КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО И ПЛОСКОРАДИАЛЬНОГО ПОТОКОВ ПРИ УПРУГОМ РЕЖИМЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Аннотация


Теория фильтрации жидкостей и газов через пористые среды исторически применялась для решения большого количества прикладных проблем – от движения подземных вод до закономерностей консолидации биологических тканей. В работе рассмотрены две базовые задачи физики нефтяного и газового плаcтов – плоскопараллельный и плоскорадиальный потоки жидкости и идеального газа через пористый деформируемый скелет. В качестве уравнения фильтрации флюидов применяется линейный закон Дарси́. Определяющие соотношения для скелета включают в себя член, учитывающий влияние флюидного давления на его деформацию. В свою очередь определяющие соотношения для флюида учитывают влияние скелета на сжимаемость флюида. Таким образом сформулирована связанная задача при упругом режиме фильтрации флюида. В работе выполнена верификация модели на основе аналитических решений, а также численных решений, полученных другими авторами. Показано, что полученные численные решения, а именно распределения порового давления, скоростей фильтрации и массовых расходов с высокой точностью совпадают с аналитическими решениями. Дополнительно рассмотрена фильтрация флюида через квази-изотропную среду. Показано, что наличие слоя с пониженной проницаемостью не приводит к нелинейности в распределении скорости для жидкости и в произведении плотности на скорость для газа, однако их значение при этом снижается. Профиль распределения давления, напротив, скачкообразно меняется при переходе от слоя к слою. Предложены новые формулы для определения эффективной проницаемости квази-изотропной среды на основе данных численного моделирования плоскопараллельного потока. Полученные результаты могут найти применение при расчете параметров эксплуатации нефтяных и газовых месторождений.

Полный текст

В 1856 году А. Дарси́ публикует работу [1], посвященную исследованию фильтрации воды через песчаный слой. Исследование показало, что скорость фильтрации прямо пропорциональна разности напоров на входе и выходе в слой и обратно пропорциональна толщине слоя. Коэффициентом пропорциональности является проницаемость слоя, зависящая от его внутренних свойств. Данный закон был впоследствии назван в честь его открывателя - закон Дарси́ - который применяется для описания фильтрации жидкостей и газов через различные пористые среды в настоящее время, например [2]. Безусловно, за примерно 170 лет закон претерпел ряд изменений. Например, была сформулирована дифференциальная форма закона, а также подробно исследованы границы применимости линейного приближения и случаев, когда фильтруется не вода, а неньютоновские жидкости, например, нефть. Оказалось, что при очень малых скоростях фильтрации, силы межмолекулярного взаимодействия оказывают значительное влияние, что приводит к нелинейности в зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Например, в работе [3] отмечается, что для нивелирования ошибок в определении проницаемости плотных горных пород при режимах фильтрации вблизи нижней границы применимости закона Дарси́, необходимы измерения крайне низких расходов жидкости, что требует развития новых экспериментальных методик. В результате в работе был предложен новый метод регуляризации экспериментальных данных по фильтрации с низкими скоростями для оценки эффективной проницаемости плотных горных пород от градиента флюидного давления, который оказался более эффективным по сравнению с другими методами. При больших скоростях, напротив, нелинейность обусловлена сравнительно высокой инерционностью потока. Вязкость флюида также оказывает влияние на скорость фильтрации, которая в итоге оказалась в знаменателе уравнения фильтрации [4; 5]. Краткие исторические экскурсы по развитию теории фильтрации применительно к исследованию течения грунтовых вод можно найти в работе [6], применительно к проблемам добычи жидких углеводородов можно найти в работе [5]. Теория фильтрации находит свое применение и при рассмотрении закономерностей деформации (консолидации) различных материалов, например, губчатых резин и биологических тканей [7; 8], а также песчаных грунтов [9]. Представленный ниже литературный обзор, охватывает некоторые работы, посвященные упругому режиму фильтрации в коллекторе. Фильтрация флюида в упругом режиме предполагается за счет упругих свойств самого флюида и среды. Флюид при этом может представлять собой смесь нефти и газа. В этом случае растворенный газ также играет роль в формировании притока всей смеси к скважинам. Первые работы по фильтрации газированной жидкости были выполнены в 30е-40е годы 20го столетия, как за рубежом [10], так и в бывшем СССР [11; 12]. Работы [7-9] рассматривали движущиеся флюиды как несжимаемые, но не рассматривали полученные уравнения, как описывающие упругий режим фильтрации. Как отмечается в работе Николаевского В.Н. [13], теория течения упругой жидкости в деформируемой упругой пористой среде, по-видимому, впервые была сформулирована в работе Щелкачева В.Н. [14], где было показано, что при определенных преобразованиях основное дифференциальное уравнения фильтрации жидкости сводится к уравнению пьезопроводности, аналогу уравнения теплопроводности [14; 15]. Очевидно, что попытка рассмотрения течения сжимаемой жидкости в сжимаемом каркасе привела к необходимости разработки соответствующих определяющих соотношений. В первую очередь, зависимости плотности жидкости от порового давления, а также пористости и проницаемости среды от эффективных напряжений в скелете [13]. Исследования показали, что в упругом режиме при понижении пластового давления, степень извлечения нефти может существенно увеличиться, за счет снижения упругой энергии как самой нефти, так и скелета. Данный эффект связан с изменениями, происходящими в поровом пространстве, и, в совокупности с нагнетательными скважинами на контуре обводнения, позволяет существенно повысить нефтеотдачу [16]. Подобный подход является дополнением к классическому методу вытеснения нефти при закачке рабочих жидкостей в нагнетательные скважины. При математическом решении задач вытеснения нефти традиционно применяются модели фильтрации многофазных жидкостей, как, например, в работе [17]. Как отмечалось выше, при добыче нефти или газа в окрестностях пласта происходят изменения в поровом пространстве за счет изменения напряженно-деформированного состояния (далее НДС). Очевидно, что изменение НДС сказывается на фильтрационно-емкостных свойствах среды, прежде всего на пористости и проницаемости скелета. Так, например, во многих работах предполагается степенной закон зависимости проницаемости от пористости вида: [18; 19], где – исходная проницаемость, , – текущее и начальное значение пористости, соответственно, N – показатель степени. Как показывают эксперименты [20], породы проявляют нелинейный характер изменения проницаемости только в первом цикле нагружения, когда происходят необратимые деформации. Дальнейшее циклирование нагрузки происходит в упругом режиме даже при сравнительно высоких значениях эффективного давления. Однако подобное поведение вероятно только при сохранении начальной ориентации эллипсоида напряжений при повторных циклах нагружения (эффект Кайзера) [21]. Изменение проницаемости также часто описывают функциями пластового или эффективного давления, см. например обзор [22]. Другие исследования убедительно свидетельствуют о том, что наличие флюида в поровом пространстве оказывают влияние и на другие физико-механические характеристики вмещающей среды, например [23–29]. Для удобства описания движения флюидов, в предположении постоянства проницаемости и вязкости в среде, Лейбензоном Л.С. была предложена функция следующего вида [11]: (1) где – плотность флюида, – флюидное давление. Рассмотрение полного дифференциала от функции позволяет показать, что она удовлетворяет уравнению Лапласа, и, в случае установившегося движения, . Для простейших флюидов – упругой жидкости и идеального газа функция Лейбензона представлена уравнениями (2а) и (2б), соответственно [4]: (2a) (2б) где – сжимаемость жидкости, – плотность газа при атмосферном давлении, – атмосферное давление. Запись уравнения Дарси́ через функцию Лейбензона позволяет определить распределения функции вдоль трубки тока при удовлетворении граничным и начальным условиям для различных одномерных потоков и, уже через нее определить распределения флюидного давления, массового и объемного расходов. Распределения функции для плоскопараллельного и плоскорадиального потоков даны уравнениями (3а) и (3б), соответственно. Получаемые аналитические распределения флюидного давления приведены ниже при обсуждении результатов моделирования. (3а) (3б) где , – значение функции Лейбензона на контуре питания и на галерее, соответственно, – расстояние между контуром питания и скважиной, , - радиус скважины и контура питания, соответственно. Отметим, что при рассмотрении наиболее полной постановки задачи, т.е. движения сжимаемого флюида в деформируемой пористой среде, требуется определить 8 функций координат и времени – давления, трех компонент вектора скорости, плотности, вязкости, проницаемости и пористости. Последнее приводит к неголономности системы уравнений и возможности получить аналитические решения лишь в ограниченном числе случаев при значительной идеализации. Однако, рассмотрение идеализированных случаев позволяет верифицировать разрабатываемые численные подходы к интегрированию неголономных систем уравнений, чему и посвящена настоящая работа. В следующем разделе представлена постановка задачи движения упругого флюида в деформируемой пористой среде. Рассматривается два идеализированных потока флюида – плоскопараллельный и плоскорадиальный, и два вида флюидов – идеальная жидкость и идеальный газ. Согласно проведенному литературному обзору, вопрос оценки эффективной проницаемости среды при ее неоднородном строении является актуальным. По этой причине, в последнем разделе статьи предложен новый подход к определению эффективной проницаемости неоднородной среды.

Об авторах

М. О Еремин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, Российская Федерация

Р. А Бакеев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, Российская Федерация

Ю. П Стефанов

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, Российская Федерация

А. О Чирков

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, Российская Федерация

А. Пажин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, Российская Федерация

Список литературы

  1. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. – Paris, 1856. – 647 p
  2. Knyazeva, A.G., Nazarenko, N.N. Coupled Model of a Biological Fluid Filtration Through a Flat Layer with Due Account for Barodiffusion. // Transport in Porous Media – 2022. – V.141 – pp. 331-358. doi: 10.1007/s11242-021-01720-
  3. Барышников Н.А., Зенченко Е.В., Турунтаев С.Б. Применение метода регуляризации квадратичного отклонения для анализа результатов лабораторных исследований нелинейных фильтрационных потоков // Динамические процессы в геосферах. – 2022 – Т. 14, № 1. – С. 85-92
  4. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. Учебник для ВУЗов. – М.: Недра, 1993. – 416 с
  5. Борхович С.Ю., Пчельников И.В., Колесова С.Б. Подземная гидромеханика: учебно-методическое пособие. – Ижевск: издательский центр «Удмуртский университет», 2017. – 176 с
  6. Эмих, В.Е. Развитие методов комплексного анализа в задачах теории фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. – 2015. – №56(5), С. 130-138. doi: 10.15372/PMTF2015051
  7. Artamonova, N.B., Sheshenin, S.V. Finite element implementation of a geometrically and physically nonlinear consolidation model // Continuum Mechanics and Thermodynamics. – 2023. – V. 35, No. 4. – pp.1291–1308. doi: 10.1007/s00161-022-01124-
  8. Еремина Г.М., Смолин А.Ю. Численное исследование механического поведения тазобедренного сустава при терапевтическом акустическом воздействии // Российский Журнал Биомеханики. – 2023. – № 1. – С. 32–44
  9. Шешенин, С.В., Артамонова, Н.Б. Моделирование нелинейной консолидации пористых сред. // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2022. – № 1. – С. 167–176. doi: 10.15593/perm.mech/2022.1.1
  10. Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media // Soil Science. – 1946. – V.46, No. 2 – 770 p
  11. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л.: ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. 244 с
  12. Христианович С.А. О движении газированной жидкости в пористых породах // Прикладная математика и механика. – 1941. – Т. 10, № 2. – C. 277-282
  13. Николаевский В.Н. К построению нелинейной теории упругого режима фильтрации жидкости и газов // Прикладная механика и техническая физика. – 1961. – № 4. – С. 67-76
  14. Щелкачев В.Н. Основные уравнения упругой жидкости в упругой пористой среде / Доклады АН СССР. – 1946. – Т. 52. №2, C. 103-106
  15. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика – М.:Гостоптехиздат, 1963. – 397 с
  16. Kovalenko, Yu.F., Khristianovich, S.A. Elastic regime for exploiting an oil field // Soviet Mining Science – 1991. – V. 27, No. 1. – pp. 15-32. doi: 10.1007/BF0249968
  17. Васильева М.В., Прокофьев Г.А. Численное решение задачи двухфазной фильтрации с неоднородными коэффициентами методом конечных элементов // Математические заметки СВФУ. – 2017. – Т. 24, № 2. С. 46-62
  18. Kapustyanskii S.M., Nikolaevskii V.N., Zhilenkov A.G. Nonholonomic model of deformation of highly porous sandstone under its internal crushing // Izvestiya, Physics of the solid earth – 2010. – V. 46, No. 12. – pp. 82-93
  19. Effectiveness of embedded discontinuities technique in capturing geomechanical behavior in naturally fractured reservoirs / B. Maciel [et al.] // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology. – 2024. – V. 14 – pp. 665-691. doi: 10.1007/s13202-023-01735-
  20. Исследование зависимости проницаемости горной породы от ее напряженно-деформированного состояния / А.Л. Хашпер [и др.] // Геологический вестник. – 2019. – №1 – C. 133-140. doi: 10.31084/2619-0087/2019-1-1
  21. The Kaiser Effect under Multiaxial Nonproportional Compression of Sandstone/ I.A. Panteleev [et al.] // Doklady Physics. – 2020. – V. 65 – pp. 396-399. doi: 10.1134/S102833582011007
  22. A critical review of coal permeability models / Q. Gao [et al.] // Fuel. – 2022. – V. 326. – 125124 p. doi: 10.1016/j.fuel.2022.12512
  23. Biot, M.A. General theory of three-dimensional consolidation // Journal of Applied Physics. – 1941. – V. 12. – pp. 155-164. doi: 10.1063/1.171288
  24. Rice J.R. Pore pressure effects in inelastic constitutive formulations for fissured rock masses // Advances in Civil Engineering through Engineering Mechanics – New York, 1977. – pp. 360–36
  25. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of poroelasticity. In Comprehensive Rock Engineering: Principles, Practice and Projects – Pergamon Press: Oxford – 1993. – V 2. – pp. 113–171.
  26. Rudnicki J.W. Coupled deformation-diffusion effects in the mechanics of faulting and failure of geomaterials // Applied Mechanics Review. – 2002. – V. 54, No. 6. – pp. 483-50
  27. Cheng, A.H.-D. Fundamental Solution and Integral Equation // Poroelasticity. – 2016. V. 27. – pp. 397–473. doi: 10.1007/978-3-319-25202-5_
  28. Смолин, А.Ю., Еремина, Г.М. О влиянии флюидонасыщенности пористого покрытия на механическое поведение системы покрытие - подложка при контактном нагружении // Известия вузов. Физика – 2020 – № 9. doi: 10.17223/00213411/63/9/8
  29. Shilko, E.V., Konovalenko, I.S., Konovalenko, I.S. Nonlinear Mechanical Effect of Free Water on the Dynamic Compressive Strength and Fracture of High-Strength Concrete // Materials. – 2021. – V. 14. – pp. 4011. doi: 10.3390/ma1414401
  30. Deformation and Fracture Behavior of Particle-Reinforced Metal Matrix Composites and Coatings / R.R. Balokhonov [et al.] // Physical Mesomechanics. – 2022. – V. 25, No. 6. – pp. 492-504. doi: 10.1134/S102995992206002
  31. Radchenko P.A., Batuev S.P., Radchenko A.V., Effect of Projectile Rotation on High-Velocity Impact Fracture // Physical Mesomechanics. – 2022. – V. 25, No. 2. – pp. 119-128
  32. Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1999, 246 р
  33. Трусов, П.В., Кондратьев, Н.С., Швейкин, А.И. О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2015. – № 3. – С. 182–200. doi: 10.15593/perm.mech/2015.3.1
  34. Жуковский Н. Е. Собрание сочинений. Том З. – М.-Л.: Гослитиздат, 1949. – 700 с
  35. Димаки А.В. Нелинейные закономерности контактного взаимодействия неметаллических материалов, обусловленные вязкостью и разрушением, диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Томск, 2017, 214 с
  36. Nematov, A., Nazitova, E.S., Sadikov, R.T. On numerical method for modeling oil filtration problems in piecewise-inhomogeneous porous medium // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering – 2021. – V.1032, No. 012018. doi: 10.1088/1757-899X/1032/1/01201

Статистика

Просмотры

Аннотация - 30

PDF (Russian) - 23

Cited-By


PlumX


© Еремин М.О., Бакеев Р.А., Стефанов Ю.П., Чирков А.О., Пажин А., 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах