ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ КОНЕЧНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ТОНКОЙ ПЛИТЫ

Аннотация


С использованием комплексных потенциалов теории изгиба тонких электромагнитоуп- ругих плит получено решение задачи об изгибе конечной плиты с произвольными отвер- стиями и трещинами. При этом с помощью конформных отображений, разложений голо- морфных функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера и удовлетворения граничным условиям на контурах плиты обобщенным методом наименьших квадратов задача сведена к решению переопределенной системы линейных алгебраических уравнений методом сингулярных разложений. Описаны результаты численных исследований для круговой плиты с круговым отверстием, круговой плиты с внутренней или краевой трещиной, для плиты с двумя внутренними отверстиями или внешними выемами. Исследованы законо- мерности влияния физико-механических свойств материала плиты и геометрических ха- рактеристик отверстий, трещин и выемов на значения изгибающих моментов и коэффици- ентов интенсивности моментов для концов трещин. Установлено, что влияние учета пье- зосвойств материала на значения изгибающих моментов в плите велико и ими при исследовании напряженно-деформированного состояния пренебрегать нельзя, то есть нужно решать задачу электромагнитоупругости, а не задачу классической теории изгиба анизотропной плиты, к тому же при действии только электромагнитного поля в пьезоплите возникают достаточно большие изгибающие моменты (следовательно, напряжения и де- формации), и их можно найти только решая задачу электромагнитоупругости. Определено, что трещину в плите можно рассматривать как эллиптическое отверстие, у которого отно- шение полуосей менее 10–3, и в этих случаях можно вычислять коэффициенты интенсив- ности механических и электромагнитных моментов. Также установлено, при каких рас- стояниях между контурами влияние одного из них на напряженно-деформированное со- стояние около другого незначительно и им можно пренебречь.

Полный текст

Пьезоматериалы получили широкое распростране- ние в современной науке и технике [1–9]. Под действи- ем различных механических сил, тепловых и электро- магнитных полей в элементах конструкций из таких материалов могут возникать высокие концентрации напряжений, что нужно учитывать при проектировании конструкций. Следовательно, необходимо иметь высо- коэффективные методы определения электромагнито- упругого состояния (ЭМУС) тел из пьезоматериалов, что к настоящему времени выполнено в ряде фундамен- тальных работ [10–13]. Наибольшее распространение в качестве элементов конструкций получили тонкие пла- стинки, находящиеся в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или поперечного изгиба (тон- кие пьезоплиты). В работах [14–20] предложены раз- личные методы определения ЭМУС пьезоплит простой геометрической формы из материалов, имеющих про- стейшую микроструктуру. Однако в большинстве слу- чаев элементы конструкций изготавливаются из мате- риалов, обладающих общими электромагнитоупругими свойствами, более того, они могут иметь технологиче- ские отверстия, трещины и инородные включения, вблизи которых возникают высокие концентрации на- пряжений, приводящие к потере прочности конструк- ций. При исследованиях напряженно-деформированн- ного состояния многосвязных сред результаты с доста- точно высокой точностью позволяют получать методы, использующие комплексные потенциалы. Они широко применялись при решении плоской задачи теории упру- гости анизотропного тела [21], плоской задачи электро- магнитоупругости [22]. В теории изгиба тонких элек- тромагнитоупругих плит комплексные потенциалы бы- ли введены в статьях [23; 24], причем в статье [23] при построении теории известные гипотезы изгиба тонких плит Кирхгоффа дополнены условиями наличия в каж- дой точке плиты плоскости материальной симметрии, параллельной срединной плоскости и условиями на ин- дукции поля, а в работе [24] последняя гипотеза заме- нена условиями на потенциалы поля: скалярные потен- циалы действующих на плиту электрического и маг- нитного полей зависят линейно от координаты по толщине, т.е. где – плотности по толщине плиты потенциалов электрического и магнитного полей; пока- зана идентичность всех соотношений, получаемых при первом и втором подходов. В данной работе с использованием комплексных потенциалов построено общее решение задачи об изги- бе конечной пьезоплиты с произвольными отверстиями и трещинами. При этом с помощью конформных ото- бражений и разложений голоморфных функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера комплексные потен- циалы представлены в виде рядов с неизвестными ко- эффициентами, определяемых из граничных условий на контурах плиты обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК) [25]. Для круговой плиты с отвер- стием или трещиной, с двумя отверстиями или внешни- ми выемами проведены численные исследования, с по- мощью которых установлены закономерности измене- ния ЭМУС в зависимости от физико-механических свойств материала плиты и геометрических характери- стик отверстий, трещин и выемов.

Об авторах

С. А. Калоеров

Донецкий национальный университет

А. В. Сероштанов

Донецкий национальный университет

Список литературы

  1. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектриче- ские и пьезомагнитные материалы и их применение в преоб- разователях // Физическая акустика / под ред. У. Мэзона. – М.: Мир, 1966. – Т. 1, ч. А. – С. 204–326.
  2. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практическое при- менение. – М.: Иностр. лит., 1949. – 717 с.
  3. Магнитоэлектрические материалы / М.И. Бичурин [и др.] – М.: Изд-во «Академия Естествознания», 2006. – 296 c.
  4. Пятаков А.П. Магнитоэлектрические материалы и их практическое применение // Бюллетень МАГО. – 2006. – Т. 5, № 2. – С. 1–3.
  5. Rahmoune M., Benjeddou A., Ohayon R. New thin piezoelectric plate models // J. Intell. Mater. Syst. Struct. – 1998. – Vol. 9. – Р. 1017–1029.
  6. Srinivas S., Jiang Y.L. The effective magnetoelectric coefficients of polycrystalline multiferroic composites // Acta Mater. – 2005. – Vol. 53. – Р. 4135–4142. doi: 10.1016/j.actamat.2005.05.014
  7. Vel S.S., Batra R.C. Exact solution for the cylindrical bending of laminated plates with embedded piezoelectric shear actuators // Smart Mater. Struct. – 2001. – Vol. 10. – Р. 240–251. doi: 10.1088/0964-1726/10/2/309
  8. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В. Гидроупругая устойчи- вость коаксиальных цилиндрических оболочек, выполненных из пьезоэлектрического материала // Вестник Пермского на- ционального исследовательского политехнического универси- тета. Механика. – 2019. – № 2. – С. 35–48. doi: 10.15593/perm.mech/2019.2.04
  9. Шляхин Д.А., Кальмова М.А. Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра // Вестник Пермского национального исследова- тельского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 2. – С. 181–190. doi: 10.15593/perm.mech/2021.2.16
  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 621 с.
  11. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. – М.: Мир, 1991. – 560 с.
  12. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. – М.: Мир, 1986. – 160 с.
  13. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупру- гость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Нау- ка, 1988. – 472 с.
  14. Eringen A.C., Maugin, G.A. Electrodynamics of Continua I. – Springer, New York, 1990. – 436 p. doi: 10.1007/978-1- 4612-3226-1
  15. Eringen A.C. Theory of electromagnetic elastic plates // International journal of engineering science. – 1989. – Vol. 27, no. 4. – Р. 363–375. doi: 10.1016/0020-7225(89)90128-6
  16. Galeş C., Baroiu N. On the bending of plates in the electromagnetic theory of microstretch elastity // ZAMM – Journal of Applied Mathematics and Mechanics. – 2014. – Vol. 94, no. 1–2. – Р. 55–71. doi: 10.1002/zamm.201200219
  17. Ieşan D., On the bending of piezoelectric plates with microstructure // Acta Mech. – 2008. – Vol. 198, no. 3. – P. 191–208. doi: 10.1007/s00707-007-0527-8
  18. Librescu L., Hasanyan D., Ambur D.R. Electromagnetically conducting elastic plates in a magnetic field: modeling and dynamic implications // International journal of non-linear mechanics. – 2004. – Vol. 39, no. 5. – P. 723–739.
  19. Xu S.-P., Wang W. Bending of piezoelectric plates with a circular hole // Acta Mech. – 2009. – Vol. 203. – P. 127–135. doi: 10.1007/s00707-008-0025-7
  20. Yang J. The Mechanics of Piezoelectric Structures. – Singapore: World Scientific, 2006. – 313 p. doi: 10.1142/6057
  21. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного те- ла. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
  22. Калоеров С.А., Петренко А.В. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел. – Донецк: Юго-Восток. – 2011. – 232 с.
  23. Калоеров С.А. Основные соотношения прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих плит // Вестн. ДонНУ. Сер. А. Естеств. науки. – 2022. – № 1. – С. 20–38.
  24. Калоеров С.А., Сероштанов А.В. Исследование изги- ба тонких электромагнитоупругих плит // Прикладная меха- ника и техническая физика. – 2022. – Т. 63, № 2. – С. 151–165.
  25. Калоеров С.А., Паршикова О.А. Термовязкоупругое состояние многосвязной анизотропной пластинки // Приклад- ная механика. – 2012. – № 3 (48). – С. 103–116.
  26. Калоеров С.А., Горянская Е.С. Двумерное напряжен- ное состояние многосвязного анизотропного тела с полостями и трещинами // Теорет. и прикладная механика. – 1995. – № 25. – С. 45–56.
  27. Калоеров С.А., Авдюшина Е.В., Мироненко А.Б. Концентрация напряжений в многосвязных изотропных плас- тинках. – Донецк: Изд-во ДонНУ, 2013.– 440 с.
  28. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
  29. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 280 с.
  30. Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 1 // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – Vol. 29, no. 4. – P. 1322–1342.
  31. Drmač Z., Veselič K. New fast and accurate Jacobi SVD algorithm. 2 // SIAM J. Matrix Anal. Appl. – 2008. – Vol. 29, no. 4. – P. 1343–1362.
  32. Калоеров С.А. Определение коэффициентов интен- сивности напряжений, индукции и напряженности для много- связных сред // Прикладная механика. – 2007. – Т. 43, № 6. – С. 56–62.
  33. Tian W.-Y., Gabbert U. Multiple crack interaction problem in magnetoelectroelastic solids // Europ. J. Mech. Part A. – 2004. – Vol. 23. – P. 599–614. doi: 10.1016/j.euromechsol.2004.02.002
  34. Yamamoto Y., Miya K. Electromagnetomechanical Interactions in Deformable Solids and Structures. – Amsterdam: Elsevier Science-North Holland, 1987. – 450 p.
  35. Hou P.F., Teng G.-H., Chen H.-R. Three-dimensional Greens function for a point heat source in two-phase transversely isotropic magneto-electro-thermo-elastic material // Mech. Mater. – 2009. – Vol. 41. – P. 329–338. doi: 10.1016/j.mechmat.2008.12.001.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 62

PDF (Russian) - 61

Cited-By


PlumX


© Калоеров С.А., Сероштанов А.В., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах