ГИПОТЕЗЫ БЕРНУЛЛИ В ЗАДАЧЕ ИЗГИБА МЕХАНИЧЕСКИ НЕСЖИМАЕМОЙ БАЛКИ

Аннотация


Условие несжимаемости для изотропного линейно упругого материала серьезно огра- ничивает применение классических гипотез теории изгиба балок, сформулированных Бер- нулли для малых деформаций и перемещений. При этом принимается, что такое сильное кинематическое условие, как условие неизменяемости объема, должно, безусловно, вы- полняться. Термин «механическая несжимаемость» подразумевает воздействие на балку исключительно силовой нагрузки, но при тепловом на неё воздействии деформация изме- нения объёма является функцией температуры. Тем не менее в обоих этих случаях усло- вие механической несжимаемости может быть конфликтным по отношению к классическим гипотезам изгиба балки, что может привести к вырождению задачи. Поэтому перед реше- нием любой задачи для механически несжимаемых материалов необходимо все исполь- зуемые и достаточно обоснованные для обычных материалов гипотезы проверить на предмет соответствия кинематическому условию неизменяемости объёма. В случае несо- ответствия необходимо построить модель расчёта, основанную на других, не противоре- чащих несжимаемости гипотезах, которые не приведут к серьёзному усложнению решае- мых задач. Для изгибаемой балки используется модель Бернулли, основой которой явля- ются кинематическая гипотеза прямой нормали (поперечный отрезок после деформации остаётся прямым, плоским, ортогональным к изогнутой оси балки, а расстояния между точками отрезка остаются неизменными) и силовая гипотеза ненадавливаемости волокон балки в поперечном направлении. Каждая из перечисленных гипотез должна быть прове- рена на предмет соответствия условию неизменяемости объёма балки при воздействии на неё поверхностной силовой изгибающей нагрузки. Учёт поперечных деформаций актуален для низкомодульных материалов и особенно для материалов с низким сдвиговым моду- лем в поперечном направлении. Несжимаемые материалы, как правило, относятся к низ- комодульным, но не это их свойство является определяющим при анализе гипотез Бер- нулли.

Полный текст

Одной из первых работ по уточнению классических теорий изгиба балок и пластин была работа выдающе- гося ученого С.П. Тимошенко [1], который отказался от гипотезы ортогональности поперечного отрезка к изо- гнутой оси балки и к срединной поверхности пластинки в результате их деформирования. При этом принима- лось постоянство касательных напряжений по высоте балки или пластинки, что привело к появлению каса- тельной нагрузки на протяжённых границах балки и основаниях пластинки и, следовательно, исказило ис- ходную задачу. Позже Е. Рейсcнер и С.А. Амбарцумян [2; 3] ап- проксимировали поперечные касательные напряжения квадратной параболой, что позволило автоматически удовлетворить граничные условия отсутствия касатель- ной нагрузки на основаниях пластинки. Благодаря это- му увеличились количество неизвестных и порядок сис- темы дифференциальных уравнений, что позволило удовлетворить по три граничных условия на каждой кромке прямоугольной пластинки. Дальнейшие уточнения связаны с аппроксимацией перемещений по толщине с использованием полиноми- альных функций различного порядка, от которых зави- сит точность результатов. Эти уточнения проводились для тонких пластин и балок достаточной длины, выпол- ненных из традиционных, композиционных и резино- подобных материалов [4–9]. В работах [10–12] и других приводятся результаты исследований по уточнению теории изгиба пластин и балок, а также методы расчёта балок, пластин и оболочек из эластичных и резинопо- добных материалов. Для балок и пластин из несжимаемых материалов уточняющие расчётные модели практически отсутст- вуют. Ниже в трёх разделах последовательно рассматри- ваются задачи изгиба несжимаемой балки с частичным использованием и без использования гипотез Бернулли. Полагаем, что внешняя силовая нагрузка не вызывает больших перемещений, а напряжения зависят линейно от деформаций, ось x совпадает с нейтральной осью балки, ось y направлена по высоте балки.

Об авторах

В. В Фирсанов

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

Список литературы

  1. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Phil. Mag. – 1921. – Vol. 41. – Р. 744–746. doi: 10.1080/14786442108636264
  2. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. – 1945. – Vol. 12, iss. 2. – P. 69–77. doi: 10.1115/1.4009435
  3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
  4. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 26–47.
  5. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. АН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 48–64.
  6. Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. – 1998. – № 3. – С. 46–58.
  7. Carrera E., Giunta G., Petrolo M. Beam Structures: Classical and Advanced Theories. –Wiley, 2011 – 204 p.
  8. Моделирование несжимаемых слоистых композитов с конечными деформациями на основе метода асимптотического осреднения / Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Коль- жанов, С.Б. Каримов // Математическое моделирование и чис- ленные методы. – 2017. – № 1. – C. 32–54. doi: 10.18698/2309- 3684-2017-1-3254
  9. Фирсанов В.В. Изгиб балки, выполненной из материа- ла с неизменяемым объёмом // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2020. – Т. 26, № 2. – С. 200–211. doi: 10.33113/MKMK.RAS.2020.26.02.200_211.04
  10. Pobedrya B.E. Equations of state of viscoelastic isotropic media // Mechanics of Composite Materials. – 1967. – Vol. 3, iss. 4. – P. 429–432. doi: 10.1007/BF01150958
  11. Treloar L.R.G. The Physics of Rubber Elasticity. – OUP Oxford, 2005. – 324 p.
  12. Козлов В.В. Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные нау- ки. – 2011. – Вып. 3. – С. 93–101.
  13. Лазарев М.И. Решение основных задач теории упру- гости для несжимаемых сред // Прикладная математика и ме- ханика. – 1980. – Т. 44, № 5. – С. 867–874.
  14. Stepanyan S.Pa. On the numerical solution to a nonclassical problem of bending and stability for an orthotropic beam of variable thickness // Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. – 2021. – № 73. – С. 111–120. DOI: 10/17223/19988621/73/10.
  15. Соляев Ю.О., Лурье С.А., Волков А.В. Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 2. – С. 137–152. doi: 10.7242/1999- 6691/2017.10.2.1
  16. Kaplunov, Izuru Takewaki. Modern Trends in Structural and Solid Mechanics 1: Statics and Stability. – Noël Challamel, Julius, John Wiley and Sons, 2021. – 266 p.
  17. Hardy H. Engineering Elasticity: Elasticity with less Stress and Strain. – Springer, 2022. – 275 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-09157-5
  18. Herakovich C.T. A Concise Introduction to Elastic Solids: An Overview of the Mechanics of Elastic Materials and Structures. – Springer, 2017. – 136 p. doi: 10.1007/978-3-319-45602-7
  19. Богачев И.В. Совместная идентификация механиче- ских характеристик функционально градиентных пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко. // Вестник Пермско- го национального исследовательского политехнического уни- верситета. Механика. – 2021. – № 4. – С. 19–29. doi: 10.15593/perm.mech/2021.4.03
  20. Зубов Л.М. Универсальные решения для изотропных несжимаемых микрополярных тел // Доклады Академии на- ук. – 2010. – Т. 435, № 1. – С. 35–39.
  21. Сащенко М.А., Павлов Д.А., Жигалов М.В. Сравни- тельный анализ математических моделей балок Бернулли – Эйлера, Тимошенко, Шереметьева – Пелеха, Акавчи, Туаратье на примере контактной задачи // Вестник Саратовского госу- дарственного технического университета. – 2022. – № 1 (92). – С. 36–48.
  22. Recent approaches in the theory of plates and plate-like structures / Altenbach H., Bauer S., Eremeyev V.A., Mikhasev G.I., Morozov N.F. – Springer, Switzerland, 2022. – 326 p. doi: 10.1007/978-3-030-87185-7
  23. Bhaskar K., Varadan T. Plates: Theories and Applications. – Springer, 2021. – 278 p. doi: 10.1007/978-3-030-69424-1
  24. Eslami M.R. Buckling and Postbuckling of Beams, Plates, and Shells. – Springer, 2017. – 588 p. doi: 10.1007/978-3- 319-62368-9
  25. Сагдатуллин М.К. Расчёт конструкций из несжимае- мых материалов // Вестник Казанского технологического уни- верситета. – 2021. – Т. 24, № 2. – С. 79–82.
  26. Точное решение задачи о поэтапной деформации мно- гослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала / В.А. Левин, А.В. Вершинин, К.М. Зингерман, Д.Р. Бирюков. // Чебышевский сборник. – 2022. – № 4 (85). – Т. ХХIII. – С. 262– 272. DOI: 1022405/2226-8383=2022-23-4-262-271
  27. Jones R.M. Buckling of Bars, Plates, and Shells. – Bull Ridge Corporation, 2006. – 824 p.
  28. Vijayakumar K., Ramaiah G.K. Poisson Theory of Elastic Plates. – Springer, 2021. – 149 p. doi: 10.1007/978-981-33-4210-1
  29. Mukherjee B., Dillard D.A. On buckling of a thin plate on an elastomeric foundation // International Journal of Mechanical Sciences. – Elsevier, 2018. – Vol. 149. – P. 429–435. DOI: 10/1016/j.ijmecsci.2017.10.015
  30. Фирсанов В.В. Изгиб композитной балки с учётом сдвиговой деформации // Известия ТулГУ Технические нау- ки. – 2018. – Вып. 4. – С. 168–174.
  31. Фирсанов В.В. Моделирование изгиба балок из рези- ноподобных материалов. // Математическое моделирование и численные методы. – 2021. – № 4.– С. 3–16. doi: 10.18698/2309-3684-2021-4-316.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 207

PDF (Russian) - 208

Cited-By


PlumX


© Фирсанов В.В., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах