ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ АКУСТИКЕ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ ПРИ КОНТАКТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С КЛИНОВИДНЫМ ШТАМПОМ

Аннотация


В работе впервые изучается поведение точного решения контактной задачи для штампа клиновидного в плане формы в анизотропной слоистой среде. Рассмотрена кон- тактная задача о действии клиновидного, с прямым углом в плане, жесткого штампа на поверхность многослойной анизотропной среды. Случай остроугольного в плане штампа некоторым преобразованием сводится к рассматриваемому. Штамп предполагается дей- ствующим на многослойную среду без трения. Возможны случаи статического и динамиче- ского воздействия, вызываемого гармоническим колебанием штампа. Основное внимание уделено анализу поведения поверхности анизотропной слоистой среды вне зоны контакта. Построены формулы, описывающие поведение поверхности в дальней зоне и приведен пример вычисления необходимых параметров для их применения. Рассматриваемая сме- шанная задача приводится к решению двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа, преобразование Фурье, ядра которого представляют отношение двух аналитиче- ских функций. Изотропный случай наличия отношения двух целых функций в представле- нии ядра недавно был исследован универсальным методом моделирования, подсказав- шим переход к малоизученному анизотропному случаю. В пространственных контактных задачах исследование проводится численными методами, малоэффективными для анизо- тропных сред. Точное решение удавалось построить лишь в случаях одномерных, или сводящихся к ним, интегральных уравнений. Разработанный в статье метод позволяет, наряду со статическими задачами, изучать акустические свойства поверхности вне зоны контакта штампа со средой в динамическом случае, которые имеют малоизученную спе- цифику поведения по секторам. Впервые решенное двумерное интегральное уравнения Винера – Хопфа может быть использовано в задачах распространения радиоволн, при конструировании элементной базы радиоэлектроники, в проблеме прочности в механике, в многочисленных других важных областях.

Полный текст

Анизотропия свойственна многим материалам, применяемым в инженерной практике [1], электрони- ке [2], кристаллофизике [3], науках о Земле [4; 5] и во многих других областях. Анизотропия всегда возникает в задачах при рассмотрении движущегося объекта в упругой среде [6; 7]. Смешанные задачи математиче- ской физики, к числу которых относится ряд задач о распространении радиоволн [8; 9], контактные зада- чи [10; 11], задачи акустики [12; 13], теории прочности [14] и других областей, часто приводятся к решению интегральных уравнений Винера – Хопфа [15]. Этим методом удается точно решать только одномерные смешанные задачи, или некоторые пространственные, сводящиеся к одномерным. Двумерные смешанные за- дачи решаются приближенно, асимптотическими [16] или численными методами [17], в частности, используя для их развития точные решения одномерных инте- гральных уравнений Винера – Хопфа. В случае анизо- тропных сред эти методы неэффективны [10]. Прогресс в этой области может дать построение точного решения двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа в анизотропном случае. В работе [18] универсальным методом моделирования для случая изотропной среды впервые было построено точное решение двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа в первом квадранте. В настоящей работе другим подходом, раз- витым в [19], впервые построено точное решение инте- грального уравнения Винера – Хопфа в анизотропном случае. Как частный случай, анизотропные материалы включают композитные материалы и кристаллы, моно- кристаллы с изменяющимися свойствами при горизон- тальном повороте осей координат. Также к ним отно- сятся волокнистые и пленочные материалы, армирован- ные пластики, пьезокварц, графит и другие природные и искусственно созданные материалы с горизонтально изменяющимися свойствами.

Об авторах

В. А. Бабешко

Кубанский государственный университет

О. В. Евдокимова

Кубанский государственный университет

О. М. Бабешко

Кубанский государственный университет

В. С. Евдокимов

Кубанский государственный университет

Список литературы

  1. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных ма- териалов. – Л.: Машиностроение, 1969. – 362 с.
  2. Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная аку- стика. – М.: Высшая школа, 1974. – 288 с.
  3. Акустические кристаллы / А.А. Блистанов, В.С. Бонда- ренко, Н.В. Переломова [и др.]. – М.: Наука, 1982. – 632 с.
  4. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Зем- ли. – М.: Наука, 2006. – 390 с.
  5. Davis A.M.J. Continental shelf wave scattering by a semiinfinite coastline // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. – 1987. – Vol. 39. – P. 25–55.
  6. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Царев И.С. Динамиче- ское поведение балки, лежащей на обобщенном упругом ос- новании, с движущейся нагрузкой // ПММ. – 2021. – Т. 85, № 2. – С. 193–209.
  7. Aleksandrov V.M., Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Sliding contact of a smooth indenter and a viscoelastic half-space (3D problem) // Doklady Physics. – 2010. – Vol. 55, № 2. – P. 77–80.
  8. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях матема- тической физики // Матеем. сборн. – 1944. – № 14, вып. 1, 2, 3.
  9. Sautbekov S., Nilsson B. Electromagnetic scattering theory for gratings based on the Wiener-Hopf method // AIP Conf. Proc. – 2009. – № 1106. – Р. 110–117.
  10. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. – М.: Наука, 1984. – 256 с.
  11. Freund L.B. Dynamic Fracture Mechanics. – Cambridge, UK. Cambridge University Press, 1998. – 558 p.
  12. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О рас- пространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Доклады Академии наук. – 2005. – Т. 405, № 2. – С. 196–198.
  13. Achenbach J.D. Wave propagation in Elastic Solids // North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics. – Amsterdam: North-Holland, 1973. – 425 p.
  14. Abrahams I.D. Аn application of Padé approximates to Wiener-Hopf factorization // IMA J. Appl. Math. – 2000. – Vol. 65. – P. 257–281.
  15. Матвеенко В.П., Федоров А.Ю., Шардаков И.Н. Ана- лиз сингулярности напряжений в особых точках упругих тел из функционально градиентных материалов // Доклады Ака- демии наук. – 2016. – Т. 466, № 1. – С. 38–42.
  16. Нобл Б. Метод Винера – Хопфа ИЛ, 1962. – 280 c.
  17. Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследо- вания локализации и резонансов в электроупругом анизотропном слое // Доклады РАН. – 1999. – Т. 367, № 2. – С. 186–190.
  18. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Точ- ное решение универсальным методом моделирования кон- тактной задачи в четверти плоскости многослойной среды // ПММ. – 2022. – Т. 86, № 5. – С. 628–637.
  19. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Метод блочного элемента для интегральных уравнений контактных задач в клиновидной области // Журнал прикладной механики и технической физики. – 2017. – Т 58, № 2. – С. 133–140. doi: 10.1134/S0021894417020146
  20. Федорюк М.В. Метод перевала. – М:. Наука, 1977. – 368 с.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 131

PDF (Russian) - 104

Cited-By


PlumX


© Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М., Евдокимов В.С., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах