Полный текст

Введение Изучение физико-механических характеристик грунтовых сред при динамическом нагружении ведется достаточно давно. Разработанные методики плосковолнового эксперимента позволяют определять ударную адиабату сухого и влажного грунта [1-4], характеризующую динамическую сжимаемость среды в диапазоне нагрузок до нескольких гигапаскалей. Экспериментальное определение наряду с деформационными и прочностных характеристик грунтовых сред проводится при одновременном определении компонент тензоров напряжений и деформаций как функций времени в рамках модифицированной методики Кольского [5-7], но при существенно меньших давлениях, ограниченных пределом упругости мерных стержней. Расширяет возможности динамических испытаний методика обращенного эксперимента [8, 9], позволяющая наряду с максимальным значением силы сопротивления внедрению ударников определять также и квазистационарные значения [10, 11]. В работах [12, 13] показано, что сдвиговые характеристики грунтовых сред коррелируют со значениями силы сопротивления на квазистационарной стадии внедрения, что позволяет идентифицировать прочностные (упругопластические) характеристики грунтовых сред. В данной работе проводится численный анализ применимости методики обращенного эксперимента к исследованию динамической сжимаемости и сопротивления сдвигу водонасыщенного грунта. 1. Постановка задачи Рассматривается задача о нагружении кругового цилиндра (мерного стержня) радиусом а импульсом сжатия, приложенным к его торцу, боковая поверхность и другой торец цилиндра свободны от нормальных и касательных напряжений. Материал стержня-цилиндра характеризуется упругими постоянными: модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона и плотностью . Сжимаемость грунта отражается ударной адиабатой [1-3], представленной линейной зависимостью скорости ударной волны от массовой скорости за ее фронтом: (1) Константа близка к скорости распространения плоской волны сжатия в грунте при малых давлениях, характеризует предельную сжимаемость грунта [1]. Сжимаемость сухого и влажного грунта описывается также моделью многокомпонентной среды [2, 3]: , , (2) где - объемные концентрации свободной пористости (и защемленного воздуха), жидкости (воды), кварца; и , - плотности и скорости распространения продольных волн, соответствующих в компонентах; - плотность и давление смеси; - их начальные значения. Значения констант уравнения (2) приведены в табл. 1 Таблица 1 Параметры модели многокомпонентной грунтовой среды Table 1 Parameters of multicomponent soil model i , кг/м3 , МПа , м/с 1 1.3 102.5 1.4 - 2 1000 304.5 7.15 1475 3 2650 9118.7 4 3710 С использованием модели многокомпонентной среды (2) и уравнения (1) как аппроксимации в зависимости от содержания воды были получены следующие значения констант ударной адиабаты сухого, влажного и водонасыщенного грунта ( + =1 - = 0,34 для всех типов грунта). Динамические процессы, протекающие в обращенном эксперименте при скоростях соударения более 200 м/с, с достаточной точностью моделируют движение ударника с постоянной скоростью в грунтовой среде [10, 11]. Ранее показано [11], что при таких скоростях удара полученные в эксперименте значения импульсов силы с погрешностью Таблица 2 Параметры ударной адиабаты грунтовой среды Table 2 Shock adiabat parameters of soil № , Влажность, % , м/с 1 0,010 1750 0,1 455 2,3 2 0,175 1925 10 650 3,4 3 0,330 2079 18,9 1480 4,0 Рис. 1. Силы сопротивления внедрению цилиндрического ударника с постоянной скоростью 200 м/с в сухой (1), влажный (2) и водонасыщенный (3) песчаный грунт (получены численно) Fig. 1. Resistance forces by penetration of cylindrical striker with a constant velocity of 200 m/s in the dry (1), humid (2) and water saturation (3) sandy soil (obtained numerically) менее 5 % будут соответствовать силе сопротивления внедрению жесткого ударника с постоянной скоростью в полупространство грунта. На рис. 1 кривыми 1-3 показаны полученные численно зависимости от времени силы сопротивления внедрению жесткого цилиндрического ударника, двигающегося с постоянной скоростью 200 м/с, в сухом, влажном и водонасыщенном песчаном грунте соответственно. Отметим меньшую длительность нестационарной стадии импульса силы во влажном грунте по сравнению с сухим грунтом. Это является следствием того, что скорость распространения плоской волны в грунте растет с увеличением водонасыщения, растет также и скорость волны разгрузки. Отмечается также меньший уровень силы сопротивления, соответствующий квазистационарной стадии. 2. Расчетные формулы для численных экспериментов Процесс распространения импульсов сжатия, образующихся при ударе о торец мерного стержня контейнера с водонасыщенным и сухим песчаным грунтом далее исследуется численно. Целью исследования является анализ погрешности определения усилия, действующего на ударник, по значениям импульса деформации на поверхности мерного стержня. Источник погрешности связан с искажением формы импульса за счет дисперсии при распространении его в мерном стержне, что отмечено еще Г. Кольским [14], Р. Дейвисом [15] и другими авторами. Разработаны методики эксперимента с использованием системы разрезных стержней Гопкинсона [5, 6, 16-22], которые включают поправки на дисперсию для коррекции формы импульса, основанные на точном решении Похгаммера-Кри для бесконечного упругого цилиндра и применении прямого и обратного преобразований Фурье. В эксперименте импульс деформаций на поверхности мерного стержня представлен в дискретном виде набором точек , , , где - шаг дискретизации. Дискретное преобразование Фурье записывается следующим образом: где и , - амплитуды и фазы гармоник ряда Фурье. Влияние дисперсии учитывается [17-22] сдвигом по частоте на величину в каждой гармонике: , . Значения определяются из решений дисперсионного уравнения [14], связывающего фазовую скорость и длину волны Здесь - волновое число; - параметр Ламэ; - модуль сдвига; ; ; ; - скорости продольной и сдвиговой волны; , - функции Бесселя. Значения силы сопротивления рассчитываются по модифицированным формулам (3) Известны также модификации методики восстановления импульса, основанные на точном решении Р. Дейвиса задачи о распространении продольной гармонической волны в упругом круговом цилиндре с учетом неравномерности распределения деформаций вдоль поперечного сечения [23-25]. В этом случае корректируются также коэффициенты разложения (4) , , , , , , Умножение каждой гармоники ряда на множитель преобразует деформацию на поверхности мерного стержня в среднюю по поперечному сечению деформацию, введение множителя позволяет рассчитать среднее напряжение [23]. 3. Результаты численных расчетов Для численного решения распространения упругого импульса в стержне применяется явная разностная схема Уилкинса второго порядка точности [26] с использованием процедуры консервативного сжатия [27, 28]. Параметры мерного стержня следующие: радиус а = 0,01025 м; модуль Юнга Е = 186 ГПа; коэффициент Пуассона = 0,3; плотность = 8050 кг/м3; предел текучести 2 ГПа. На рис. 2 представлены зависимости от времени деформации на поверхности мерного стержня в окрестности торца (кривая 1), на расстоянии = 1 м от его торца (кривая 2), кривая 3 соответствует решению, «восстановленному» по формуле (4) (см. также [23-25]). Исходный импульс деформации, обозначенный кривой 1 на рис. 2, получен при ударном взаимодействии стержня с контейнером с водонасыщенным грунтом. Отметим более чем двукратное уменьшение амплитуды импульса 2 при распространении его на расстояние 1 м от торца, ошибка в определении амплитуды импульса 3 после коррекции составляет около 60 %. Квазистационарное значение, устанавливающееся после 20 мкс, можно определить достаточно точно. На рис. 3 представлены аналогичные результаты, соответствующие расчету процесса взаимодействия мерного стержня с сухим песчаным грунтом (обозначения, как на рис. 2). Отметим наличие колебаний в импульсе 2, существенно уменьшившихся после корректировки по формуле (4), и практическое отсутствие ошибки как в определении максимальной амплитуды импульса, так и его квазистационарного значения. Проанализируем распределение деформаций вдоль поперечного сечения мерного стержня. На рис. 4 в полулогарифмической шкале представлены амплитудно-частотные характеристики распространяющихся импульсов деформаций. Кривая 1 соответствует точному решению (заданному граничному условию), кривые 2, 3 представляют спектры импульсов деформаций на оси симметрии и на поверхности стержня, кривая 4 - спектр импульса после корректировки по формуле (4) соответствует среднему по сечению значению. Отмечается близость кривых 1 и 4 до значений частоты 140 кГц, после которого наблюдается расхождение кривых. Это расхождение и приводит к ошибкам в восстановлении значения силы сопротивления внедрению в водонасыщенный грунт. Рис. 2. Импульс деформации в мерном стержне (водонасыщенный грунт) Fig. 2. Impulse of strain in the measuring rod (water-saturated soil) Рис. 3. Импульс деформации в мерном стержне (сухой песок) Fig. 3. Impulse of strain in the measuring rod (dry sand) Спектры импульсов деформаций для сухого песка показаны на рис. 5 (обозначения осей и кривых, как на рис. 4). Наблюдается качественно подобная картина с обращением в нуль амплитуды импульса продольных деформаций на оси симметрии стержня при том же значении частоты 140 кГц, однако амплитуды гармоник, соответствующих более высоким частотам более чем на два порядка меньше по величине, что не приводит к существенным ошибкам. Значение частоты 140 кГц является критическим, так как при этом значении в формулах (4) обращается в ноль знаменатель коэффициента . Рис. 4. Спектр импульса деформации (водонасыщенный грунт) Fig. 4. The spectrum of strain pulse (water-saturated soil) Рис. 5. Спектр импульса деформации (сухой песок) Fig. 5. The spectrum of the strain pulse (dry sand) На рис. 6 приведена относительная ошибка в определении максимального значения силы сопротивления внедрению в зависимости от длительности нестационарной стадии импульса на торце мерного стержня. Кривая 1 соответствует импульсу деформаций на поверхности мерного стержня на расстоянии 1 м от торца, кривая 2 получена с поправкой на дисперсию по формуле (3), кривая 3 - с дополнительным учетом неравномерности распределения деформаций по сечению стержня по формуле (4). Рис. 6. Относительная ошибка в определении максимального значения силы сопротивления Fig. 6. The relative error in the determination of the maximum value of drag force По результатам численных расчетов получено, что длительность нестационарной стадии импульса сжатия в полностью водонасыщенном грунте не превышает 5-6 мкс, в сухом песке - около 15 мкс (см. рис. 1). Таким образом, относительная погрешность, ошибка в определении максимума силы сопротивления внедрению пропорциональна влажности и для водонасыщенного грунта составит не менее 60% (см. рис. 6). Заключение Полученное значение частоты 140 кГц является критическим для выбранного значения радиуса стержня а = 0,01025 м и коэффициента Пуассона = 0,3. Данное значение может быть увеличено применением стержня меньшего радиуса, однако техническая реализация подобного варианта методики обращенного эксперимента может столкнуться с новыми трудностями, связанными с необходимостью достаточной представительности отношения диаметра стержня к размеру частиц песка, обеспечения устойчивости стержня и др. Еще раз заметим, что квазистационарное значение силы сопротивления внедрению после введения поправок на дисперсию определяется с приемлемой точностью, что позволяет рекомендовать данную экспериментальную методику для определения сдвиговых свойств водонасыщенных грунтов [12, 13].

Об авторах

В Л Котов

Научно-исследовательский институт механики Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Email: vkotov@inbox.ru

Вл В Баландин

Научно-исследовательский институт механики Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Email: balandin@mech.unn.ru

Вл Вл Баландин

Научно-исследовательский институт механики Национального исследовательского Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского

Email: rustydog2007@yandex.ru

Список литературы

Статистика

Просмотры

Аннотация - 136

PDF (Russian) - 105