ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХЗВЕННОГО МАЯТНИКА КАПИЦЫ

Аннотация


Известно, что верхнее, перевёрнутое положение маятника при определённых параметрах вертикальной вибрации его основания является устойчивым. Настоящая работа посвящена динамике модели двухзвенного перевёрнутого маятника в общей нелинейной постановке. Определив границы параметров заданной вибрации основания, при которых перевёрнутый режим является устойчивым, найти границы начальных условий задачи, а именно начальные немалые углы отклонения звеньев маятника от вертикали, приводящие к колебаниям в перевёрнутом положении. В более сложной постановке задачи, предполагающей учёт малых упругих деформаций растяжения – сжатия в стержнях, выявить эффекты влияния сжимаемости стержней на режим колебаний, а также влияние резонанса на устойчивость. Применением законов динамики к подвижным элементам конструкции получена полная нелинейная система уравнений движения маятника в двух постановках для системы с двумя и четырьмя степенями свободы соответственно. Уравнения содержат малый параметр амплитуды вибраций основания, что позволяет применить метод двухмасштабного асимптотического разложения. Метод приводит к системе осреднённых уравнений движения, удобной для анализа влияния параметров. Найдены формы и частоты малых колебаний маятника в зависимости от без-размерного параметра задачи. В нелинейной постановке вычислены максималь-ные отклонения звеньев маятника, дающие устойчивое решение задачи при нуле-вых начальных угловых скоростях. В зависимости от начальной фазы вибрации основания получены границы двух зон устойчивости колебаний – абсолютной и частичной. В абсолютной области устойчивые колебания реализуются для любого значения начальной фазы вибрации основания, в частичной – хотя бы для одного значения. Проведено сравнение динамики маятника без учёта и с учётом сжимае-мости стержней. Результаты представлены на графиках.

Полный текст

Задачей о маятниках и о резонансах, связанных с колебаниями маятников, впервые заинтересовался 300 лет назад Г. Галилей. Первая публикация о стабилиза-ции обращённого маятника под действием вертикаль-ной вибрации точки его шарнирного закрепления при-надлежит А. Стефенсону [1]. Уравнения колебаний ма-ятника с вибрирующей опорой приводят к уравнению Матье, которое решается только в терминах эллипти-ческих функций. П.Л. Капица в 1951 г. [2] использовал предположение о малости амплитуды колебаний опоры и благодаря этому построил теорию расчёта периода колебаний маятника, привёл условие равновесия и оценку точности в предположении малой амплитуды колебаний точки подвеса, нашёл восстанавливающий момент, действующий на маятник, а также рассмотрел задачу с отклонением маятника от верхнего положения равновесия на конечный угол. Теория и эксперименты показали, что состояние равновесия возникает при до-статочно интенсивных колебаниях опоры. Интерес к задачам стабилизации обращённых ма-ятников в различных постановках, начавшийся с 1950-х гг., объясняется ещё и тем, что при проектировании установок, работающих в области физики высоких энергий, для расчёта устойчивости движения частиц требуется решать те же уравнения, что и в задаче об-ращённых маятников [3], при этом поставить экспери-менты с маятником для проверки физических теорий значительно проще. В разные годы многие известные учёные посвящали свои работы описаниям парадоксов, возникающих в задачах, связанных со стабилизацией обращённых ма-ятников под действием вибрации – В.Н. Челомей [4; 5], В.И. Арнольд [6], И.И. Блехман [7; 8], Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц [9]. Публикации по данной теме продолжаются, как в России, так и за рубежом. В работе [10] найдены усло-вия устойчивости малых колебаний обращённого мно-гозвенного маятника. Современные экспериментаторы добиваются стабилизации двухзвенных и трехзвенных маятников [11–14], продолжают публиковаться теоре-тические работы [15; 16]. Описаны эксперименты ста-билизации в верхнем положении гибких моделей маят-ника, в том числе верёвки [17; 18]. Появляются и другие работы по маятникам, направленные на практическое применение [19; 20]. Условия устойчивости и границы области притяжения устойчивого решения в случае конечных отклонений от положения равновесия полу-чены в работах [21–23] для моделей маятников в виде гибких упругих стержней, в том числе с учётом про-дольных деформаций и влияния первого резонанса продольных волн. Существуют интересные результаты, использую-щие эффект маятника Капицы в задачах с другими по-становками, например работы [24; 25] где вибрациями с периодической нагрузкой обеспечивается устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня. Эффект нахо-дит приложение в задачах моделирования движения частиц в малых масштабах [26] и для расчёта парамет-рических систем и механических систем с высокоча-стотным возбуждением [27; 28]. В данной работе мы используем постановку задачи и предположения Капицы о малости амплитуды коле-баний подвеса и рассмотрим как малые, так и конечные углы отклонения двухзвенного маятника. Найденные главные частоты и формы малых колебаний двухзвен-ного обращённого маятника с вибрацией точки подвеса сравниваются с численным решением задачи в геомет-рически нелинейной постановке. Вторая, более слож-ная решаемая задача – определить максимальные начальные отклонения маятника, при которых будет реализовываться эффект Стефенсона – Капицы, когда маятник будет колебаться около верхнего положения равновесия. Данная работа продолжает в двухзвенной поста-новке работы, когда получены условия устойчивости и области притяжения устойчивого решения для различ-ных моделей сжимаемого однозвенного маятника Ка-пицы [29; 30].

Об авторах

А. К. Беляев

Институт проблем машиноведения РАН

О. Р. Полякова

Общественная организация научных исследований «Метагалактические Науки» Московской области

Т. П. Товстик

Институт проблем машиноведения РАН

Список литературы

  1. Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. – 1908. – Vol. 15. – Р. 233–236.
  2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Бюл. физ. наук. – 1951. – Т. 44(1). – С. 7–20.
  3. Капица П.Л. Электроника больших мощностей // Усп. физ. наук. – 1962. – Т. 78(2). – С. 181–265.
  4. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // Доклады АН СССР. – 1956. – Т. 110, № 3. – С. 345–347.
  5. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые виб-рациями // Доклады АН СССР. – 1983. – Т. 270, № 1. – С. 62–67.
  6. Блехман И.И. Вибрационная механика. – М.: Наука, 1994.
  7. Блехман И.И. Вибрационная механика и вибрационная реология. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. – 752 с.
  8. Арнольд В.И. Математическое понимание природы. – М.: МЦНМО, 2022. – 144 с.
  9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1988. – 216 с.
  10. Acheson D.J. A pendulum theorem // Proc. Roy. Soc. Lon-don. – 1993. – Ser. A.V. 443. – Р. 239–245.
  11. Гордин Я.Д., Грибков В.А. О причине рассогласования расчетных и экспериментальных областей устойчивости обра-щенных стабилизируемых маятников // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и при-кладной механики. Т. 1: Общая и прикладная механика. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. – С. 65–68.
  12. Грибков В.А., Затоненко Ю.В., Гордин Я.Д. Стабилиза-ция обращенного вертикального положения маятника вибро-ускорением (в форме меандра) оси подвеса маятника // XLVI Академические чтения по космонавтике. – Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. – Москва. – 2022. – Т. 4. – С. 470–473.
  13. Acheson D.J., Mullin T. Upside-down pendulums // Na-ture. – 1993. – Vol. 366. – P. 215–216.
  14. Эксперимент по раскачиванию двойного маятника управлением с обратной связью / Я. Аврейцевич, Г. Василев-ский, Г. Кудра, С.А. Решмин // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2012. – № 2. – С. 10–16.
  15. Ананьевский И.М. Управление трехзвенным перевер-нутым маятником в окрестности положения равновесия // ПММ. – 2018. – Т. 82, вып. 2. – С. 149–155.
  16. Грибков В.А., Хохлов А.О. Устойчивость тройного ин-вертированного физического маятника из статьи академика В.Н. Челомея 1983 г. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Машиностроение. – 2015. – № 6. – C. 33–49.
  17. Васильков В.Б. Влияние вибрации на нелинейные эф-фекты в механических системах: дис. … д-ра техн. наук. – СПб, 2008 / ИПМаш. РАН. СПб. – 2009. – 210 с.
  18. Vasilkov V.B. Experimental investigation of nonlinear ef-fects in a vibrating rope // Advanced Problems in Mechanics. Pro-ceedings of XXXI Intern. Summer School. – 2004. – St. Peters-burg: IPME RAS. – Р. 383–387.
  19. Li M., Aoyama T., Hasegawa Y. Gait modification for im-proving walking stability of exoskeleton assisted paraplegic patient. – Robomech J. – 2020. – Vol. 7, no. 21. doi: 10.1186/s40648-020-00169-y
  20. О моделировании пляски проводов воздушных ЛЭП и параметрическом анализе эффективности маятниковых гасите-лей / И.И. Сергей, А.А. Виноградов, А.Н. Данилин, Н.Н. Курдюмов // Вестник Пермского национального исследо-вательского политехнического университета. Механика. – 2018. – № 4. – С. 256–265. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.23
  21. Устойчивость вертикального стержня на вибрирующей опоре / Н.Ф. Морозов, А.К. Беляев, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // Доклады Академии наук. – 2018. – Т. 482, № 2. – С. 155–159. doi: 10.31857/S086956520003166-5
  22. Кулижников Д.Б., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Области притяжения в обобщенной задаче Капицы // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Математика. Механика. Астро-номия. – 2019. – Т. 6(64), вып. 3. – С. 482–492.
  23. Classical Kapitsa’s problem of stability of an inverted pen-dulum and some generalizations / A.K. Belyaev, N.F. Moro¬zov, P.E. Tovstik [et al.] // Acta Mechanica. – 2021. – Vol. 232. – P. 1743–1759. doi: 10.1007/s00707-020-02907-0
  24. Сейранян А.А., Сейранян А.П. Задача Челомея о стаби-лизации статически неустойчивого стержня с помощью вибра-ции // Прикладная математика и механика. – 2008. – Т. 72, № 6. – С. 898–903.
  25. Belyakov A.O., Seyranian A.P. Stability Boundary Ap-proximation of Periodic Dynamics // Nonlinear Dynamics of Struc-tures, Systems and Devices: Proceedings of the 1st International Nonlinear Dynamics Conference, NODYCON 2019: 1, Rome, 17-20 февраля 2019 года. – Rome, 2020. – P. 13–23. doi: 10.1007/978-3-030-34713-0_2
  26. A microscopic Kapitza pendulum / C.J. Richards, T.J. Smart, P.H. Jones [et al.] // Scientific Reports. – 2018. – Vol. 8, no.13107. doi: 10.1038/s41598-018-31392-8
  27. Guha P., Garai S. Integrable modulation, curl forces and parametric Kapitza equation with trapping and escaping // Nonlinear Dynamics. – 2021. – Vol. 106. – P. 3091–100. doi: 10.1007/s11071-021-06947-6
  28. Thomsen J.J. Special Effects of High-Frequency Excitation. In: Vibrations and Stability. Springer. – 2021. – P. 387–447. doi: 10.1007/978-3-030-68045-9_7
  29. Беляев А.К., Полякова О.Р., Товстик Т.П. Модельная задача устойчивости колебаний перевернутого сжимаемого в продольном направлении маятника на вибрирующем основании // Динамические и технологические проблемы механики кон-струкций и сплошных сред: материалы XXVIII Международно-го симпозиума им. А.Г. Горшкова. – 2022. – М.: ООО «ТРП», 2022. – Т. 2. – С. 162–167.
  30. Belyaev A.K., Polyakova O.R., Tovstik T.P. The Effect of Longitudinal Oscillations Resonance on Stability and Domains of Attraction in the Generalized Kapitsa Problem. Solid Mechanics, Theory of Elasticity and Creep. – 2023. – Vol 185. – P. 93–100. doi: 10.1007/978-3-031-18564-9_7
  31. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
  32. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимпто-тические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 1958. – 408 с.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 88

PDF (Russian) - 107

Cited-By


PlumX


© Беляев А.К., Полякова О.Р., Товстик Т.П., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах