METHOD FOR CALCULATING RESONANCES OF ACOUSTIC STRESSES AT THE BOUNDARIES OF AN ANISOTROPIC LAYER

Abstract


The conditions of occurrence of acoustic stress resonances at the boundaries of an anisotropic layer are investigated. In general, under the action of an incident elastic wave, six elastic waves are formed in an anisotropic layer. The total effect of these waves determines the stressstrain state of the layer and is displayed in the spectra of waves scattered by the layer into the environment. The scattering spectra and acoustic stresses were modeled by solving the equations of motion of a continuous medium and the generalized Hooke's law. This system of differential equations is solved with respect to the components of the displacement vector and the stress tensor in the Cartesian coordinate system. The Peano-Becker method of solving a system of differential equations by means of a matrix exponential is used. The components of the displacement vector and the stress tensor at two opposite boundaries of the layer with thickness d are expressed through each other using a sixth-order transfer matrix T = exp(Wd), where matrix W is determined by the parameters of the layer under study. The method of scaling and multiple squaring is used. According to this approach, T = (exp(Wd/m))m. A method for selecting the scaling parameter m is proposed to estimate the errors of truncation and rounding when calculating exp(Wd/m). A guaranteed accuracy and the best efficiency of calculations of all elements of the matrix exponential of the sixth order, in comparison with other known methods, is provided by the use of the method of polynomials of the principal minors of matrix W. The modeling of elastic wave scattering spectra (conversion coefficients) and stress dependences on the angles of incidence for cubic crystal layers is given using the example of indium. The interpretation of resonances of acoustic stresses arising in the crystal layer under the action of a shear wave incident on the crystal is given.

Full Text

Учёт напряжённо-деформированного состояния слоя твёрдой среды, возникающего в результате акусти- ческого воздействия, играет важную роль при проекти- ровании различных слоистых электроакустических и акустооптических преобразователей [1–5]. Распределе- ние напряжений в твердом слое зависит от вида воз- можных упругих волн. Стандартный подход к рассмотрению волновых про- цессов состоит в решении соответствующего волнового уравнения. Применительно к упругим волнам в анизо- тропной среде компоненты вектора смещения описывают- ся системой трёх дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Пример таких уравнений для кристалла кубической сингонии дан, например, в мо- нографии [10]. Эти уравнения содержат компоненты тен- зора упругой жёсткости и допускают аналитические ре- шения лишь для строго определённых кристаллографиче- ских направлений. В общем случае решение указанной системы уравнений может быть представлено через мат- ричные синусы и косинусы третьего порядка. Хотя фор- мально для собственных значений матриц третьего поряд- ка, определённых в действительной области значений, существуют аналитические решения, применение послед- них в случае комплексных коэффициентов исходных уравнений делает их применение неудобным из-за отсут- ствия непрерывной зависимости известных аналитических представлений (формулы Лагранжа – Сильвестра и Бекера [11], жорданова каноническая форма [12]) от исходной матрицы и поэтому требуется применение других числен- ных методов расчётов указанных функций матриц, напри- мер [13–19].

About the authors

Y. N. Belyayev

Moscow Polytechnic University

References

  1. Dieulesaint E., Royer D. Ondes élastiques dans les solides. Application au traitment du signal. – Paris: Masson, 1974. – 424 p
  2. Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики. – М.: Изд-во МИСИС, 2000. – 432 с.
  3. Rose J.L. Ultrasonic Guided Waves in Solid Media vol 9781107048. – New York: Cambridge University Press, 2014. – 506 p.
  4. Егоров Г.П., Волков А.А. Определение критического уровня внутренних напряжений в тонких пленках // Компози- ты и наноструктуры. – 2016. – Т. 8, № 3. – С. 187–203.
  5. Prakash S. Modulating optical properties of Lithium Niobate through acoustic stress // Material Today: Proceedings. – 2021. – Vol. 47. – P. 1535–1537. doi: 10.1016/j.matpr.2021.03.294
  6. Brekhovskikh L.M., Godin O.A. Acoustics of layered media. – Berlin: Springer-Verlag, 1990. – 416 p.
  7. Беляев Ю.Н. Метод расчёта акустических напряжений при шестилучевой дифракции в слоистых средах // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2018. – № 4. – С. 82–92. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.07
  8. Belyayev Yu.N. The method of polynomials of principal minors in calculations of acoustic stresses in an anisotropic layer // AIP Conference Proceedings. – 2018. – Vol. 2053. – P. 04008-1– 04008-4. doi: 10.1063/1.5084446
  9. Belyayev Y.N. Diffraction resonances of acoustic stresses in the crystal layer // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2019. – Vol. 581. – P. 012029. doi: 10.1088/1757-899X/581/1/012029
  10. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. – М.: Наука, 1978. – 791 с.
  11. Angot A. Compléments de mathématiques a l'usage des ingénieurs de l'élektrotechnique et des telecommunications. – Paris: Masson, 1982. – 868 p.
  12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
  13. Efficient and accurate algorithms for computing matrix trigonometric functions / P. Alonso, J. Ibánez, J. Sastre, J. Peinado, E. Defez // J. Comput. Appl. Math. – 2017. – Vol. 309. – P. 325– 332. doi: 10.1016/j.cam.2016.05.015
  14. On Bernoulli series approximation for the matrix cosine / E. Defez, J. Ibánez, J.M. Alonso, P. Alonso-Jordá // Math. Methods Appl. Sci. – 2020. – P. 1–15. doi: 10.1002/mma.7041
  15. An efficient and accurate algorithm for computing the matrix cosine based on new Hermite approximations / E. Defez, J. Ibánez, J. Peinado, J. Sastre, P. Alonso-Jordá // J. Comput. Appl. Math. – 2019. – Vol. 348. – P. 1–13. doi: 10.1016/j.cam.2018.08.047
  16. Two algorithms for computing the matrix cosine function / J. Sastre, J. Ibánez, P. Alonso, J. Peinado, E. Defez // Appl. Math. Comput. – 2017. – Vol. 312. – P. 66–77. doi: 10.1016/j.amc.2017.05.019
  17. Al-Mohy A.H. A truncated Taylor series algorithm for computing the action of trigonometric and hyperbolic matrix functions // SIAM J. Sci. Comput. – 2018. – Vol. 40. – P. A1696– A1713. doi: 10.1137/17M1145227
  18. Fast Taylor polynomial evaluation for the computation of the matrix cosine / J. Sastre, J. Ibánez, P. Alonso-Jordá, J. Peinado, E. Defez // J. Comput. Appl. Math. – 2019. – Vol. 354. – P. 641–650. doi: 10.1016/j.cam.2018.12.041
  19. Al-Mohy H., Higham N.J., Liu X. Arbitrary precision algorithms for computing the matrix cosine and its Frechet derivative // Siam J. Matrix Anal. Appl. – 2022. – Vol. 43. – P. 233–256. doi: 10.1137/21M1441043
  20. Aki K., Richards P.G. Quantitative seismology, Sausalito. – CA: University Science Books, 2002. – 700 p.
  21. Беляев Ю.Н. Симметрические многочлены в расчётах матриц переноса. – Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2015. – 209 с.
  22. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. – М.: ИЛ, 1953. – 346 с.
  23. Higham N.J. Functions of matrices. Theory and computations. – Philadelphia: SIAM, 2008. – 425 p.
  24. Accurate matrix exponential computation to solve coupled differential models in engineering / J. Sastre, J. Ibánez, E. Defez, P. Ruiz // Mathematical and computer modelling. – 2011. – Vol. 54. – P. 1835–1840. doi: 10.1016/j.mcm.2010.12.049
  25. New Scaling-Squaring Taylor Algorithms for Computing the Matrix Exponential / J. Sastre, J. Ibánez, E. Defez, P. Ruiz // SIAM J. Sci. Comput. – 2015. – Vol. 37. – P. A439-A455. doi: 10.1137/090763202
  26. Sastre J., Ibánez J., Defez E. Boosting the computation of the matrix exponential // Applied mathematics and computation. – 2019. – Vol. 340. – P. 206–220. doi: 10.1016/j.amc.2018.08.017
  27. Caliari M., Zivcovich F. On-the-fly backward error estimate for matrix exponential approximation by Taylor algorithm // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 346. – P. 532–548. doi: 10.1016/j.cam.2018.07.025
  28. Belyayev Y.N. Method for calculating multiwave scattering by layered anisotropic media // Wave Motion. – 2020. – Vol. 99. – P. 102664. doi: 10.1016/j.wavemoti.2020.102664
  29. Беляев Ю.Н. К вычислению функций матриц // Ма- тематические заметки. – 2013. – Т. 94. – С. 175–182. doi: 10.4213/mzm9345
  30. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1970. – 856 с.
  31. Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния рентгеновских лучей. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 278 с.

Statistics

Views

Abstract - 180

PDF (Russian) - 71

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Belyayev Y.N.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies