MODELING OF STEADY-STATE LIQUID FILTRATION IN A PIECEWISE INHOMOGENEOUS ELASTIC-POROUS MEDIUM IN THE CLASS OF ALMOST-PERIODIC FUNCTIONS (PLANE PROBLEM)

Abstract


When modeling liquid filtration in a porous medium, it is assumed that the filtration coefficient is constant, as a result of which the solution is simplified and reduced to a boundary value problem for the Laplace equation. In this paper, the almost periodic of Bohr analytical solutions of the plane problem of steady-state liquid filtration in an elastic – porous piecewise inhomogeneous domain are constructed using a generalized discrete Fourier transform . The domain is a strip consisting of several layers (strips) with different elastic and filtration parameters. Assuming that the filtration coefficient of an elastic-porous medium depends on the first invariant of the stress tensor, we consider it linearly dependent on the coordinate varying along the bandwidth. The filtration problem is reduced to solving a system of partial differential equations with specified boundary conditions on the upper and lower boundaries of the entire multilayer strip and conditions on the internal lines of the media interface, which in turn is reduced to solving the Cauchy problem for a system of Bessel ordinary differential equations. All solutions in this paper are obtained in the form of absolutely convergent Bohr-Fourier series, the coefficients of which are expressed in terms of given functions. Fluid filtration in a three-layer strip consisting of various light and sufficiently elastic-porous sedimentary and igneous rock layers is modeled. Graphs of the desired mechanical parameters are constructed. Their convergence to boundary conditions and conditions on the interface lines of media is shown. The paper also provides basic information concerning the properties of almost-periodic functions and the generalized discrete Fourier transform necessary for a more detailed understanding of the problem.

Full Text

Решение задачи установившейся фильтрации жид- кости в среде с постоянным коэффициентом фильтра- ции сводится к нахождению гармонической функции по ее граничным условиям и не представляет никаких сложностей. Достаточно подробно фильтрация в порис- тых, как правило, дисперсных средах изучена в работах [1–8], где предложен ряд методов (аналитических или численных) решения задачи в однородных и неодно- родных пластах. И, действительно, говоря о фильтра- ции, как правило, складывается представление о движе- нии жидкости в грунтах. Но жидкость способна прони- кать под действием гидравлического напора даже в упругие слабо пористые тела. Это подтверждается в работах [9; 10]. Например, при разработке угольных пластов для извлечения из кливажей метана применяют закачку под давлением воды с последующей откачкой, в результате чего изменяются свойства угля, и он может закупорить кливажи и затруднить извлечение газа [11]. Схожая проблема возникает при сооружении и эксплуа- тации глубинных построек [12]. Ввиду того, что скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемой среде выше скорости фильтрации, то изменение напряженного состояния упругой среды повлечет изменение коэффициента фильтрации. В работе [13] автором была выдвинута и доказана гипотеза о зависимости коэффициента фильт- рации от первого инварианта тензора напряжений. На самом деле зависимость водопроницаемости среды от возникающих на границе среды нагрузок – факт до- вольно известный, проверенный экспериментально. Однако этот вопрос рассматривается, как правило, в контексте сжимаемости грунтов, который обусловлива- ется фильтрационной консолидацией и «переупаков- кой» частиц [14; 15]. На практике используются лабора- торно полученные значения коэффициентов фильтра- ции, которые могут не соответствовать реальным значениям и не давать математического описания среды в целом. В работах автора [13; 36] предложена четкая постановка краевой задачи фильтрации жидкости в сре- де с переменным коэффициентом фильтрации, как ли- нейной функции от первого инварианта тензора напря- жения. В упругопористых средах изменение коэффици- ента фильтрации будет происходить за счет изменения объема порового пространства. Таким образом, задачу можно свести к последовательному рассмотрению сна- чала напряженного состояния среды, а затем к решению задачи фильтрации с переменным коэффициентом фильтрации. В данной работе сделаны предположения, в рамках которых коэффициент фильтрации в плоской задаче линейно зависит от вертикальной координаты. В данной работе решается плоская задача устано- вившейся фильтрации в кусочно-неоднородной упруго-пористой области, представляющей горизонтальную полосу, состоящую из нескольких слоев – полос с раз- личными упругими свойствами и различными линей- ными по вертикальной координате коэффициентами фильтрации. Математическая постановка предполагает решение системы дифференциальных уравнений в ча- стных производных с заданием на внешних границах многослойной полосы граничных условий и дополни- тельных условий на внутренних линиях раздела слоев. Поставленная задача решается в классе почти- периодических по Бору функций [16; 17] с помощью обобщенного дискретного преобразования (ОДФ), вве- денного и изученного в [18; 19]. Построенный алгоритм представляет собой аналитический метод решения ши- рокого класса задач математической физики. В работе [20] был описан алгоритм построения почти- периодических в смысле Бора решений краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, а в [21] – проиллюстри- рован алгоритм на задаче установившейся фильтрации в пористой среде с постоянным коэффициентом фильтра- ции. В настоящей работе построены почти- периодические в смысле Бора решения краевых задач для уравнений в частных производных произвольного порядка, в том числе с переменными коэффициентами применительно к моделированию установившейся фильтрации жидкости в кусочно-неоднородной среде. Довольно часто задачи математической физики ре- шаются либо численно [22–27], либо аналитически с помощью преобразования Фурье, когда решения их за- писываются в виде интегралов Фурье, что вызывает большие вычислительные трудности [28–33]. В данной работе решения получены в виде абсолютно сходящих- ся рядов Бора – Фурье, коэффициенты которых выра- жаются через заданные функции. Между теорией периодических и почти-периоди- ческих функций есть много общего. Однако класс поч- ти-периодических функций гораздо шире, и, в отличие от периодических, для почти-периодических функций показатели Фурье могут иметь предельные точки на конечном расстоянии и лежать всюду плотно.

About the authors

E. A. Mikishanina

Chuvash State University

References

  1. Голубев Г.В., Тумашев Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. – Казань: издательство Казанского университета, 1972. – 195 с.
  2. Bashurov V.V., Vaganova N.A., Filimonov M.Y. Numerical simulation of thermal conductivity processes with fluid filtration in soil // Computational technologies. – 2011. – Vol. 16, no. 4. – P. 3–18.
  3. Ravshanov N., Kurbonov N., Mukhamadiev A. An Approximate Analytical Solution of the Problem of Fluid Filtration in the Multilayer Porous Medium // International Journal of Computational Methods. – 2016. – Vol. 13, no. 6. – P. 1–10. doi: 10.1142/S0219876216500420
  4. Badriev I.B., Banderov V.V., Signatullin M.Y. Numerical investigation of nonlinear filtration problems of high-viscosity fluids in porous media // Applied Mechanics and Materials. – 2015. – Vol. 740. – P. 672–675.
  5. Mikishanina E. The Study of Fluid Filtration through Elastic-Porous Materials // Materials Science and Engineering. – 2020. – Vol. 753. – P. 022025. doi: 10.1088/1757- 899X/753/2/022025
  6. Леонтьев Н.В. Основы теории фильтрации. – М.: МАКС Пресс, 2017. – 88 с.
  7. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через по- ристые среды. – М.: Гостоптехиздат, 1960. – 252 с.
  8. Polubarinova-Kochina P. Ya. Theory of Filtration of Liquids in Porous Media // Advances in Applied Mechanics. – 1951. – Vol. 2. – P. 153–225. doi: 10.1016/S0065-2156(08)70301-6
  9. Binshan Ju, Yushu Wu, Tailiang Fan. Study on fluid flow in nonlinear elastic porous media: Experimental and modeling approaches // Journal of Petroleum Science and Engineering. – 2011. – Vol. 76, no. 3–4. – P. 205–211. doi: 10.1016/j.petrol.2011.01.010
  10. Showalter R.E. Poroelastic filtration coupled to Stokes flow // Control theory of partial differential equations. – Chapman and Hall/CRC. – 2005. – P. 243–256.
  11. Метан угольных пластов: чистая энергия для всего мира / Д. Боскович [и др.] // Нефтегазовое обозрение. – 2009. – Т. 21, № 2. – С. 4–17.
  12. Terntiev A.G. Deep water technology: problem and solution // World Maritime Technology Conf. – Saint-Petersburg, 2012. – P. 1–7.
  13. Микишанина Е.А. Исследование коэффициента фильтрации упругопористой среды при плоской деформации // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2019. – Т. 29, № 3. – С. 396–407. doi: 10.20537/vm190309
  14. Цытович Н.А. Механика грунтов. – М.: Высшая школа, 1979. – 272 с.
  15. Chernyshev S.N., Zommer T.V., Lavrusevich A.A. Calculation methodology for defining the filtration coefficient of a rock mass with loose crack filler // Power Technology and Engineering. – 2017. – Vol. 51. – P. 414–417. doi: 10.1007/s10749-017-0848-2
  16. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. – М.: ГИТТЛ, 1953. – 396 с.
  17. Осипов В.Ф. Почти-периодические функции Бора- Френеля. – СПб.: Издательство Санкт-Петербургского госу- дарственного университета, 1952. – 308 с.
  18. Кулагина М.Ф. О некоторых бесконечных системах с разностными индексами // Изв. вузов. Математика. – 1992. – № 3. – С. 18–23.
  19. Кулагина М.Ф. Об интегральных уравнениях в сред- них значениях в пространствах почти-периодических функций // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 8. – С. 19–29.
  20. Кулагина М.Ф., Микишанина Е.А. Построение почти- периодических решений некоторых систем дифференциаль- ных уравнений // Математические заметки СВФУ. – 2015. – Т. 5, № 3. – С. 11–19.
  21. Микишанина Е.А. Построение почти-периодических решений некоторых систем диффеенциальных уравнений в задачх теории фильтрации // Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2016). – УФА, 2016. – C. 138–141.
  22. Терентьев А.Г., Казакова А.О, Микишанина Е.А. Чис- ленное решение полигармонических уравнений в механике сплошных сред // Information Technologies for Intellegent Decision Making Support (ITIDS’2018). – УФА, 2018. – C. 34–42.
  23. Казакова А.О., Терентьев А.Г. Численное решение краевых задач для полигармонического уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2012. – Т. 52, № 11. – С. 2050–2059.
  24. Garcia A.L. Numerical methods for physics. – Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2000. – 423 p.
  25. Stakgold I. Boundary Value Problems of Mathematical Physics. – Vol. 1. Society for Industrial and Applied Mathematics. – 2000. doi: 10.10631/1.30340864
  26. Polozhii G.N. The method of summary representation for numerical solution of problems of mathematical physics. – Elsevier, 1965(2014). doi: 10.2307/2003491
  27. Микишанина Е.А. Краевые задачи для неоднородных систем полигармонических уравнений с приложениями в теории тонких оболочек и пластин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2019. – № 4. – С. 136–144. doi: 10.15593/perm.mech/2019.4.13
  28. Снеддон И.Н. Преобразование Фурье / под. ред. Ю.Л. Рабиновича. – М.: Издательство иностранной литературы, 1955. – 667 с.
  29. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 с.
  30. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математи- ческой физики. – М.: Наука, 1977. – 632 с.
  31. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1968. – 402 с.
  32. Debnath L., Bhatta D. Integral transforms and their applications. – Chapman and Hall/CRC, 2006. 728 p. doi: 10.1201/9781420010916
  33. Zhdanov M.S. Integral transforms in geophysics. – Springer Science Business Media, 2012. – 367 p.
  34. Баденко В.Л., Баденко Г.В. Специальные разделы высшей математики. Математическая физика: учеб. пособие. – СПб., 2014. – 55 с.
  35. Olver F.W.J., Maximon L.C. Bessel functions // NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge. – 2010. – P. 215–286 (Chapter 10).
  36. Микишанина Е.А., Терентьев А.Г. Об определении напряженного состояния упруго-пористой среды // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2017. – Т. 159, кн. 2. – С. 204–215.

Statistics

Views

Abstract - 95

PDF (Russian) - 62

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Mikishanina E.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies