полости заданы кинематические возмущения . (4) Решение начально-краевой задачи (1)-(4) разыскивается в классе ограниченных функций. Выражения для компонент тензоров напряжений и моментных напряжений в силу громоздкости здесь не приводятся, и далее ограничимся нахождением только кинематических параметров среды. Отметим, что частный случай граничных условий (4) соответствует жестко сцепленному с полостью единичного радиуса абсолютно твердому шару, поворачивающемуся вокруг оси по закону . Действительно, при этом вектор поворота и правые части последних двух равенств в (4) имеют вид: Вектор перемещения поверхности шара и правая часть первого равенства в (4) определяются так: . Далее везде будем использовать безразмерные величины (при одинаковом начертании они обозначены штрихами, которые в последующем изложении опущены): где - упругая постоянная Ламе; - скорость распространения волн растяжения-сжатия. В этих величинах кинематические соотношения (1) и граничные условия (4) сохраняют свой вид, а уравнения (2) и начальные условия (3) записываются следующим образом (точками здесь и далее обозначены производные по безразмерному времени ): (5) . (6) 2. Представление решения в виде рядов Потенциалы, перемещения и координаты вектора вращения представляем в виде рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [30]: Подставляя их в (1), получаем (7) При этом уравнения (5) и условия (4), (6) переходят в следующие равенства: (8) (9) (10) Здесь использованы разложения в ряды правых частей условий (4): Соотношения (7)-(10) при каждом вместе с требованием ограниченности образуют независимые начально-краевые задачи. 3. Изображения общего решения Для решения этих задач применяем к ним преобразование Лапласа по времени (S - параметр; индекс «L» обозначает трансформанту). В результате получаем краевые задачи относительно изображений: (11) (12) (13) где (14) Общее решение уравнения (11) имеет вид [31-33] (15) Здесь - постоянные интегрирования; и - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка . Для построения общего решения системы из второго и третьего уравнений (12) используем достаточно просто доказываемое утверждение. Пусть матрица системы обыкновенных дифференциальных уравнений (16) где не зависит от , имеет простой спектр с собственными значениями и собственными векторами . Тогда ее общее решение имеет вид где - фудаментальные системы решений уравнений , а - произвольные постоянные. В свете этого утверждения систему уравнений записываем в матричном виде и приводим ее к канонической форме (16): Далее строим характеристическое уравнение матрицы относительно собственных значений . Как оказывается, оно сопадает с аналогичным уравнением для осесимметричной задачи [30], и его корни определяются так: Соответствующие собственные векторы есть решения систем линейных алгебраических уравнений . Их выбираем так, чтобы имела место линейная независимость и при : (17) Следовательно, в соответствии с (16) общее решение системы уравнений (12) имеет вид Далее, подставляя (15) в (14), с учетом свойств функций Бесселя получаем следующие результаты: (18) Здесь использованы обозначения (19) 4. Изображения решения задачи Поскольку функция Бесселя неограничена в окрестности бесконечно удаленной точки [30], то в силу (15) и (19) таковыми же являются и функции , , . Следовательно, в (18) необходимо положить . Подставляя теперь с учетом этого равенства (18) в (13), получаем алгебраические уравнения относительно постоянных интегрирования: (20) Подставляя их решения в (14), получаем изображения искомых функций: Здесь ,…, - изображения поверхностных функций влияния, которые определяются так: (21) В этих равенствах и далее - алгебраическое дополнение расположенного в i-й строке и j-м столбце элемента матрицы . 5. Линейное приближение решения Получить аналитически оригиналы функций влияния при не представляется возможным. Поэтому используем разложения в степенные ряды по малому параметру , ограничиваясь только линейными слагаемыми. При этом приближенные равенства заменяем точными. Соответствующие равенства для и координат (17) собственных векторов имеют вид: Отсюда с учетом (20) следует, что имеют место следующие асимптотические соотношения: . Их использование с учетом связи модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями [30] позволяет с принятой точностью привести равенства (21) к следующему виду: (22) (23) где (24) где Здесь использованы следующие многочлены [33]: 6. Оригиналы решения Из (22)-(24) следует, что коэффициенты перед экспонентами в изображениях функций влияния являются рациональными функциями параметра s. Анализ степеней числителей и знаменателей показывает, что среди этих функций только три неправильные дроби и . Выделение у них целых частей приводит к таким результатам: (25) Здесь функции с дополнительным индесом « » - правильные дроби. Их оригиналы так же, как и оригиналы остальных коэффициентов перед экспонентами, достаточно просто находятся с помощью вычетов. При этом обращение преобразования Лапласа для функций в (25) приводит к следующим равенствам [29, 34]: где - дельта-функция Дирака. Окончательно оригиналы функций влияния в (23)-(25) в соответствии со свойствами преобразования Лапласа имеют следующий вид ( - единичная функция Хевисайда): где Вычисление оригиналов правильных дробей проводится методами компьютерной математики в среде Maple 18. Для регулярной части одной из функций влияния без громоздких выкладок может быть получен явный вид: 7. Примеры В качестве примера рассмотрим среду в виде композита из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице со следующими физическими характеристиками [2, 32]: ; ; ; ; ; . Скорость находим с помощью формулы, указанной в [35, 36]: Принимая характерный линейный размер, получаем необходимые безразмерные параметры: На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов для регулярных составляющих функций влияния и . Два фронта волн - и - здесь сливаются в один разрыв первого рода в силу того, что для используемой среды имеет место приближенное равенство . Рис. 1. Распределение регулярных составляющих функций влияния Gωrr1r и Gωθθ1r по радиусу в различные моменты времени Fig. 1. Distribution of the regular components of the influence functions Gωrr1r and Gωθθ1r along the radius at different points in time Рис. 2. Зависимость регулярной составляющей функции влияния Gωrr1r и Gωθθ1r от времени при различных значениях радиуса Fig. 2. Dependence of the regular component of the influence function Gωrr1r and Gωθθ1r on time at different values of the radius Заключение В линейном приближении по малому параметру аналитически построены поверхностные функции влияния для перемещения и углов поворота в задаче о распространении нестационарных антисимметричных кинематических возмущений от сферической полости в упругом моментном пространстве. Показано, что имеются три волновых фронта, соответствующие модифицированной с учетом свободного вращения волне сдвига и двум волнам вращения. Предложенный алгоритм решения может быть использован как для построения остальных функций влияния, так и для задач с силовыми возмущениями. С помощью полученных результатов решения при произвольных возмущениях могут быть представлены в квадратурах (в свертках по времени).

About the authors

D. V Tarlakovskii

Scientific Research Institute of Mechanics of the Moscow State University; Moscow Aviation Institute

Van Lam Nguyen

Moscow Aviation Institute

References

Statistics

Views

Abstract - 510

PDF (Russian) - 179