# Abstract

The object of study. The upper upward position of the pendulum subjected to vibration of the pendulum base is known to be stable for some parameters of the base vibration. The research is devoted to dynamics of the model of a two-link inverted pendulum in a general nonlinear formulation. The goal. The boundaries of the parameters of a given base vibration, under which the inverted mode is stable, are assumed to be known. The goal is to find the regions of the initial conditions of the problem, namely, the initial non-small angles of deviation of the pendulum links from the vertical that result in stable oscillation in the inverted position. We intend to reveal the impact of the rod compressibility on the oscillation mode, as well as the influence of the resonance on stability in the framework of more complex formulation of the problem which involves account for small elastic axial deformation in the rods. Methods. By applying the laws of dynamics to the moving elements of the structure, we derive the complete nonlinear system of equations of the pendulum motion in two formulations: (i) for a system with two and (ii) four degrees of freedom, respectively. The equations include the parameter of small base vibration amplitude, which makes it possible to apply the two-scale asymptotic expansion method. The method leads to a system of averaged equations of motion which is convenient for the benchmark study of parameters. Results. The modes and eigenfrequencies of small oscillations of the pendulum are found depending on the dimensionless parameter of the problem. In the nonlinear for-mulation, the maximum deviations of the pendulum links are calculated which ensure a stable solution to the problem for zero initial angular velocities. Depending on the initial phase of vibration of the base, the boundaries of absolute and partial zones of stability of vibrations are obtained. In the absolute zone, stable oscillations are realized for any value of the initial phase of the base vibration. In the partial region, stable oscillation occurs at least for one set of initial condition. The dynamics of the pendulum is compared with and without account for rod the compressibility. The results are presented in the graphs.

# Full Text

Задачей о маятниках и о резонансах, связанных с колебаниями маятников, впервые заинтересовался 300 лет назад Г. Галилей. Первая публикация о стабилиза-ции обращённого маятника под действием вертикаль-ной вибрации точки его шарнирного закрепления при-надлежит А. Стефенсону [1]. Уравнения колебаний ма-ятника с вибрирующей опорой приводят к уравнению Матье, которое решается только в терминах эллипти-ческих функций. П.Л. Капица в 1951 г. [2] использовал предположение о малости амплитуды колебаний опоры и благодаря этому построил теорию расчёта периода колебаний маятника, привёл условие равновесия и оценку точности в предположении малой амплитуды колебаний точки подвеса, нашёл восстанавливающий момент, действующий на маятник, а также рассмотрел задачу с отклонением маятника от верхнего положения равновесия на конечный угол. Теория и эксперименты показали, что состояние равновесия возникает при до-статочно интенсивных колебаниях опоры. Интерес к задачам стабилизации обращённых ма-ятников в различных постановках, начавшийся с 1950-х гг., объясняется ещё и тем, что при проектировании установок, работающих в области физики высоких энергий, для расчёта устойчивости движения частиц требуется решать те же уравнения, что и в задаче об-ращённых маятников [3], при этом поставить экспери-менты с маятником для проверки физических теорий значительно проще. В разные годы многие известные учёные посвящали свои работы описаниям парадоксов, возникающих в задачах, связанных со стабилизацией обращённых ма-ятников под действием вибрации – В.Н. Челомей [4; 5], В.И. Арнольд [6], И.И. Блехман [7; 8], Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц [9]. Публикации по данной теме продолжаются, как в России, так и за рубежом. В работе [10] найдены усло-вия устойчивости малых колебаний обращённого мно-гозвенного маятника. Современные экспериментаторы добиваются стабилизации двухзвенных и трехзвенных маятников [11–14], продолжают публиковаться теоре-тические работы [15; 16]. Описаны эксперименты ста-билизации в верхнем положении гибких моделей маят-ника, в том числе верёвки [17; 18]. Появляются и другие работы по маятникам, направленные на практическое применение [19; 20]. Условия устойчивости и границы области притяжения устойчивого решения в случае конечных отклонений от положения равновесия полу-чены в работах [21–23] для моделей маятников в виде гибких упругих стержней, в том числе с учётом про-дольных деформаций и влияния первого резонанса продольных волн. Существуют интересные результаты, использую-щие эффект маятника Капицы в задачах с другими по-становками, например работы [24; 25] где вибрациями с периодической нагрузкой обеспечивается устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня. Эффект нахо-дит приложение в задачах моделирования движения частиц в малых масштабах [26] и для расчёта парамет-рических систем и механических систем с высокоча-стотным возбуждением [27; 28]. В данной работе мы используем постановку задачи и предположения Капицы о малости амплитуды коле-баний подвеса и рассмотрим как малые, так и конечные углы отклонения двухзвенного маятника. Найденные главные частоты и формы малых колебаний двухзвен-ного обращённого маятника с вибрацией точки подвеса сравниваются с численным решением задачи в геомет-рически нелинейной постановке. Вторая, более слож-ная решаемая задача – определить максимальные начальные отклонения маятника, при которых будет реализовываться эффект Стефенсона – Капицы, когда маятник будет колебаться около верхнего положения равновесия. Данная работа продолжает в двухзвенной поста-новке работы, когда получены условия устойчивости и области притяжения устойчивого решения для различ-ных моделей сжимаемого однозвенного маятника Ка-пицы [29; 30].

### A. K. Belyaev

Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences

### O. R. Polyakova

Public Organization of Scientific Research «Metagalactic Sciences», Moscow region

### T. P. Tovstik

Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences

# References

1. Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. – 1908. – Vol. 15. – Р. 233–236.
2. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Бюл. физ. наук. – 1951. – Т. 44(1). – С. 7–20.
3. Капица П.Л. Электроника больших мощностей // Усп. физ. наук. – 1962. – Т. 78(2). – С. 181–265.
4. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // Доклады АН СССР. – 1956. – Т. 110, № 3. – С. 345–347.
5. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые виб-рациями // Доклады АН СССР. – 1983. – Т. 270, № 1. – С. 62–67.
6. Блехман И.И. Вибрационная механика. – М.: Наука, 1994.
7. Блехман И.И. Вибрационная механика и вибрационная реология. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. – 752 с.
8. Арнольд В.И. Математическое понимание природы. – М.: МЦНМО, 2022. – 144 с.
9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1988. – 216 с.
10. Acheson D.J. A pendulum theorem // Proc. Roy. Soc. Lon-don. – 1993. – Ser. A.V. 443. – Р. 239–245.
11. Гордин Я.Д., Грибков В.А. О причине рассогласования расчетных и экспериментальных областей устойчивости обра-щенных стабилизируемых маятников // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и при-кладной механики. Т. 1: Общая и прикладная механика. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. – С. 65–68.
12. Грибков В.А., Затоненко Ю.В., Гордин Я.Д. Стабилиза-ция обращенного вертикального положения маятника вибро-ускорением (в форме меандра) оси подвеса маятника // XLVI Академические чтения по космонавтике. – Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. – Москва. – 2022. – Т. 4. – С. 470–473.
13. Acheson D.J., Mullin T. Upside-down pendulums // Na-ture. – 1993. – Vol. 366. – P. 215–216.
14. Эксперимент по раскачиванию двойного маятника управлением с обратной связью / Я. Аврейцевич, Г. Василев-ский, Г. Кудра, С.А. Решмин // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2012. – № 2. – С. 10–16.
15. Ананьевский И.М. Управление трехзвенным перевер-нутым маятником в окрестности положения равновесия // ПММ. – 2018. – Т. 82, вып. 2. – С. 149–155.
16. Грибков В.А., Хохлов А.О. Устойчивость тройного ин-вертированного физического маятника из статьи академика В.Н. Челомея 1983 г. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.: Машиностроение. – 2015. – № 6. – C. 33–49.
17. Васильков В.Б. Влияние вибрации на нелинейные эф-фекты в механических системах: дис. … д-ра техн. наук. – СПб, 2008 / ИПМаш. РАН. СПб. – 2009. – 210 с.
18. Vasilkov V.B. Experimental investigation of nonlinear ef-fects in a vibrating rope // Advanced Problems in Mechanics. Pro-ceedings of XXXI Intern. Summer School. – 2004. – St. Peters-burg: IPME RAS. – Р. 383–387.
19. Li M., Aoyama T., Hasegawa Y. Gait modification for im-proving walking stability of exoskeleton assisted paraplegic patient. – Robomech J. – 2020. – Vol. 7, no. 21. doi: 10.1186/s40648-020-00169-y
20. О моделировании пляски проводов воздушных ЛЭП и параметрическом анализе эффективности маятниковых гасите-лей / И.И. Сергей, А.А. Виноградов, А.Н. Данилин, Н.Н. Курдюмов // Вестник Пермского национального исследо-вательского политехнического университета. Механика. – 2018. – № 4. – С. 256–265. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.23
21. Устойчивость вертикального стержня на вибрирующей опоре / Н.Ф. Морозов, А.К. Беляев, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // Доклады Академии наук. – 2018. – Т. 482, № 2. – С. 155–159. doi: 10.31857/S086956520003166-5
22. Кулижников Д.Б., Товстик П.Е., Товстик Т.П. Области притяжения в обобщенной задаче Капицы // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Математика. Механика. Астро-номия. – 2019. – Т. 6(64), вып. 3. – С. 482–492.
23. Classical Kapitsa’s problem of stability of an inverted pen-dulum and some generalizations / A.K. Belyaev, N.F. Moro¬zov, P.E. Tovstik [et al.] // Acta Mechanica. – 2021. – Vol. 232. – P. 1743–1759. doi: 10.1007/s00707-020-02907-0
24. Сейранян А.А., Сейранян А.П. Задача Челомея о стаби-лизации статически неустойчивого стержня с помощью вибра-ции // Прикладная математика и механика. – 2008. – Т. 72, № 6. – С. 898–903.
25. Belyakov A.O., Seyranian A.P. Stability Boundary Ap-proximation of Periodic Dynamics // Nonlinear Dynamics of Struc-tures, Systems and Devices: Proceedings of the 1st International Nonlinear Dynamics Conference, NODYCON 2019: 1, Rome, 17-20 февраля 2019 года. – Rome, 2020. – P. 13–23. doi: 10.1007/978-3-030-34713-0_2
26. A microscopic Kapitza pendulum / C.J. Richards, T.J. Smart, P.H. Jones [et al.] // Scientific Reports. – 2018. – Vol. 8, no.13107. doi: 10.1038/s41598-018-31392-8
27. Guha P., Garai S. Integrable modulation, curl forces and parametric Kapitza equation with trapping and escaping // Nonlinear Dynamics. – 2021. – Vol. 106. – P. 3091–100. doi: 10.1007/s11071-021-06947-6
28. Thomsen J.J. Special Effects of High-Frequency Excitation. In: Vibrations and Stability. Springer. – 2021. – P. 387–447. doi: 10.1007/978-3-030-68045-9_7
29. Беляев А.К., Полякова О.Р., Товстик Т.П. Модельная задача устойчивости колебаний перевернутого сжимаемого в продольном направлении маятника на вибрирующем основании // Динамические и технологические проблемы механики кон-струкций и сплошных сред: материалы XXVIII Международно-го симпозиума им. А.Г. Горшкова. – 2022. – М.: ООО «ТРП», 2022. – Т. 2. – С. 162–167.
30. Belyaev A.K., Polyakova O.R., Tovstik T.P. The Effect of Longitudinal Oscillations Resonance on Stability and Domains of Attraction in the Generalized Kapitsa Problem. Solid Mechanics, Theory of Elasticity and Creep. – 2023. – Vol 185. – P. 93–100. doi: 10.1007/978-3-031-18564-9_7
31. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 830 с.
32. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимпто-тические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 1958. – 408 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 53

PDF (Russian) - 97

#### PlumX

Copyright (c) 2023 Belyaev A.K., Polyakova O.R., Tovstik T.P.