EXACT SOLUTION OF THE PROBLEM OF ACOUSTICS IN AN ARBITRARY MULTILAYER MEDIUM DURING CONTACT INTERACTION WITH A WEDGE SHAPED STAMP

Abstract


This paper is the first to study the behavior of the exact solution of the contact problem for a wedge-shaped stamp in terms of shape in an anisotropic layered medium. We consider the contact problem of the action of a wedge-shaped, right-angled, rigid stamp on the surface of a multilayer anisotropic medium. The case of a sharp-angled stamp in terms of some transformation is reduced to the one under consideration. The stamp is assumed to act on a multilayer medium without friction. There may be cases of static and dynamic effects caused by harmonic oscillations of the stamp. The main attention is paid to analyzing the surface behavior of an anisotropic layered medium outside the contact zone. Formulas describing the behavior of the surface in the far zone are constructed and an example of calculating the necessary parameters for their application is given. The considered mixed problem is reduced to solving the two-dimensional Wiener – Hopf integral equation, the Fourier transform of the kernel of which represents the ratio of two analytical functions. The isotropic case of the presence of the ratio of two integer functions in the representation of the kernel has recently been investigated by a universal modeling method, which prompted the transition to the little-studied anisotropic case. In spatial contact problems, the study is carried out by numerical methods that are ineffective for anisotropic media. The exact solution could be constructed only in cases of one-dimensional or integral equations reducible to them. Along with static tasks, the method developed in the article allows studying the acoustic properties of the surface outside the contact zone of the stamp with the medium in the dynamic case, which have little-studied specifics of behavior by sectors. The two-dimensional Wiener-Hopf integral equation solved for the first time can be used in problems of radio wave propagations, in the design of the element base of radio electronics, in the problem of strength in mechanics, and in numerous other important areas.

Full Text

Анизотропия свойственна многим материалам, применяемым в инженерной практике [1], электрони- ке [2], кристаллофизике [3], науках о Земле [4; 5] и во многих других областях. Анизотропия всегда возникает в задачах при рассмотрении движущегося объекта в упругой среде [6; 7]. Смешанные задачи математиче- ской физики, к числу которых относится ряд задач о распространении радиоволн [8; 9], контактные зада- чи [10; 11], задачи акустики [12; 13], теории прочности [14] и других областей, часто приводятся к решению интегральных уравнений Винера – Хопфа [15]. Этим методом удается точно решать только одномерные смешанные задачи, или некоторые пространственные, сводящиеся к одномерным. Двумерные смешанные за- дачи решаются приближенно, асимптотическими [16] или численными методами [17], в частности, используя для их развития точные решения одномерных инте- гральных уравнений Винера – Хопфа. В случае анизо- тропных сред эти методы неэффективны [10]. Прогресс в этой области может дать построение точного решения двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа в анизотропном случае. В работе [18] универсальным методом моделирования для случая изотропной среды впервые было построено точное решение двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа в первом квадранте. В настоящей работе другим подходом, раз- витым в [19], впервые построено точное решение инте- грального уравнения Винера – Хопфа в анизотропном случае. Как частный случай, анизотропные материалы включают композитные материалы и кристаллы, моно- кристаллы с изменяющимися свойствами при горизон- тальном повороте осей координат. Также к ним отно- сятся волокнистые и пленочные материалы, армирован- ные пластики, пьезокварц, графит и другие природные и искусственно созданные материалы с горизонтально изменяющимися свойствами.

About the authors

V. A. Babeshko

Kuban State University

O. V. Evdokimova

Kuban State University

O. M. Babeshko

Kuban State University

V. S. Evdokimov

Kuban State University

References

  1. Ашкенази Е.К. Анизотропия машиностроительных ма- териалов. – Л.: Машиностроение, 1969. – 362 с.
  2. Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная аку- стика. – М.: Высшая школа, 1974. – 288 с.
  3. Акустические кристаллы / А.А. Блистанов, В.С. Бонда- ренко, Н.В. Переломова [и др.]. – М.: Наука, 1982. – 632 с.
  4. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Зем- ли. – М.: Наука, 2006. – 390 с.
  5. Davis A.M.J. Continental shelf wave scattering by a semiinfinite coastline // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. – 1987. – Vol. 39. – P. 25–55.
  6. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Царев И.С. Динамиче- ское поведение балки, лежащей на обобщенном упругом ос- новании, с движущейся нагрузкой // ПММ. – 2021. – Т. 85, № 2. – С. 193–209.
  7. Aleksandrov V.M., Goryacheva I.G., Torskaya E.V. Sliding contact of a smooth indenter and a viscoelastic half-space (3D problem) // Doklady Physics. – 2010. – Vol. 55, № 2. – P. 77–80.
  8. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях матема- тической физики // Матеем. сборн. – 1944. – № 14, вып. 1, 2, 3.
  9. Sautbekov S., Nilsson B. Electromagnetic scattering theory for gratings based on the Wiener-Hopf method // AIP Conf. Proc. – 2009. – № 1106. – Р. 110–117.
  10. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. – М.: Наука, 1984. – 256 с.
  11. Freund L.B. Dynamic Fracture Mechanics. – Cambridge, UK. Cambridge University Press, 1998. – 558 p.
  12. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О рас- пространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Доклады Академии наук. – 2005. – Т. 405, № 2. – С. 196–198.
  13. Achenbach J.D. Wave propagation in Elastic Solids // North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics. – Amsterdam: North-Holland, 1973. – 425 p.
  14. Abrahams I.D. Аn application of Padé approximates to Wiener-Hopf factorization // IMA J. Appl. Math. – 2000. – Vol. 65. – P. 257–281.
  15. Матвеенко В.П., Федоров А.Ю., Шардаков И.Н. Ана- лиз сингулярности напряжений в особых точках упругих тел из функционально градиентных материалов // Доклады Ака- демии наук. – 2016. – Т. 466, № 1. – С. 38–42.
  16. Нобл Б. Метод Винера – Хопфа ИЛ, 1962. – 280 c.
  17. Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследо- вания локализации и резонансов в электроупругом анизотропном слое // Доклады РАН. – 1999. – Т. 367, № 2. – С. 186–190.
  18. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Точ- ное решение универсальным методом моделирования кон- тактной задачи в четверти плоскости многослойной среды // ПММ. – 2022. – Т. 86, № 5. – С. 628–637.
  19. Бабешко В.А., Евдокимова О.В., Бабешко О.М. Метод блочного элемента для интегральных уравнений контактных задач в клиновидной области // Журнал прикладной механики и технической физики. – 2017. – Т 58, № 2. – С. 133–140. doi: 10.1134/S0021894417020146
  20. Федорюк М.В. Метод перевала. – М:. Наука, 1977. – 368 с.

Statistics

Views

Abstract - 134

PDF (Russian) - 109

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M., Evdokimov V.S.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies