BERNOULLI HYPOTHESES IN THE PROBLEM OF BENDING A MECHANICALLY INCOMPRESSIBLE BEAM

Abstract


The incompressibility condition for an isotropic linearly elastic material seriously restricts the application of the classical hypotheses of the beam bending theory formulated by Bernoulli for small deformations and displacements. At the same time, it is assumed that such a strong kinematic condition as the condition of immutability of volume must be unconditionally fulfilled. The term “mechanical incompressibility” implies the impact on the beam exclusively of a force load, but with thermal action on it, the deformation of the volume change is a function of temperature. Nevertheless, in both of these cases, the condition of mechanical incompressibility may conflict with the classical hypotheses of beam bending, which may lead to the problem degeneration. Therefore, before solving any problem for mechanically incompressible materials, it is necessary to check all hypotheses used and sufficiently justified for conventional materials for compliance with the kinematic condition of volume immutability. In case of inconsistency, it is necessary to build a calculation model based on other hypotheses that do not contradict incompressibility, which will not lead to a serious complication of the tasks being solved. For a bent beam, the Bernoulli model is used, the basis of which is the kinematic hypothesis of a straight normal (the transverse segment after deformation remains straight, orthogonal to the curved axis of the beam and the distances between the points of the segment remain unchanged) and the force hypothesis of the non-compressibility of the beam fibers in the transverse direction. Each of the above hypotheses should be checked for compliance with the condition of immutability of the beam volume when exposed to the surface force bending load. The consideration of transverse deformations is relevant for low-modulus materials and especially for materials with a low shear modulus in the transverse direction. Incompressible materials, as a rule, belong to low-modulus, but this is not their property that is decisive in the analysis of Bernoulli hypotheses.

Full Text

Одной из первых работ по уточнению классических теорий изгиба балок и пластин была работа выдающе- гося ученого С.П. Тимошенко [1], который отказался от гипотезы ортогональности поперечного отрезка к изо- гнутой оси балки и к срединной поверхности пластинки в результате их деформирования. При этом принима- лось постоянство касательных напряжений по высоте балки или пластинки, что привело к появлению каса- тельной нагрузки на протяжённых границах балки и основаниях пластинки и, следовательно, исказило ис- ходную задачу. Позже Е. Рейсcнер и С.А. Амбарцумян [2; 3] ап- проксимировали поперечные касательные напряжения квадратной параболой, что позволило автоматически удовлетворить граничные условия отсутствия касатель- ной нагрузки на основаниях пластинки. Благодаря это- му увеличились количество неизвестных и порядок сис- темы дифференциальных уравнений, что позволило удовлетворить по три граничных условия на каждой кромке прямоугольной пластинки. Дальнейшие уточнения связаны с аппроксимацией перемещений по толщине с использованием полиноми- альных функций различного порядка, от которых зави- сит точность результатов. Эти уточнения проводились для тонких пластин и балок достаточной длины, выпол- ненных из традиционных, композиционных и резино- подобных материалов [4–9]. В работах [10–12] и других приводятся результаты исследований по уточнению теории изгиба пластин и балок, а также методы расчёта балок, пластин и оболочек из эластичных и резинопо- добных материалов. Для балок и пластин из несжимаемых материалов уточняющие расчётные модели практически отсутст- вуют. Ниже в трёх разделах последовательно рассматри- ваются задачи изгиба несжимаемой балки с частичным использованием и без использования гипотез Бернулли. Полагаем, что внешняя силовая нагрузка не вызывает больших перемещений, а напряжения зависят линейно от деформаций, ось x совпадает с нейтральной осью балки, ось y направлена по высоте балки.

About the authors

V. V Firsanov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

References

  1. Timoshenko S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars // Phil. Mag. – 1921. – Vol. 41. – Р. 744–746. doi: 10.1080/14786442108636264
  2. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. – 1945. – Vol. 12, iss. 2. – P. 69–77. doi: 10.1115/1.4009435
  3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, 1987. – 360 с.
  4. Васильев В.В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 26–47.
  5. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. АН. МТТ. – 1992. – № 3. – С. 48–64.
  6. Васильев В.В. Классическая теория пластин – история и современный анализ // Изв. АН. МТТ. – 1998. – № 3. – С. 46–58.
  7. Carrera E., Giunta G., Petrolo M. Beam Structures: Classical and Advanced Theories. –Wiley, 2011 – 204 p.
  8. Моделирование несжимаемых слоистых композитов с конечными деформациями на основе метода асимптотического осреднения / Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Коль- жанов, С.Б. Каримов // Математическое моделирование и чис- ленные методы. – 2017. – № 1. – C. 32–54. doi: 10.18698/2309- 3684-2017-1-3254
  9. Фирсанов В.В. Изгиб балки, выполненной из материа- ла с неизменяемым объёмом // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2020. – Т. 26, № 2. – С. 200–211. doi: 10.33113/MKMK.RAS.2020.26.02.200_211.04
  10. Pobedrya B.E. Equations of state of viscoelastic isotropic media // Mechanics of Composite Materials. – 1967. – Vol. 3, iss. 4. – P. 429–432. doi: 10.1007/BF01150958
  11. Treloar L.R.G. The Physics of Rubber Elasticity. – OUP Oxford, 2005. – 324 p.
  12. Козлов В.В. Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные нау- ки. – 2011. – Вып. 3. – С. 93–101.
  13. Лазарев М.И. Решение основных задач теории упру- гости для несжимаемых сред // Прикладная математика и ме- ханика. – 1980. – Т. 44, № 5. – С. 867–874.
  14. Stepanyan S.Pa. On the numerical solution to a nonclassical problem of bending and stability for an orthotropic beam of variable thickness // Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. – 2021. – № 73. – С. 111–120. DOI: 10/17223/19988621/73/10.
  15. Соляев Ю.О., Лурье С.А., Волков А.В. Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2017. – Т. 10, № 2. – С. 137–152. doi: 10.7242/1999- 6691/2017.10.2.1
  16. Kaplunov, Izuru Takewaki. Modern Trends in Structural and Solid Mechanics 1: Statics and Stability. – Noël Challamel, Julius, John Wiley and Sons, 2021. – 266 p.
  17. Hardy H. Engineering Elasticity: Elasticity with less Stress and Strain. – Springer, 2022. – 275 p. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-09157-5
  18. Herakovich C.T. A Concise Introduction to Elastic Solids: An Overview of the Mechanics of Elastic Materials and Structures. – Springer, 2017. – 136 p. doi: 10.1007/978-3-319-45602-7
  19. Богачев И.В. Совместная идентификация механиче- ских характеристик функционально градиентных пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко. // Вестник Пермско- го национального исследовательского политехнического уни- верситета. Механика. – 2021. – № 4. – С. 19–29. doi: 10.15593/perm.mech/2021.4.03
  20. Зубов Л.М. Универсальные решения для изотропных несжимаемых микрополярных тел // Доклады Академии на- ук. – 2010. – Т. 435, № 1. – С. 35–39.
  21. Сащенко М.А., Павлов Д.А., Жигалов М.В. Сравни- тельный анализ математических моделей балок Бернулли – Эйлера, Тимошенко, Шереметьева – Пелеха, Акавчи, Туаратье на примере контактной задачи // Вестник Саратовского госу- дарственного технического университета. – 2022. – № 1 (92). – С. 36–48.
  22. Recent approaches in the theory of plates and plate-like structures / Altenbach H., Bauer S., Eremeyev V.A., Mikhasev G.I., Morozov N.F. – Springer, Switzerland, 2022. – 326 p. doi: 10.1007/978-3-030-87185-7
  23. Bhaskar K., Varadan T. Plates: Theories and Applications. – Springer, 2021. – 278 p. doi: 10.1007/978-3-030-69424-1
  24. Eslami M.R. Buckling and Postbuckling of Beams, Plates, and Shells. – Springer, 2017. – 588 p. doi: 10.1007/978-3- 319-62368-9
  25. Сагдатуллин М.К. Расчёт конструкций из несжимае- мых материалов // Вестник Казанского технологического уни- верситета. – 2021. – Т. 24, № 2. – С. 79–82.
  26. Точное решение задачи о поэтапной деформации мно- гослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала / В.А. Левин, А.В. Вершинин, К.М. Зингерман, Д.Р. Бирюков. // Чебышевский сборник. – 2022. – № 4 (85). – Т. ХХIII. – С. 262– 272. DOI: 1022405/2226-8383=2022-23-4-262-271
  27. Jones R.M. Buckling of Bars, Plates, and Shells. – Bull Ridge Corporation, 2006. – 824 p.
  28. Vijayakumar K., Ramaiah G.K. Poisson Theory of Elastic Plates. – Springer, 2021. – 149 p. doi: 10.1007/978-981-33-4210-1
  29. Mukherjee B., Dillard D.A. On buckling of a thin plate on an elastomeric foundation // International Journal of Mechanical Sciences. – Elsevier, 2018. – Vol. 149. – P. 429–435. DOI: 10/1016/j.ijmecsci.2017.10.015
  30. Фирсанов В.В. Изгиб композитной балки с учётом сдвиговой деформации // Известия ТулГУ Технические нау- ки. – 2018. – Вып. 4. – С. 168–174.
  31. Фирсанов В.В. Моделирование изгиба балок из рези- ноподобных материалов. // Математическое моделирование и численные методы. – 2021. – № 4.– С. 3–16. doi: 10.18698/2309-3684-2021-4-316.

Statistics

Views

Abstract - 150

PDF (Russian) - 153

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Firsanov V.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies