Эффекты слагаемых высшего порядка малости в обобщенных рядах для представления полей, ассоциированных с вершиной трещины в анизотропных средах. Часть 2. Оценки точности асимптотических решений

Аннотация


Во второй части статьи обсуждается точность обобщенных асимптотических рядов, аппроксимирующих поля напряжений и перемещений, ассоциированных с острием трещины в ортотропных материалах в плоской постановке задачи анизотропной упругости. Приведено сопоставление точного аналитического решения задачи о растяжении бесконечной анизотропной плоскости с наклонным центральным разрезом, полученного на основе методов теории функции комплексного переменного, и приближенного решения, найденного с использованием метода разложения в степенные ряды. Впервые получены поля абсолютной погрешности, допускаемой при усечении асимптотических рядов на различном количестве слагаемых для сред с кубической сингонией их упругих свойств. Анализ полей десятичного логарифма от абсолютных погрешностей показал, что вблизи вершины трещины для всех типов комбинированного (смешанного) деформирования существуют геометрические места точек – локусы точности, в которых приближенное решение практически совпадает с точным решением, что может быть использовано при интерпретации экспериментальных и вычислительных данных, получаемых с целью определения коэффициентов асимптотических рядов, аппроксимирующих напряжения и перемещения вблизи кончика трещины, надреза или углового выреза. В целях количественной оценки погрешностей, допускаемых при усечении асимптотического ряда на -ом слагаемом, относительно точного аналитического решения, полученного на основании теории функции комплексного переменного, введена в рассмотрение -норма, что дало возможность указать количество слагаемых ряда, необходимое для достижения требуемой точности при представлении решения многокоэффициентным асимптотическим рядом, для широкого спектра значений угла наклона трещины к вертикальной оси (оси действия приложенной растягивающей нагрузки) и угла, задающего расположение осей анизотропии упругих свойств материала.

Полный текст

В механике хрупкого разрушения для аппроксимирования перемещений, деформаций и напряжений в близлежащей окрестности вершины надреза, трещины или острого углового выреза распространен метод разложения по собственным функциям, приводящий к асимптотическим представлениям (в виде асимптотических рядов по степеням расстояния от кончика трещины ) механических полей у вершины дефекта, к формальным бесконечным рядам [1-5]. Долгое время при решении краевых задач механики трещин сохраняли первые слагаемые рядов, соответствующих нормальному отрыву и поперечному сдвигу, которые содержат коэффициенты интенсивности напряжений, и Т-напряжения – коэффициенты доминирующих слагаемых в близлежащей окрестности вершины, были основными рассматриваемыми величинами (параметрами разрушения) [6-12], в то время как последующими слагаемыми более высокого порядка малости при малых пренебрегали. В последнее время удержание регулярных слагаемых в асимптотических рядах, аппроксимирующих поля у вершины трещины, особенно при обработке данных экспериментов, проводимых поляризационно-оптическими методами, конечно-элементными расчетами и иными численными методами (методом фазового поля), стало обычной рутиной [13-18]. Во многих исследованиях полей, ассоциированных с вершиной трещины, в настоящее время сохраняют 5-9 или более слагаемых [13-18]. Однако, несмотря на большое количество исследований, реконструирующих асимптотический ряд М. Уильямса или его распространение на случай анизотропных сред [19-32], общих закономерностей, устанавливающих связь между рассматриваемыми расстояниями от кончика трещины, типом комбинированного нагружения (или углом наклона трещины), избранным материалом и расположением осей симметрии анизотропии, пока не предложено. Для анизотропных материалов, по всей видимости, таких оценок еще не получено. Поэтому количественная оценка погрешностей, допускаемая при усечении асимптотических рядов, представляющих поля перемещений, деформаций и напряжений вблизи вершины трещины представляет самостоятельный интерес. В настоящей работе оценка точности приближенного решения в форме обобщающего подход М. Уильямса ряда по степеням расстояния от кончика трещины в анизотропной среде производится с помощью двух подходов. Первый основан на вычислении полей абсолютной погрешности, даваемой приближенным асимптотическим рядом при его усечении на разном количестве слагаемых. Поля абсолютной погрешности построены для двух случаев: для усеченных 11– и 19 – членных асимптотических рядов. Обнаруживается, что в окрестности вершины трещины существуют геометрические места точек, в которых абсолютная разность точного и приближенного решений имеет порядок , то есть приближенное решение практически полностью воспроизводит точное, что может быть использовано при обработке экспериментальных данных, полученных из опытов, проводимых интерференционно-оптическими методами, и подходами, опирающимися на конечно-элементный анализ полей у вершины трещины в анизотропной среде. Второй подход основан на вычислении относительной погрешности в соответствии с введенной -нормой. Данный подход позволяет для достижения желаемой точности выбрать необходимое количество слагаемых ряда в приближенном решении.

Об авторах

Л. В Степанова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия

К. А Мушанкова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия

Список литературы

  1. Hello, G. Derivation of complete crack-tip stress expansions from Westergaard-Sanford solutions // International Journal of Solids and Structures. – 2018. – Vol. 144-145. – P. 265-275. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2018.05.01
  2. Hello, G., Tahar, M.B., Roeland, J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium // International Journal of Solids and Structures. – 2012. – Vol. 49. – P. 556-566. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2011.10.02
  3. Hello G. On the loci of exactness for truncated Williams crack-tip stress expansions// International journal of Fracture. – 2024. https://doi.org/10.1007/s10704-024-00802-
  4. Nejati M., Ghouli S., Aytollahi M.R. Crack tip asymptotic fields in anisotropic planes: Importance of higher order terms// Applied Mathematical Modelling. – 2021. – Vol. 91. – P. 837-862. doi: 10.1016/j.apm.2020.09.02
  5. Ayatollahi M.R., Nejati M., Ghouli S. The finite element over-deterministic method to calculate the coefficients of crack tip asymptotic fields in anisotropic planes// Engineering Fracture Mechanics. – 2020. – Vol. 231. – 106082. doi: 10.1016/j.engfracmech.2020.10698
  6. Матвиенко Ю. Г. Основы физики и механики разрушения. – М.: Автономная некоммерческая организация «Издательство физико-математической литературы», 2022. – 144 с.
  7. Матвиенко Ю. Г. Двухпараметрический упругопластический критерий разрушения и скорректированная вязкость разрушения// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2022. – Т. 88, № 8. – С. 59-69. doi: 10.26896/1028-6861-2022-88-8-59-69.
  8. Matvienko, Yu. G. The two-parameter fracture criterion based on the J-A concept / Yu. G. Matvienko // Fatigue Fracture of Engineering Materials Structures. – 2023. – Vol. 46, No. 9. – P. 3261-3273. – doi: 10.1111/ffe.14075.
  9. Матвиенко Ю. Г. Двухпараметрическая механика разрушения. М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература», 2020. – 210 с.
  10. Shi L., Oyadiji S.O. Determination of notch stress intensity factors for V-notched specimens under mode I loading using the 3D-Digital image correlation and strain energy approach// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 130. – 104307. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10430
  11. Aghabeidi M., Akbardoost J., Ayatollahi M.R. A strain-based criterion for predicting size-dependent fracture resistance of quasi-brittle materials under mixed mode loading// Engineering Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 310. – 110513. https://doi.org/10/1016/j.engfracmech.2024.11051
  12. Lammens B., Portemont G., Berthe J., Seghir R., Rethore J. Determining singular and non-singular Williams’ expansion terms from full-field measurements: Consideration of structural effects on fracture behavior// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 130. – 104304. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10430
  13. Thube Y.S., Gotkhindi T.P. A simple, robust novel Williams series-based FE-analytical hybrid technique for evaluation of SIFs and higher order coefficients// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 127. – 104101. doi: 10.1016/j.tafm.2023.10410
  14. Степанова Л. В. Экспериментальное и конечно-элементное определение коэффициентов многопараметрического асимптотического разложения М. Уильямса у вершины трещины в линейно-упругом изотропном материале. Часть I // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2020. – № 4. – С. 237-249. doi: 10.15593/perm.mech/2020.4.2
  15. Степанова Л. В. Экспериментальное и конечно-элементное определение коэффициентов многопараметрического асимптотического разложения М. Уильямса у вершины трещины в линейно-упругом изотропном материале. Часть II// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 1. – С. 72-85. doi: 10.15593/perm.mech/2021.1.0
  16. Kolditz L., Dray S., Kosin V., Fau A., Hild F., Wick T. Employing Williams’ series for the identification of fracture mechanics parameters from phase-field simulations// Engineering Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 307. – 110298. https://doi.org/10/1016/j.engfracmech.2024.11029
  17. Vivekanandan A., Ramesh K. Photoelestic analysis of crack terminating at an arbitrary angle to the biomaterial interface under four point bending// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 127. – 104075. doi: 10.1016/j.tafm.2023.10407
  18. Belova O.N., Stepanova L.V. Importance of the higher order terms of the Williams series expansions: Experimental Aspects and Finite Element Simulations// Procedia Structural Integrity. – 2022. – Vol. 39. – P. 770-785. doi: 10.1016/j.prostr.2022.03.15
  19. Stepanova L.V., Mushankova K.A. Atomistic and continuum ascertainment of the crack tip stress fields in anisotropic elastic cubic media// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 133. Part B. – 104613, https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10461
  20. Stepanova L.V., Belova O.N. Stress intensity factors, T-stresses and higher order coefficients of the Williams series expansion and their evaluation through molecular dynamics simulations// Mechanics of Advanced Materials and Structures. – 2023. – Vol. 30. – Issue 19. – P. 3862-3884. doi: 10.1080/15376494.2022.208480
  21. Nejati M., Bahrami B., Ayatollahi M.R., Driesner T. On the anisotropy of shear fracture toughness in rocks// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2021. – Vol. 113. –102946. doi: 10.1016/j.tafmec.2021.10294
  22. Hu B., Li C., Niu Z. Analysis of 2-D elastic solid with multiple V-notches by a fast multipole BEM with multi-order asymptotic terms// Applied Mathematical Modelling. – 2023. – Vol. 118. – P. 762-779. doi: 10.1016/j.apm.2023. 02.00
  23. Pan W., Cheng C., Wang F., Hu Z., Li J. Determination of singular and higher non-singular stress for angular heterogeneous material notch// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 292. – 109592. doi: 10.1016/j.engfracmech.2023.10959
  24. Zhong Y., Xie G., Wang L., Li K., Wang X., He W., Wang S. Novel boundary crack front elements with Williams' eigenexpansion properties for 3D crack analysis// Archive of Applied Mechanics. – 2023. – Vol.93. – P. 745-760. doi: 10.1007/s00419-022-02296-
  25. Alavi SK, Ayatollahi MR, Bahrami B, Nejati M. An analytical stress field for bi-material V-notches with end hole: New solution and effects of higher order terms// Mathematics and Mechanics of Solids. – 2023. – Vol. 28(2). – P. 464-478. doi: 10.1177/1081286522108431
  26. Melching D., Breitbarth E. Advanced crack tip field characterization using conjugate work integrals// International Journal of Fatigue. – 2023. – Vol. – 169. – 107501. DOI::10.1016/j.ijfatigue.2023.10750
  27. Baldi A., Santucci P.M. Kinematic estimation of fracture mechanics parameter with automatic crack-tip identification//Engineering Fracture Mechanics. – 2022. – Vol. 259. – 108082. doi: 10.1016/j.engfracmech.2021.10808
  28. Strohmann T., Melching D., Paysan F., Klein A., Dietrich E., Requena G., Breitbarth E. Crack Analysis Tool in Python-CrackPy. – 2022. doi: 10.5281/zenodo.7323623
  29. Shaikeea A.J.D., Cui H., O’Masta, M., Zheng X.R., Deshpande V.S. The toughness of mechanical metamaterials. Nat. Mater. – 2022. – Vol. 21. – P. 297–304. https://doi.org/10.1038/s41563-021-01182-1
  30. Li Y., Ni T., Zhang F., Li Y., Zuo J., Zhao S. U-Net learning for the automatic identification of the sandstone crack tip position to determine mixed-mode stress intensity factors utilizing digital image correlation method// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 127. – 104028. doi: 10.1016/j.tafmec.2023.10402
  31. Kojouri A.S., Rikaee H.K., Kalteremidou K.-A., Hemelrijk D.V. Experimental evaluation of J-integral in elastic and elastic-plastic polymers by means of digital image correlation and higher-order eigenfields under Mode-I// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 291. –109534. DOI: 101016/j.engfracmech.2023.10953
  32. Li Y., Xie H. Multi-parameter identification of the single edge notched tensile specimen using the virtual fields method// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. –Vol. 289. –109437. https://doi.org/101016/j.engfracmech.2023.109437
  33. Shi L., Oyadiji O. Determination of notch stress intensity factors under mode I loading using the 3D and finite element over-deterministic methods// Engineering Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 296. – 109852. https://doi.org/10/1016/j.engfracmech.2024.10985
  34. Xu J., He W., Wang Z., Ding T., Liu Y., Wang B. An improved photoelasticity method for determining stress intensity factors of rock-like material// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 133. – 104608. doi: 10.1016/j.tafmec.2024.10460
  35. Kojouri A.S., Rikaee H.K., Kalteremidou K.-A, Hemelrijk D.V. Experimental evaluation of J-integral in elastic and elastic-plastic polymers by means of digital image correlation and higher-order eigenfields under Mode-I// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. –Vol. 291. –109534. DOI: 101016/j.engfracmech.2023.10953
  36. Abshirini M, Soltani N, Marashizadeh P. On the mode i fracture analysis of cracked Brazilian disc using a digital image correlation method// Optics Lasers in Engineering. – 2016. –Vol. 78. –P. 99–105. doi: 10.1016/j.optlaseng.2015.10.00
  37. Torabi A.R., Bahrami B., Ayatollahi M.R. Experimental determination of the notch stress intensity factor for sharp V-notched specimens by using the digital image correlation method// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2019. – Vol. 103. – 102244. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2019.10224
  38. Li Y., Xie H. Multi-parameter identification of the single edge notched tensile specimen using the virtual fields method// Engineering Fracture Mechanics. –2023. –Vol. 289. –109437. https://doi.org/101016/j.engfracmech.2023.1094

Статистика

Просмотры

Аннотация - 349

PDF (Russian) - 52

Cited-By


PlumX


© Степанова Л.В., Мушанкова К.А., 2025

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах