Full Text

Детали машин и механизмов, изготовленные из современных материалов, таких как эластомеры, поликристаллические металлы, керамика, а также горные породы и обладающие значительной анизотропией свойств, пребывают в условиях сложного кинематического взаимодействия с другими телами. Естественно, что силы взаимодействия этих тел не распределяются симметрично относительно, например, оси вращения цилиндрического тела или какой-либо плоскости. Исследование напряженно-деформированного состояния, возникающего в теле и которое носит несимметричный характер, является актуальной научной задачей для анизотропных тел. Решению краевых задач для трансверсально-изотропных тел посвящено множество работ. На сегодняшний момент исследуются частные аспекты данных задач для усложненных по геометрии и структуре материалов, например многосвязные, слоистые и др. Например, в работе [1] получены точные аналитические решения задач о равновесии полых и составных транстропных сфер, находящихся под действием внешнего или внутреннего давления. В работе [2] рассмотрена задача о деформации трансверсально-изотропного цилиндрического слоя под действием нормального давления. Полученные асимптотические формулы позволяют описать поведение слоя с разными жесткостями в трансверсальном и тангенциальном направлениях. В работе [3] с помощью преобразования Фурье решена смешанная краевая задача Дирихле - Неймана для уравнения Пуассона в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями. Решение записывается через построенную функцию Грина оператора Лапласа. В работе [4] предлагается подход к определению трехмерного напряженно-деформированного состояния (НДС) многослойного транстропного полупространства в случае воздействия на него нормальной нагрузки. Работа [5] посвящена решению контактной задачи для транстропного полупространства с неизвестной областью контакта. Задача сведена к интегральному уравнению относительно давления в зоне контакта, для решения которого применяется численный метод Галанова. Ряд работ посвящен расчету оболочек. Например, в работе [6] рассмотрены осесимметричные краевые задачи теории упругости для неоднородной трансверсально-изотропной конической оболочки. Решение строится методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. В работе [7], применяя прямую формулировку метода граничных состояний, решены краевые задачи трехмерной анизотропной теории упругости. Приведены численные примеры для нескольких видов анизотропии. В работе [8] исследовалось предельное нагружение конструкций из трансверсально-изотропных материалов в условиях кусочно-линейной текучести. В работе [9] приводятся доказательства теорем существования и единственности решения упругопластической краевой задачи, основанной на теории пластического течения трансверсально-изотропных тел. Смешанные задачи в теории упругости рассматривались реже, чем задачи с однотипными граничными условиями, однако их исследование проводилось в приложении к различным направлениям механики. Например, в работе [10] рассматривался алгоритм численного решения смешанной задачи теории упругости для тела, имеющего одностороннее контактное взаимодействие с упругим полупространством. В исследовании [11] предложен аналитический метод решения смешанной плоской задачи теории упругости для двухслойной кольцевой области. В статье [12] осуществлены математический и численный анализ асимптотических решений трехмерных статических задач теории упругости со смешанными граничными условиями. В работе [13] Для решения смешанных задач использовались конечно-элементные технологии, основанные на смешанной формулировке, построенной с помощью функционала Рейсснера. В исследовании [14] метод граничных состояний применен для решения смешанных задач теории изотропной упругости, а в статье [15] он получил развитие на класс смешанных задач для неограниченной упругой среды с полостями. В исследовании [16] для односвязного изотропного тела построены параметрические решения, содержащие константы среды в неявном виде. В работе [17] метод граничных состояний применен для решения задачи о движении идеальной жидкости в осесимметричной трубе при смешанных граничных условиях. На сегодняшний момент для трансверсально-изотропных тел вращения средствами метода граничных состояний решена первая основная задача теории упругости при участии массовых сил [18; 19]. Решению второй основной задача теории упругости при одновременном действии на тело массовых сил посвящена работа [20]. По идентичной методике, что и во второй основной задаче, решены основная смешанная [21; 22] и контактная [23] задачи. Особенность решения данных задач заключатся в том, что полученное упругое поле удовлетворяет одновременно заданным граничным условиям и заданным массовым силам. Целью данной работы является решение неосесимметричных смешанных задач теории упругости для трансверсально-изотропных тел вращения. 1. Постановка задачи Рассматривается упругое равновесие трансверсально-изотропного конечного и односвязного тела вращения с осью анизотропии, совпадающей с геометрической осью симметрии. Требуется восстановить упругое поле в области V по заданным поверхностным усилиям на части границе и перемещениям на части границе (рис. 1). Естественно, что . Рис. 1. Трансверсально-изотропное тело вращения Fig. 1. The transversely isotropic body of revolution Статические поверхностные усилия и ненулевые перемещения точек границы изменяются по циклическому закону (синуса или косинуса). Объемные силы отсутствуют. 2. Определяющие соотношения для среды Для однородной трансверсально-изотропной среды в цилиндрических координатах , , имеют место следующие соотношения. Дифференциальные уравнения равновесия при отсутствии объемных сил [24; 25]: ; ; (1) , Соотношения Коши [24]: ; ; ; (2) ; ; . Уравнения совместности деформаций [26]: ; ; ; ; (3) ; . Обобщенный закон Гука [24]: ; ; (4) ; ; ; . Здесь: u, v, w - компоненты вектора перемещений u вдоль оси r, θ, z соответственно; , , , , , - компоненты тензора деформаций; , , , , , - компоненты тензора напряжений; и - модули упругости соответственно в направлении оси z и в плоскости изотропии; - коэффициент Пуассона, характеризующий сжатие вдоль оси r при растяжении вдоль оси z; - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное сжатие в плоскости изотропии при растяжении в этой же плоскости; и - модули сдвига в плоскости изотропии и перпендикулярной к ней. 3. Метод решения Для решения поставленной задачи используется метод граничных состояний (МГС) [27]. Основу метода составляют пространства внутренних и граничных Г состояний: ; . (5) Внутреннее состояние определяется наборами компонент вектора перемещений, теноров деформаций и напряжений (индекс k в правой части помещен наверх): . Воспользуемся при построении решения основных задач механики уравнением Клапейрона при отсутствии объемных сил [25; 28]: . (6) На основе равенства (6) можно назначить скалярные произведения в пространствах состояний. Скалярное произведение в пространстве внутренних состояний выражает внутреннюю энергию упругого деформирования (например, для 1-го и 2-го внутреннего состояний): , (7) причем в силу коммутативности состояний среды: . Граничное состояние определяется наборами компонент вектора перемещения точек границы , поверхностными усилиями : , , (8) где - компонента нормали к границе. В пространстве граничных состояний Г согласно (6) скалярное произведение выражает работу внешних сил по поверхности тела S (например, для 1-го и 2-го внутреннего состояний): , причем в силу тождества Бетти и соотношения Клапейрона: . В случае гладкой границы и в силу (6) оба пространства состояний являются гильбертовыми и сопряжены изоморфизмом. По определению каждому элементу соответствует единственный элемент , причем это соответствие взаимно-однозначное: . Это позволяет отыскание внутреннего состояния свести к построению изоморфного ему граничного состояния. После построения базисов пространств внутренних и граничных состояний, их необходимо проортонормировать. Ортонормирование базиса пространства осуществляется по разработанному рекурсивно-матричному алгоритму ортогонализации [29], где в качестве перекрестных скалярных произведений принимается (7). Алгоритм основан на процессе Грама - Шмидта, переписанном в форме, использующей лишь перекрестные скалярные произведения элементов исходного базиса, которые сведены в матрицу Грама. Если в процессе ортогонализации на k-м шаге встречается некоторый элемент базиса внутренних состояний , алгоритм на этом шаге выдаст «0» (нулевое), если этот элемент является линейной комбинацией элементов , …, . Для сохранения ортогональности выходных элементов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм делает проверку на нулевые элементы и исключает их. На их место идут следующие элементы исходного базиса внутренних состояний, и процесс повторяется. Ортонормированный базис Г редуцируется из ортонормированного базиса внутренних состояний, используя выражения (8) и (1). Окончательно проблема сводится к разрешающей системе уравнений относительно коэффициентов Фурье, разложения искомых внутреннего и граничного состояний в ряд по элементам ортонормированного базиса: ; , или в развернутом виде: ; ; ; . (9) Ортонормированный базис позволяет для элементов базиса граничных состояний записать следующие выражения: ; (10) Представим слагаемые из (10) в следующем виде (нижний индекс v в развернутых выражениях опущен): ; и, подставляя их в (10), получим: . Группируя слагаемые и обозначая: (11) легко убедиться что . Преобразуем следующим образом: базисные упругие характеристики , заменяем заданными, и перебор будем осуществлять по индексу j, образуя тем самым матрицы коэффициентов: ; ; . Следует отметить, что матрица B является кососимметричной (, ). Матрица-столбец коэффициентов Фурье рассчитывается так: , (12) где N - число используемых элементов базиса. Окончательно решение имеет вид (9). Тестирование коэффициентов Фурье осуществляется подстановкой одного из базисных элементов с соответствующими ГУ в качестве заданного, при этом должны выполняться условия , где n - номер тестируемого элемента, остальные коэффициенты Фурье должны равняться нулю. 4. Формирование базиса Основную сложность формирования решения в МГС является конструирование базиса внутренних состояний, который опирается на общее или фундаментальное решение для среды; также возможно использование каких-либо частных или специальных решений. В работе [24] с помощью метода интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженным и деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного конечного тела без полостей и определенными вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которого зависят от двух координат z и y (переменных). При установлении зависимости используется следующий прием. Упругое тело, напряженное состояние которого требуется изучить, рассматривается как часть некоторого бесконечного цилиндра с осью , параллельной образующей цилиндра. С телом связана система координат . Меридианное сечение тела совпадает с плоскостью поперечного сечения бесконечного цилиндра с осями координат zy (направление плоскости zy, ось z общая для тела и цилиндра). Предполагается, что цилиндр находится в некотором двумерном напряженном состоянии, не меняющемся вдоль образующей. Компоненты этого состояния , , , , , , определяют плоскую деформацию с депланацией сечения цилиндра в плоскости zy. Эти же компоненты определяют напряженное состояние заданного упругого тела, так как оно является частью цилиндра. Для определения пространственного напряженного состояния тела рассматривается ряд цилиндров, отличающихся направлением образующей, или углом поворота относительно оси z. Представляя последовательно тело вырезанным из каждого такого цилиндра при (m - число цилиндров), редуцируется ряд напряженных состояний, суперпозиция которых и дает суммарное трехмерное состояние. В общем случае напряженное состояние каждого цилиндра в процессе поворота изменяется, и трехмерное состояние тела будет неосесимметричным (зависящим от угловой координаты ). Например, для компоненты вектора перемещения пространственного состояния имеет место выражение: Перейдя к пределу при , сумма заменяется интегралом. При последующей замене переменой интегрирования окончательно связь между перемещениями неосесимметричной деформации и плоской деформации соответствующего цилиндра имеет вид [24]: ; ; (13) ; , где a и b - пределы суммирования. Соответственно для компонент тензора напряжений имеют место следующие выражения: ; ; ; ; (14) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Здесь компоненты с верхним индексом pl соответствуют компонентам плоского вспомогательного состояния. В качестве плоских вспомогательных состояний используется плоская деформация и депланация, возникающие в сечениях цилиндра, имеющего в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости zy (направление плоскости zy) [24]: ; ; ; ; ; ; ; , где константы , и определены упругими параметрами материала; ; и - комплексные корни характеристического уравнения [24]; функции - аналитические по своим переменным. Придавая функциям поочередно значения: , (15) можно сгенерировать набор плоских вспомогательных состояний (15) и по зависимостям (13) и (14) построить совокупность пространственных состояний, образуя базис пространства внутренних состояний (5). 5. Решение задач Исследуется упругое равновесие трансверсально-изотропного кругового в плане цилиндра из горной породы алевролита крупного темно-серого [28]. После процедуры обезразмеривания параметров задачи, аналогия которой приведена в работе [30], упругие характеристики материала составили: ; ; ; ; . Цилиндр занимает область . При построении базиса внутренних состояний необходимо стремиться к наибольшей простоте вида функций, описывающих компоненты упруго поля. Рассмотрим сначала базис, формируемый из левых частей выражений (13) и пределами суммирования и (аналогично и для напряжений): ; (16) В данном случае задача будет разрешима, если на поверхностях тела компоненты заданных сил , , содержат тригонометрические функции , , соответственно, например: ; (17) В противном случае коэффициенты Фурье (12) будут равны нулю. Если формировать базис из правых частей выражений (13): ; ; , (18) то решение существует, если силы , , содержат тригонометрические функции , , соответственно. Если в выражениях (16) и (18) использовать пределы суммирования и , то для заданных поверхностных сил вида (17) решения не существует, в этом случае приближенное решение задачи ищется для заданных функций вида или . В случае, когда заданные силы имеют вид , (19) уже необходимо использовать выражения (13) в полной мере с пределами суммирования и . При этом возможно получение не только приближенных, но и строгих решений. Если при sin и cos в выражении (19) разные коэффициенты, например , , то решения не существует. Это связано с одинаковыми коэффициентами (единица) при соответствующих функциях в базисных выражениях (13), (14). В этом случае целесообразно воспользоваться принципом независимости действия сил и решить две отдельные задачи, в каждой из которых заданы и , а полученные упругие поля сложить. В случае, когда заданные силы зависят от или , , то в выражениях (13), (16), (18) необходимо использовать пределы суммирования . Для последнего случая и приведем пример решения задачи. Цилиндр жестко закреплен по верхнему торцу. На нижнем торце действуют усилия (рис. 2). Рис. 2. Граничные условия к задаче для цилиндра Fig. 2. Boundary conditions to the problem for a cylinder После процедуры ортонормирования и исключения линейно-зависимых элементов базисный набор для компонент вектора перемещения представлен в табл. 1 (показано 6 элементов). В табл. 1 и 2 истинное значение показанной величины равно показанному значению, умноженному на Усеченная до матрица коэффициентов (11) представлена в табл. 2 (i - строка, j - столбец). При решении использовался базис из 71 элемента. Приведем значения для восьми коэффициентов Фурье: ; ; ; ; ; ; ; . График, иллюстрирующий «насыщение» суммы Бесселя (левая часть неравенства Бесселя), представлен на рис. 3. Это является косвенным признаком сходимости решения. Искомые характеристики упругого поля определяются по зависимостям (9). Проверка результата и оценка точности осуществляются сопоставлением заданных ГУ с восстановленными граничными условиями в результате решения (рис. 4). Здесь и далее на графиках заданные () и восстановленные () ГУ изображены в масштабе. Например, истинное значение на левом Таблица 1/Table 1 Перемещения ортонормированного базиса () Displacements of an orthonormal basis () U v w 0 Таблица 2/Table 2 Матрица коэффициентов () Coefficients matrix () 1 1 1 1 1 1 1 1 Рис. 3. Сумма Бесселя Fig. 3. Bessel sum графике рис. 4 равно значению на графике, умноженному на коэффициент . С целью выявления максимальной погрешности, угол q выбран таким образом, чтобы тригонометрические функции имели максимальные значения. На рис. 5 показана верификация граничных условий в зависимости от угловой координаты q для ненулевых компонент заданной распределенной силы на поверхности . Характеристики полученного напряженно-деформированного состояния, имеющие полиномиальный вид, представлены в виде изолиний на рис. 6 (в явном виде необозримы). Истинное значение показанной величины равно соответствующему значению на изолиниях, умноженному на коэффициент . На изолиниях рис. 6, а, показана область . На рис. 6, b, показаны изолинии некоторых компонент тензора напряжений в зависимости от угловой координаты q. Показано сечение . Полученные компоненты упругого поля удовлетворяют всем уравнениям теории упругости для трансверсально-изотропного тела (1)-(4). Таким образом, в работе сформулирована методика решения неосесимметричных краевых задач смешанного типа для трансверсально-изотропных тел вращения в случае, когда ненулевые усилия или перемещения точек границы заданы по циклическому закону. Методика представляет собой развитие метода граничных состояний, а именно представлен новый способ формирования Рис. 4. Верификация граничных условий на участках поверхности Fig. 4. Verification of boundary conditions on surface areas Рис. 5. Верификация граничных условий на участке границы S2 в зависимости от угловой координаты Fig. 5. Verification of the boundary conditions at the border section S2 depending on the angular coordinate , , , , , , , , , , , , , , , , , а , , , , b Рис. 6. Изолинии компонент полученного упругого поля Fig. 6. Isolines of the components of the obtained elastic field базиса внутренних состояний, основанный на общем решении задачи о плоской деформации. Исследован прием декомпозиции базиса под условия конкретной задачи. Предложенная методика, однако, не является общей для любого класса рассматриваемых областей (односвязных и многосвязных). Скорость сходимости рядов зависит от граничных условий и условий внутри области, а так же от геометрии тела. Решение является аналитическим и имеет полиномиальный вид, что позволяет легко проводить анализ полученных характеристик напряженно-деформированного состояния.

About the authors

D. A Ivanychev

Lipetsk State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 320

PDF (Russian) - 111