МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОЙ УПРУГОПОРИСТОЙ ОБЛАСТИ В КЛАССЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА)

Аннотация


При моделировании фильтрации жидкости в пористой среде принято считать коэф- фициент фильтрации постоянным, в результате чего решение упрощается и сводится к краевой задаче для уравнения Лапласа. В настоящей работе строятся с помощью обоб- щенного дискретного преобразования Фурье почти-периодические по Бору аналитические решения плоской задачи установившейся фильтрации жидкости в упругопористой кусочно- неоднородной области. Область представляет собой полосу, состоящую нескольких слоев (полос) с различными упругими и фильтрационными характеристиками. В предположении, что коэффициент фильтрации упругопористой среды зависит от первого инварианта тен- зора напряжений, считаем его линейно-зависимым от координаты, изменяющейся вдоль ширины полосы. Задача фильтрации сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными условиями на верхней и ниж- ней границах всей многослойной полосы и условиями на внутренних линиях раздела сред, которая, в свою очередь, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя. Все решения в данной работе получены в виде абсолютно сходящихся рядов Бора – Фурье, коэффициенты которых выражаются через заданные функции. Смоделирована фильтрация жидкости в трехслойной полосе, состоя- щей из слоев различных легких и достаточно упругопористых осадочных и магматических горных пород. Построены графики искомых механических параметров. Показана их сходи- мость к граничным условиям и условиям на линиях раздела сред. В работе также приведены основные сведения, касающиеся свойств почти- периодических функций и обобщенного дискретного преобразования Фурье, необходимые для более детального понимания проблемы.

Полный текст

Решение задачи установившейся фильтрации жид- кости в среде с постоянным коэффициентом фильтра- ции сводится к нахождению гармонической функции по ее граничным условиям и не представляет никаких сложностей. Достаточно подробно фильтрация в порис- тых, как правило, дисперсных средах изучена в работах [1–8], где предложен ряд методов (аналитических или численных) решения задачи в однородных и неодно- родных пластах. И, действительно, говоря о фильтра- ции, как правило, складывается представление о движе- нии жидкости в грунтах. Но жидкость способна прони- кать под действием гидравлического напора даже в упругие слабо пористые тела. Это подтверждается в работах [9; 10]. Например, при разработке угольных пластов для извлечения из кливажей метана применяют закачку под давлением воды с последующей откачкой, в результате чего изменяются свойства угля, и он может закупорить кливажи и затруднить извлечение газа [11]. Схожая проблема возникает при сооружении и эксплуа- тации глубинных построек [12]. Ввиду того, что скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемой среде выше скорости фильтрации, то изменение напряженного состояния упругой среды повлечет изменение коэффициента фильтрации. В работе [13] автором была выдвинута и доказана гипотеза о зависимости коэффициента фильт- рации от первого инварианта тензора напряжений. На самом деле зависимость водопроницаемости среды от возникающих на границе среды нагрузок – факт до- вольно известный, проверенный экспериментально. Однако этот вопрос рассматривается, как правило, в контексте сжимаемости грунтов, который обусловлива- ется фильтрационной консолидацией и «переупаков- кой» частиц [14; 15]. На практике используются лабора- торно полученные значения коэффициентов фильтра- ции, которые могут не соответствовать реальным значениям и не давать математического описания среды в целом. В работах автора [13; 36] предложена четкая постановка краевой задачи фильтрации жидкости в сре- де с переменным коэффициентом фильтрации, как ли- нейной функции от первого инварианта тензора напря- жения. В упругопористых средах изменение коэффици- ента фильтрации будет происходить за счет изменения объема порового пространства. Таким образом, задачу можно свести к последовательному рассмотрению сна- чала напряженного состояния среды, а затем к решению задачи фильтрации с переменным коэффициентом фильтрации. В данной работе сделаны предположения, в рамках которых коэффициент фильтрации в плоской задаче линейно зависит от вертикальной координаты. В данной работе решается плоская задача устано- вившейся фильтрации в кусочно-неоднородной упруго-пористой области, представляющей горизонтальную полосу, состоящую из нескольких слоев – полос с раз- личными упругими свойствами и различными линей- ными по вертикальной координате коэффициентами фильтрации. Математическая постановка предполагает решение системы дифференциальных уравнений в ча- стных производных с заданием на внешних границах многослойной полосы граничных условий и дополни- тельных условий на внутренних линиях раздела слоев. Поставленная задача решается в классе почти- периодических по Бору функций [16; 17] с помощью обобщенного дискретного преобразования (ОДФ), вве- денного и изученного в [18; 19]. Построенный алгоритм представляет собой аналитический метод решения ши- рокого класса задач математической физики. В работе [20] был описан алгоритм построения почти- периодических в смысле Бора решений краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, а в [21] – проиллюстри- рован алгоритм на задаче установившейся фильтрации в пористой среде с постоянным коэффициентом фильтра- ции. В настоящей работе построены почти- периодические в смысле Бора решения краевых задач для уравнений в частных производных произвольного порядка, в том числе с переменными коэффициентами применительно к моделированию установившейся фильтрации жидкости в кусочно-неоднородной среде. Довольно часто задачи математической физики ре- шаются либо численно [22–27], либо аналитически с помощью преобразования Фурье, когда решения их за- писываются в виде интегралов Фурье, что вызывает большие вычислительные трудности [28–33]. В данной работе решения получены в виде абсолютно сходящих- ся рядов Бора – Фурье, коэффициенты которых выра- жаются через заданные функции. Между теорией периодических и почти-периоди- ческих функций есть много общего. Однако класс поч- ти-периодических функций гораздо шире, и, в отличие от периодических, для почти-периодических функций показатели Фурье могут иметь предельные точки на конечном расстоянии и лежать всюду плотно.

Об авторах

Е. А. Микишанина

Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова

Список литературы

  1. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. – Казань: издательство Казанского университета, 1972. – 195 с.
  2. Bashurov V.V., Vaganova N.A., Filimonov M.Y. Numerical simulation of thermal conductivity processes with fluid filtration in soil // Computational technologies. – 2011. – Vol. 16, no. 4. – P. 3–18.
  3. Ravshanov N., Kurbonov N., Mukhamadiev A. An Approximate Analytical Solution of the Problem of Fluid Filtration in the Multilayer Porous Medium // International Journal of Computational Methods. – 2016. – Vol. 13, no. 6. – P. 1–10. doi: 10.1142/S0219876216500420
  4. Badriev I.B., Banderov V.V., Signatullin M.Y. Numerical investigation of nonlinear filtration problems of high-viscosity fluids in porous media // Applied Mechanics and Materials. – 2015. – Vol. 740. – P. 672–675.
  5. Mikishanina E. The Study of Fluid Filtration through Elastic-Porous Materials // Materials Science and Engineering. – 2020. – Vol. 753. – P. 022025. doi: 10.1088/1757- 899X/753/2/022025
  6. Леонтьев Н.В. Основы теории фильтрации. – М.: МАКС Пресс, 2017. – 88 с.
  7. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через по- ристые среды. – М.: Гостоптехиздат, 1960. – 252 с.
  8. Polubarinova-Kochina P. Ya. Theory of Filtration of Liquids in Porous Media // Advances in Applied Mechanics. – 1951. – Vol. 2. – P. 153–225. doi: 10.1016/S0065-2156(08)70301-6
  9. Binshan Ju, Yushu Wu, Tailiang Fan. Study on fluid flow in nonlinear elastic porous media: Experimental and modeling approaches // Journal of Petroleum Science and Engineering. – 2011. – Vol. 76, no. 3–4. – P. 205–211. doi: 10.1016/j.petrol.2011.01.010
  10. Showalter R.E. Poroelastic filtration coupled to Stokes flow // Control theory of partial differential equations. – Chapman and Hall/CRC. – 2005. – P. 243–256.
  11. Метан угольных пластов: чистая энергия для всего мира / Д. Боскович [и др.] // Нефтегазовое обозрение. – 2009. – Т. 21, № 2. – С. 4–17.
  12. Terntiev A.G. Deep water technology: problem and solution // World Maritime Technology Conf. – Saint-Petersburg, 2012. – P. 1–7.
  13. Микишанина Е.А. Исследование коэффициента фильтрации упругопористой среды при плоской деформации // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2019. – Т. 29, № 3. – С. 396–407. doi: 10.20537/vm190309
  14. Цытович Н.А. Механика грунтов. – М.: Высшая школа, 1979. – 272 с.
  15. Chernyshev S.N., Zommer T.V., Lavrusevich A.A. Calculation methodology for defining the filtration coefficient of a rock mass with loose crack filler // Power Technology and Engineering. – 2017. – Vol. 51. – P. 414–417. doi: 10.1007/s10749-017-0848-2
  16. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. – М.: ГИТТЛ, 1953. – 396 с.
  17. Осипов В.Ф. Почти-периодические функции Бора- Френеля. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского госу- дарственного университета, 1952. – 308 с.
  18. Кулагина М.Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами // Изв. вузов. Математика. – 1992. – № 3. – С. 18–23.
  19. Кулагина М.Ф. Об интегральных уравнениях в сред- них значениях в пространствах почти-периодических функций // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 8. – С. 19–29.
  20. Кулагина М.Ф., Микишанина Е.А. Построение почти- периодических решений некоторых систем дифференциаль- ных уравнений // Математические заметки СВФУ. – 2015. – Т. 5, № 3. – С. 11–19.
  21. Микишанина Е.А. Построение почти-периодических решений некоторых систем диффеенциальных уравнений в задачх теории фильтрации // Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2016). – УФА, 2016. – C. 138–141.
  22. Терентьев А.Г., Казакова А.О, Микишанина Е.А. Чис- ленное решение полигармонических уравнений в механике сплошных сред // Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2018). – УФА, 2018. – C. 34–42.
  23. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2012. – Т. 52, № 11. – С. 2050–2059.
  24. Garcia A.L. Numerical methods for physics. – Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2000. – 423 p.
  25. Stakgold I. Boundary Value Problems of Mathematical Physics. – Vol. 1. Society for Industrial and Applied Mathematics. – 2000. doi: 10.10631/1.30340864
  26. Polozhii G.N. The method of summary representation for numerical solution of problems of mathematical physics. – Elsevier, 1965(2014). doi: 10.2307/2003491
  27. Микишанина Е.А. Краевые задачи для неоднородных систем полигармонических уравнений с приложениями в теории тонких оболочек и пластин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2019. – № 4. – С. 136–144. doi: 10.15593/perm.mech/2019.4.13
  28. Снеддон И.Н. Преобразование Фурье / под. ред. Ю.Л. Рабиновича. – М.: Издательство иностранной литературы, 1955. – 667 с.
  29. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 с.
  30. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математи- ческой физики. – М.: Наука, 1977. – 632 с.
  31. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1968. – 402 с.
  32. Debnath L., Bhatta D. Integral transforms and their applications. – Chapman and Hall/CRC, 2006. 728 p. doi: 10.1201/9781420010916
  33. Zhdanov M.S. Integral transforms in geophysics. – Springer Science Business Media, 2012. – 367 p.
  34. Баденко В.Л., Баденко Г.В. Специальные разделы высшей математики. Математическая физика: учеб. пособие. – СПб., 2014. – 55 с.
  35. Olver F.W.J., Maximon L.C. Bessel functions // NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge. – 2010. – P. 215–286 (Chapter 10).
  36. Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Об определении напряженного состояния упруго-пористой среды // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 204–215.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 48

PDF (Russian) - 49

Cited-By


PlumX


© Микишанина Е.А., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах