Full Text

В 1856 году А. Дарси́ публикует работу [1], посвященную исследованию фильтрации воды через песчаный слой. Исследование показало, что скорость фильтрации прямо пропорциональна разности напоров на входе и выходе в слой и обратно пропорциональна толщине слоя. Коэффициентом пропорциональности является проницаемость слоя, зависящая от его внутренних свойств. Данный закон был впоследствии назван в честь его открывателя - закон Дарси́ - который применяется для описания фильтрации жидкостей и газов через различные пористые среды в настоящее время, например [2]. Безусловно, за примерно 170 лет закон претерпел ряд изменений. Например, была сформулирована дифференциальная форма закона, а также подробно исследованы границы применимости линейного приближения и случаев, когда фильтруется не вода, а неньютоновские жидкости, например, нефть. Оказалось, что при очень малых скоростях фильтрации, силы межмолекулярного взаимодействия оказывают значительное влияние, что приводит к нелинейности в зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Например, в работе [3] отмечается, что для нивелирования ошибок в определении проницаемости плотных горных пород при режимах фильтрации вблизи нижней границы применимости закона Дарси́, необходимы измерения крайне низких расходов жидкости, что требует развития новых экспериментальных методик. В результате в работе был предложен новый метод регуляризации экспериментальных данных по фильтрации с низкими скоростями для оценки эффективной проницаемости плотных горных пород от градиента флюидного давления, который оказался более эффективным по сравнению с другими методами. При больших скоростях, напротив, нелинейность обусловлена сравнительно высокой инерционностью потока. Вязкость флюида также оказывает влияние на скорость фильтрации, которая в итоге оказалась в знаменателе уравнения фильтрации [4; 5]. Краткие исторические экскурсы по развитию теории фильтрации применительно к исследованию течения грунтовых вод можно найти в работе [6], применительно к проблемам добычи жидких углеводородов можно найти в работе [5]. Теория фильтрации находит свое применение и при рассмотрении закономерностей деформации (консолидации) различных материалов, например, губчатых резин и биологических тканей [7; 8], а также песчаных грунтов [9]. Представленный ниже литературный обзор, охватывает некоторые работы, посвященные упругому режиму фильтрации в коллекторе. Фильтрация флюида в упругом режиме предполагается за счет упругих свойств самого флюида и среды. Флюид при этом может представлять собой смесь нефти и газа. В этом случае растворенный газ также играет роль в формировании притока всей смеси к скважинам. Первые работы по фильтрации газированной жидкости были выполнены в 30е-40е годы 20го столетия, как за рубежом [10], так и в бывшем СССР [11; 12]. Работы [7-9] рассматривали движущиеся флюиды как несжимаемые, но не рассматривали полученные уравнения, как описывающие упругий режим фильтрации. Как отмечается в работе Николаевского В.Н. [13], теория течения упругой жидкости в деформируемой упругой пористой среде, по-видимому, впервые была сформулирована в работе Щелкачева В.Н. [14], где было показано, что при определенных преобразованиях основное дифференциальное уравнения фильтрации жидкости сводится к уравнению пьезопроводности, аналогу уравнения теплопроводности [14; 15]. Очевидно, что попытка рассмотрения течения сжимаемой жидкости в сжимаемом каркасе привела к необходимости разработки соответствующих определяющих соотношений. В первую очередь, зависимости плотности жидкости от порового давления, а также пористости и проницаемости среды от эффективных напряжений в скелете [13]. Исследования показали, что в упругом режиме при понижении пластового давления, степень извлечения нефти может существенно увеличиться, за счет снижения упругой энергии как самой нефти, так и скелета. Данный эффект связан с изменениями, происходящими в поровом пространстве, и, в совокупности с нагнетательными скважинами на контуре обводнения, позволяет существенно повысить нефтеотдачу [16]. Подобный подход является дополнением к классическому методу вытеснения нефти при закачке рабочих жидкостей в нагнетательные скважины. При математическом решении задач вытеснения нефти традиционно применяются модели фильтрации многофазных жидкостей, как, например, в работе [17]. Как отмечалось выше, при добыче нефти или газа в окрестностях пласта происходят изменения в поровом пространстве за счет изменения напряженно-деформированного состояния (далее НДС). Очевидно, что изменение НДС сказывается на фильтрационно-емкостных свойствах среды, прежде всего на пористости и проницаемости скелета. Так, например, во многих работах предполагается степенной закон зависимости проницаемости от пористости вида: [18; 19], где – исходная проницаемость, , – текущее и начальное значение пористости, соответственно, N – показатель степени. Как показывают эксперименты [20], породы проявляют нелинейный характер изменения проницаемости только в первом цикле нагружения, когда происходят необратимые деформации. Дальнейшее циклирование нагрузки происходит в упругом режиме даже при сравнительно высоких значениях эффективного давления. Однако подобное поведение вероятно только при сохранении начальной ориентации эллипсоида напряжений при повторных циклах нагружения (эффект Кайзера) [21]. Изменение проницаемости также часто описывают функциями пластового или эффективного давления, см. например обзор [22]. Другие исследования убедительно свидетельствуют о том, что наличие флюида в поровом пространстве оказывают влияние и на другие физико-механические характеристики вмещающей среды, например [23–29]. Для удобства описания движения флюидов, в предположении постоянства проницаемости и вязкости в среде, Лейбензоном Л.С. была предложена функция следующего вида [11]: (1) где – плотность флюида, – флюидное давление. Рассмотрение полного дифференциала от функции позволяет показать, что она удовлетворяет уравнению Лапласа, и, в случае установившегося движения, . Для простейших флюидов – упругой жидкости и идеального газа функция Лейбензона представлена уравнениями (2а) и (2б), соответственно [4]: (2a) (2б) где – сжимаемость жидкости, – плотность газа при атмосферном давлении, – атмосферное давление. Запись уравнения Дарси́ через функцию Лейбензона позволяет определить распределения функции вдоль трубки тока при удовлетворении граничным и начальным условиям для различных одномерных потоков и, уже через нее определить распределения флюидного давления, массового и объемного расходов. Распределения функции для плоскопараллельного и плоскорадиального потоков даны уравнениями (3а) и (3б), соответственно. Получаемые аналитические распределения флюидного давления приведены ниже при обсуждении результатов моделирования. (3а) (3б) где , – значение функции Лейбензона на контуре питания и на галерее, соответственно, – расстояние между контуром питания и скважиной, , - радиус скважины и контура питания, соответственно. Отметим, что при рассмотрении наиболее полной постановки задачи, т.е. движения сжимаемого флюида в деформируемой пористой среде, требуется определить 8 функций координат и времени – давления, трех компонент вектора скорости, плотности, вязкости, проницаемости и пористости. Последнее приводит к неголономности системы уравнений и возможности получить аналитические решения лишь в ограниченном числе случаев при значительной идеализации. Однако, рассмотрение идеализированных случаев позволяет верифицировать разрабатываемые численные подходы к интегрированию неголономных систем уравнений, чему и посвящена настоящая работа. В следующем разделе представлена постановка задачи движения упругого флюида в деформируемой пористой среде. Рассматривается два идеализированных потока флюида – плоскопараллельный и плоскорадиальный, и два вида флюидов – идеальная жидкость и идеальный газ. Согласно проведенному литературному обзору, вопрос оценки эффективной проницаемости среды при ее неоднородном строении является актуальным. По этой причине, в последнем разделе статьи предложен новый подход к определению эффективной проницаемости неоднородной среды.

About the authors

M. O Eremin

Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation

R. A Bakeev

Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation

Yu. P Stefanov

Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation

A. O Chirkov

Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation

A. Pazhin

Institute of Strength Physics and Materials Science of Siberian Branch Russian Academy of Sciences, Tomsk, Russian Federation

References

Statistics

Views

Abstract - 30

PDF (Russian) - 23