МЕТОД РАСЧЁТОВ РЕЗОНАНСОВ АКУСТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ГРАНИЦАХ АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ

Аннотация


Исследуются условия возникновения резонансов акустических напряжений на грани- цах анизотропного слоя. В общем случае под действием падающей упругой волны в анизо- тропном слое формируются шесть упругих волн. Суммарное воздействие этих волн опреде- ляет напряженно-деформированное состояние слоя и отображается в спектрах волн, рассе- янных слоем в окружающую среду. Моделирование спектров рассеяния и акустических напряжений проводилось путём решения уравнений движений сплошной среды и обобщен- ного закона Гука. Эта система дифференциальных уравнений решается относительно ком- понент вектора смещения и тензора напряжений в декартовой системе координат. Развивается метод Пеано – Бекера решения системы дифференциальных уравнений с помощью матричной экспоненты. Компоненты вектора смещений и тензора напряжений на двух противоположных границах слоя толщиной d выражаются друг через друга с по- мощью матрицы переноса шестого порядка T = exp(Wd), где матрица W определяется параметрами исследуемого слоя. Используется метод масштабирования и кратного квад- рирования, согласно которому T = (exp(Wd/m))m, Предложен метод выбора параметра масштабирования m для оценки погрешностей усечения и округления при вычислении exp(Wd/m). Гарантированная точность и наилучшая эффективность вычислений всех эле- ментов матричной экспоненты шестого порядка, в сравнении с другими известными мето- дами, обеспечивается применением метода многочленов главных миноров матрицы W. Приведено моделирование спектров рассеяния упругих волн (коэффициентов преоб- разований) и зависимостей напряжений от углов падения для слоев кристалла кубической сингонии на примере индия. Дана интерпретация резонансов акустических напряжений, возникающих в кристаллическом слое под действием падающей на кристалл сдвиговой волны.

Полный текст

Учёт напряжённо-деформированного состояния слоя твёрдой среды, возникающего в результате акусти- ческого воздействия, играет важную роль при проекти- ровании различных слоистых электроакустических и акустооптических преобразователей [1–5]. Распределе- ние напряжений в твердом слое зависит от вида воз- можных упругих волн. Стандартный подход к рассмотрению волновых про- цессов состоит в решении соответствующего волнового уравнения. Применительно к упругим волнам в анизо- тропной среде компоненты вектора смещения описывают- ся системой трёх дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Пример таких уравнений для кристалла кубической сингонии дан, например, в мо- нографии [10]. Эти уравнения содержат компоненты тен- зора упругой жёсткости и допускают аналитические ре- шения лишь для строго определённых кристаллографиче- ских направлений. В общем случае решение указанной системы уравнений может быть представлено через мат- ричные синусы и косинусы третьего порядка. Хотя фор- мально для собственных значений матриц третьего поряд- ка, определённых в действительной области значений, существуют аналитические решения, применение послед- них в случае комплексных коэффициентов исходных уравнений делает их применение неудобным из-за отсут- ствия непрерывной зависимости известных аналитических представлений (формулы Лагранжа – Сильвестра и Бекера [11], жорданова каноническая форма [12]) от исходной матрицы и поэтому требуется применение других числен- ных методов расчётов указанных функций матриц, напри- мер [13–19].

Об авторах

Ю. Н. Беляев

Московский политехнический университет

Список литературы

  1. Dieulesaint E., Royer D. Ondes élastiques dans les solides. Application au traitment du signal. – Paris: Masson, 1974. – 424 p
  2. Блистанов А.А. Кристаллы квантовой и нелинейной оптики. – М.: Изд-во МИСИС, 2000. – 432 с.
  3. Rose J.L. Ultrasonic Guided Waves in Solid Media vol 9781107048. – New York: Cambridge University Press, 2014. – 506 p.
  4. Егоров Г.П., Волков А.А. Определение критического уровня внутренних напряжений в тонких пленках // Компози- ты и наноструктуры. – 2016. – Т. 8, № 3. – С. 187–203.
  5. Prakash S. Modulating optical properties of Lithium Niobate through acoustic stress // Material Today: Proceedings. – 2021. – Vol. 47. – P. 1535–1537. doi: 10.1016/j.matpr.2021.03.294
  6. Brekhovskikh L.M., Godin O.A. Acoustics of layered media. – Berlin: Springer-Verlag, 1990. – 416 p.
  7. Беляев Ю.Н. Метод расчёта акустических напряжений при шестилучевой дифракции в слоистых средах // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2018. – № 4. – С. 82–92. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.07
  8. Belyayev Yu.N. The method of polynomials of principal minors in calculations of acoustic stresses in an anisotropic layer // AIP Conference Proceedings. – 2018. – Vol. 2053. – P. 04008-1– 04008-4. doi: 10.1063/1.5084446
  9. Belyayev Y.N. Diffraction resonances of acoustic stresses in the crystal layer // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2019. – Vol. 581. – P. 012029. doi: 10.1088/1757-899X/581/1/012029
  10. Киттель Ч. Введение в физику твёрдого тела. – М.: Наука, 1978. – 791 с.
  11. Angot A. Compléments de mathématiques a l'usage des ingénieurs de l'élektrotechnique et des telecommunications. – Paris: Masson, 1982. – 868 p.
  12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
  13. Efficient and accurate algorithms for computing matrix trigonometric functions / P. Alonso, J. Ibánez, J. Sastre, J. Peinado, E. Defez // J. Comput. Appl. Math. – 2017. – Vol. 309. – P. 325– 332. doi: 10.1016/j.cam.2016.05.015
  14. On Bernoulli series approximation for the matrix cosine / E. Defez, J. Ibánez, J.M. Alonso, P. Alonso-Jordá // Math. Methods Appl. Sci. – 2020. – P. 1–15. doi: 10.1002/mma.7041
  15. An efficient and accurate algorithm for computing the matrix cosine based on new Hermite approximations / E. Defez, J. Ibánez, J. Peinado, J. Sastre, P. Alonso-Jordá // J. Comput. Appl. Math. – 2019. – Vol. 348. – P. 1–13. doi: 10.1016/j.cam.2018.08.047
  16. Two algorithms for computing the matrix cosine function / J. Sastre, J. Ibánez, P. Alonso, J. Peinado, E. Defez // Appl. Math. Comput. – 2017. – Vol. 312. – P. 66–77. doi: 10.1016/j.amc.2017.05.019
  17. Al-Mohy A.H. A truncated Taylor series algorithm for computing the action of trigonometric and hyperbolic matrix functions // SIAM J. Sci. Comput. – 2018. – Vol. 40. – P. A1696– A1713. doi: 10.1137/17M1145227
  18. Fast Taylor polynomial evaluation for the computation of the matrix cosine / J. Sastre, J. Ibánez, P. Alonso-Jordá, J. Peinado, E. Defez // J. Comput. Appl. Math. – 2019. – Vol. 354. – P. 641–650. doi: 10.1016/j.cam.2018.12.041
  19. Al-Mohy H., Higham N.J., Liu X. Arbitrary precision algorithms for computing the matrix cosine and its Frechet derivative // Siam J. Matrix Anal. Appl. – 2022. – Vol. 43. – P. 233–256. doi: 10.1137/21M1441043
  20. Aki K., Richards P.G. Quantitative seismology, Sausalito. – CA: University Science Books, 2002. – 700 p.
  21. Беляев Ю.Н. Симметрические многочлены в расчётах матриц переноса. – Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2015. – 209 с.
  22. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. – М.: ИЛ, 1953. – 346 с.
  23. Higham N.J. Functions of matrices. Theory and computations. – Philadelphia: SIAM, 2008. – 425 p.
  24. Accurate matrix exponential computation to solve coupled differential models in engineering / J. Sastre, J. Ibánez, E. Defez, P. Ruiz // Mathematical and computer modelling. – 2011. – Vol. 54. – P. 1835–1840. doi: 10.1016/j.mcm.2010.12.049
  25. New Scaling-Squaring Taylor Algorithms for Computing the Matrix Exponential / J. Sastre, J. Ibánez, E. Defez, P. Ruiz // SIAM J. Sci. Comput. – 2015. – Vol. 37. – P. A439-A455. doi: 10.1137/090763202
  26. Sastre J., Ibánez J., Defez E. Boosting the computation of the matrix exponential // Applied mathematics and computation. – 2019. – Vol. 340. – P. 206–220. doi: 10.1016/j.amc.2018.08.017
  27. Caliari M., Zivcovich F. On-the-fly backward error estimate for matrix exponential approximation by Taylor algorithm // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 346. – P. 532–548. doi: 10.1016/j.cam.2018.07.025
  28. Belyayev Y.N. Method for calculating multiwave scattering by layered anisotropic media // Wave Motion. – 2020. – Vol. 99. – P. 102664. doi: 10.1016/j.wavemoti.2020.102664
  29. Беляев Ю.Н. К вычислению функций матриц // Ма- тематические заметки. – 2013. – Т. 94. – С. 175–182. doi: 10.4213/mzm9345
  30. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1970. – 856 с.
  31. Иверонова В.И., Ревкевич Г.П. Теория рассеяния рентгеновских лучей. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. – 278 с.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 122

PDF (Russian) - 43

Cited-By


PlumX


© Беляев Ю.Н., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах