Full Text

Геометрически нерегулярные тонкостенные упругие системы, обширный класс которых составляют ребристые оболочки и пластинки, являются элементами различных современных аппаратов специального назначения. Условия эксплуатации таких систем предусматривают совместное воздействие нагрева и высокоскоростного газового потока. Исследованию упругого поведения гладких пластин и оболочек на основе атермической теории посвящено большое число работ, полный перечень которых содержал бы десятки наименований. Ограничимся некоторыми из них [1, 2, 3, 4, 5]. Значительно меньше работ содержат исследования совместного воздействия температуры и сверхзвукового потока на гладкие пластинки и оболочки. Важные для практики результаты в этой области приводятся в работах [6, 7, 8]. Работы, в которых анализируется влияние подкрепляющих пластину или оболочку ребер под действием сверхзвукового потока на базе термической теории в открытой научной литературе отсутствуют. Это связано не с маловажностью проблемы, а прежде всего с чрезвычайной математической сложностью таких задач, решаемых на основе дискретной модели «оболочка-ребра». Разработка континуальных моделей с использованием элементов теории обобщенных функций, основные положения которых содержится в работах [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], позволила сводить решения задач статической и динамической термоупругости ребристых пластин и оболочек к интегрированию систем сингулярных дифференциальных уравнений точными и приближенными методами высшего анализа [19, 20, 21]. 1. В квазистатической постановке задачи сингулярное уравнение термоупругого равновесия ортотропной геометрически нерегулярной пластинки на основе континуальной модели запишется как (1) где - относительная интенсивность поперечной нагрузки, вызванная прогибом пластинки, стандартным образом определяется по «поршневой» теории [22, 23]; - число Маха [6]; - невозмущенная скорость набегающего газового потока; - скорость звука; - функция прогиба; - относительная высота i-го ребра; - ширина i-го ребра; , ( ), ; - обобщенная δ-функция Дирака [24, 25, 26]; - тангенциальные усилия, вызванные нагревом пластинки до постоянной температуры , определяются на основании решения системы сингулярных дифференциальных уравнений (2) При неоднородных краевых условиях при , , при , усилия запишутся в виде , . (3) В уравнениях (2) ( ). Решение уравнения (1), предварительно преобразованного к виду (4) тождественно удовлетворяющего условиям шарнирного закрепления всех четырех сторон термоупругой системы «пластинка-ребра», зададим в виде двойного тригонометрического ряда с постоянными коэффициентами . (5) Коэффициенты ряда (5) на основании процедуры Галеркина [27, 28, 29] определяются как решения однородной алгебраической системы. Из равенства нулю определителя этой системы следуют соотношения для критических значений скоростей. В случае двучленной аппроксимации [6, 7] (6) что соответствует двум полуволнам в направлении потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении, получим , (7) где , , . В случае изотропной гладкой пластинки равенство (7) принимает вид, приведенный в работе [30], в случае ребристой - в работе [31]. Введем в рассмотрение безразмерный параметр , тогда и предельное значение этого параметра запишется как . (8) Результаты расчетов для различных ортотропных материалов и значений геометрических параметров приводятся в табл. 1-3. 2. Анализ устойчивости относительного равновесия термоупругой системы «пластинка-ребра» сводится к интегрированию дифференциального уравнения (9) где - удельный вес; - интенсивность поля тяжести; - параметр демпфирования. Таблица 1 Значения в случае пластинки без ребер ( ) Table 1 Values of for the plate without ribs ( ) АГ-4С СВАМ (I) (II) 1/2 0,4553 0,7630 0,4758 0,7593 0,5554 0,6497 2,2500 1,4496 1 0,5759 1,2800 0,4121 1,1574 0,2250 0,7632 22,2188 2,1689 2 6,7165 2,0500 5,4069 1,4738 0,3093 1,3091 179,859 2,4174 Таблица 2 Значения в случае пластинки с одним ребром ( ) Table 2 Values of for the plate with one rib ( ) АГ-4С СВАМ (I) (II) 1/2 1 0,4478 0,7675 0,4697 0,7629 0,5549 0,6502 2,4468 1,4765 3 2,1771 1,5921 1,6539 1,4868 0,3827 0,7893 71,3531 2,3971 5 51,9107 2,4093 41,8892 2,3861 2,8811 1,4671 1376,86 2,4943 1 1 0,6358 1,3083 0,4607 1,1738 0,2210 0,7684 23,7938 2,1863 3 21,6359 2,3470 17,4501 2,2485 1,1570 1,4142 575,044 2,4837 5 419,504 2,4913 339,332 2,4846 27,2672 1,725 1101,1 2,4991 2 1 7,1965 2,0791 5,7952 1,4966 0,3408 1,3269 192,459 2,4225 3 175,197 2,4763 141,71 2,3855 11,3659 1,7219 4602,46 2,4965 5 3358,15 2,4985 2717,77 2,4935 220,247 1,7485 88154,9 2,4998 Таблица 3 Значения в случае пластинки с тремя ребрами ( ) Table 3 Values of for the plate with three ribs ( ) АГ-4С СВАМ (I) (II) 1/2 1 0,4403 07720 0,4667 0,7647 0,5544 0,6507 2,6437 1,5021 3 4,8096 1,8854 2,7187 1,6619 0,2099 0,8974 140,456 2,4459 5 104,277 2,4534 63,0717 2,4223 6,3175 1,5876 2751,47 2,4971 1 1 0,6958 1,3309 0,5092 1,1898 0,2171 0,7740 25,3687 2,2019 3 42,6959 2,4183 34,488 2,3613 2,5391 1,5477 1127,87 2,4916 5 838,433 2,4956 678,252 2,4923 54,7594 1,7373 22016 2,4995 2 1 7,6765 2,0984 6,1835 1,5184 0,3723 1,3433 205,059 2,4271 3 343,677 2,4878 278,013 2,4393 22,4224 1,7355 9025,06 2,4982 5 6709,57 2,4993 5428,13 2,4967 440,184 1,7492 176130 2,4999 В этом случае решение зададим в виде двойного тригонометрического ряда с переменными по временной координате коэффициентами (10) Коэффициенты ряда (10) во втором приближении определяются как решения системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений (11) Здесь . Подстановками (12) система (11) сводится к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка (13) где , , , . Характеристическое уравнение (14) в случае отсутствия демпфирования примет вид . (15) Из условия , ( ), (16) при котором хотя бы один из четырех корней алгебраического уравнения (15) будет положительным, определим интервал изменения относительной скорости потока газа при котором прогиб термоупругой системы растет: (17) при . При учете демпфирования ( ) возникает вопрос об устойчивости системы (11), которая сведена к одному дифференциальному уравнению (13). На основании критерия Гурвица [32] , , получим (18) Результаты расчетов приведены в табл. 4. Таблица 4 Значения критических скоростей при различных геометрических параметрах и модулей упругости Table 4 Critical speed values at different geometrical parameters and Young's modulus , , , , , , 2 1 2 1 нет 2354 659 612 нет 258 244 382 3 7326 1281 690 3 7832 1255 509 5 101544 13058 2162 5 160685 20362 2897 3 17301 2528 846 3 24014 3278 762 5 299953 37859 5262 5 482571 60598 7927 Окончание табл. 4 , , , , , , 2 1 2 1 нет 2332 644 587 нет 251 228 357 3 7313 1258 661 3 7815 1226 474 5 101529 13027 2109 5 160669 20330 2839 3 17287 2502 812 3 23998 3249 719 5 299939 37831 5208 5 48557 60569 7871 Количественный анализ выявил следующие закономерности влияния геометрических параметров на поведение термоупругой ортотропной системы в потоке газа: 1. Во всех рассмотренных случаях параметр относительной высоты ребра, как и увеличение числа ребер (параметр п), ведут к существенному росту предельной скорости потока: материал АГ-4С 2. С увеличением параметра (что ведет к уменьшению относительной длины ребер) величина относительной скорости потока значительно возрастает: материал АГ-4С Эта тенденция сохраняется и для других ортотропных материалов, а также в случае изотропных [26]. 3. Главная ось упругости, для которой модуль упругости наибольший, должна быть параллельна скорости потока, так как при выполнении этого требования существенно повышается устойчивость геометрически нерегулярной пластинки - увеличивается наименьшее значение скорости потока, при которых прогибы термоупругой системы неограниченно возрастают во времени. 4. Влияние параметра (учет демпфирования) на величины наименьших скоростей незначительно, и тем меньше, чем больше относительная высота ребер, их число и величина модуля упругости в направлении потока. 5. С увеличением температуры (параметр ) наименьшие скорости потока, при прочих равных условиях, убывают. 6. Существенное влияние на устойчивость ортотропной пластинки оказывает параметр , увеличение которого ведет к значительному росту относительной скорости потока. В случае гладкой пластинки эта закономерность нарушается. Важно отметить, что перечисленные закономерности выявлены для случая двух полуволн в направлении газового потока и одной полуволны в перпендикулярном направлении.

About the authors

O A Myltcina

Saratov State University

G N Belostochny

Saratov State University

References

Statistics

Views

Abstract - 318

PDF (Russian) - 62