Effects of Terms of High Order in Synthesized Polynomial Series Approximation for Fields Associated with the Crack Tip in Anisotropic Media. Part 2. Accuracy Estimates of Asymptotic Solutions

Abstract


The second part of the article discusses the accuracy of generalized asymptotic series representing the stress and displacement fields associated with the tip of an acute crack in orthotropic materials in the formulation of the plane problem of the theory of anisotropic elasticity. We compare the exact analytical solution to the problem of stretching an infinite anisotropic plane with an inclined central crack obtained using methods of the complex variable theory and an approximate solution found using the power series expansion method. For the first time, the fields of absolute error allowed for the truncation of the asymptotic series on a different number of terms for materials with a cubic symmetry of elastic properties are obtained. The analysis of the fields of the decadic logarithm of absolute errors showed that near the crack tip of all types of combined (mixed) deformation there are geometric points – loci of accuracy, in which the approximate solution almost coincides with the exact solution, which can be used in the interpretation of experimental and computational data obtained in order to determine the coefficients of asymptotic series for stresses and displacements near the tip of a crack or notch. To quantify the errors allowed when truncating the asymptotic series on the th term, a relatively accurate analytical solution obtained on the basis of the theory of the function of a complex variable the -norm is introduced into scrutiny, which gives an opportunity to choose and specify the number of terms of the series necessary to achieve the required accuracy when presenting the asymptotic ansatz with a multi-coefficient asymptotic series, for a wide range of slope angle values of the crack to the vertical axis (the axis of action of the applied tensile load) and the angle, setting the location of the anisotropy axes of the elastic properties of the material.

Full Text

В механике хрупкого разрушения для аппроксимирования перемещений, деформаций и напряжений в близлежащей окрестности вершины надреза, трещины или острого углового выреза распространен метод разложения по собственным функциям, приводящий к асимптотическим представлениям (в виде асимптотических рядов по степеням расстояния от кончика трещины ) механических полей у вершины дефекта, к формальным бесконечным рядам [1-5]. Долгое время при решении краевых задач механики трещин сохраняли первые слагаемые рядов, соответствующих нормальному отрыву и поперечному сдвигу, которые содержат коэффициенты интенсивности напряжений, и Т-напряжения – коэффициенты доминирующих слагаемых в близлежащей окрестности вершины, были основными рассматриваемыми величинами (параметрами разрушения) [6-12], в то время как последующими слагаемыми более высокого порядка малости при малых пренебрегали. В последнее время удержание регулярных слагаемых в асимптотических рядах, аппроксимирующих поля у вершины трещины, особенно при обработке данных экспериментов, проводимых поляризационно-оптическими методами, конечно-элементными расчетами и иными численными методами (методом фазового поля), стало обычной рутиной [13-18]. Во многих исследованиях полей, ассоциированных с вершиной трещины, в настоящее время сохраняют 5-9 или более слагаемых [13-18]. Однако, несмотря на большое количество исследований, реконструирующих асимптотический ряд М. Уильямса или его распространение на случай анизотропных сред [19-32], общих закономерностей, устанавливающих связь между рассматриваемыми расстояниями от кончика трещины, типом комбинированного нагружения (или углом наклона трещины), избранным материалом и расположением осей симметрии анизотропии, пока не предложено. Для анизотропных материалов, по всей видимости, таких оценок еще не получено. Поэтому количественная оценка погрешностей, допускаемая при усечении асимптотических рядов, представляющих поля перемещений, деформаций и напряжений вблизи вершины трещины представляет самостоятельный интерес. В настоящей работе оценка точности приближенного решения в форме обобщающего подход М. Уильямса ряда по степеням расстояния от кончика трещины в анизотропной среде производится с помощью двух подходов. Первый основан на вычислении полей абсолютной погрешности, даваемой приближенным асимптотическим рядом при его усечении на разном количестве слагаемых. Поля абсолютной погрешности построены для двух случаев: для усеченных 11– и 19 – членных асимптотических рядов. Обнаруживается, что в окрестности вершины трещины существуют геометрические места точек, в которых абсолютная разность точного и приближенного решений имеет порядок , то есть приближенное решение практически полностью воспроизводит точное, что может быть использовано при обработке экспериментальных данных, полученных из опытов, проводимых интерференционно-оптическими методами, и подходами, опирающимися на конечно-элементный анализ полей у вершины трещины в анизотропной среде. Второй подход основан на вычислении относительной погрешности в соответствии с введенной -нормой. Данный подход позволяет для достижения желаемой точности выбрать необходимое количество слагаемых ряда в приближенном решении.

About the authors

L. V Stepanova

Samara National Research University, Samara, Russian Federation

K. A Mushankova

Samara National Research University, Samara, Russian Federation

References

  1. Hello, G. Derivation of complete crack-tip stress expansions from Westergaard-Sanford solutions // International Journal of Solids and Structures. – 2018. – Vol. 144-145. – P. 265-275. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2018.05.01
  2. Hello, G., Tahar, M.B., Roeland, J.-M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium // International Journal of Solids and Structures. – 2012. – Vol. 49. – P. 556-566. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2011.10.02
  3. Hello G. On the loci of exactness for truncated Williams crack-tip stress expansions// International journal of Fracture. – 2024. https://doi.org/10.1007/s10704-024-00802-
  4. Nejati M., Ghouli S., Aytollahi M.R. Crack tip asymptotic fields in anisotropic planes: Importance of higher order terms// Applied Mathematical Modelling. – 2021. – Vol. 91. – P. 837-862. doi: 10.1016/j.apm.2020.09.02
  5. Ayatollahi M.R., Nejati M., Ghouli S. The finite element over-deterministic method to calculate the coefficients of crack tip asymptotic fields in anisotropic planes// Engineering Fracture Mechanics. – 2020. – Vol. 231. – 106082. doi: 10.1016/j.engfracmech.2020.10698
  6. Матвиенко Ю. Г. Основы физики и механики разрушения. – М.: Автономная некоммерческая организация «Издательство физико-математической литературы», 2022. – 144 с.
  7. Матвиенко Ю. Г. Двухпараметрический упругопластический критерий разрушения и скорректированная вязкость разрушения// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. – 2022. – Т. 88, № 8. – С. 59-69. doi: 10.26896/1028-6861-2022-88-8-59-69.
  8. Matvienko, Yu. G. The two-parameter fracture criterion based on the J-A concept / Yu. G. Matvienko // Fatigue Fracture of Engineering Materials Structures. – 2023. – Vol. 46, No. 9. – P. 3261-3273. – doi: 10.1111/ffe.14075.
  9. Матвиенко Ю. Г. Двухпараметрическая механика разрушения. М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература», 2020. – 210 с.
  10. Shi L., Oyadiji S.O. Determination of notch stress intensity factors for V-notched specimens under mode I loading using the 3D-Digital image correlation and strain energy approach// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 130. – 104307. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10430
  11. Aghabeidi M., Akbardoost J., Ayatollahi M.R. A strain-based criterion for predicting size-dependent fracture resistance of quasi-brittle materials under mixed mode loading// Engineering Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 310. – 110513. https://doi.org/10/1016/j.engfracmech.2024.11051
  12. Lammens B., Portemont G., Berthe J., Seghir R., Rethore J. Determining singular and non-singular Williams’ expansion terms from full-field measurements: Consideration of structural effects on fracture behavior// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 130. – 104304. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10430
  13. Thube Y.S., Gotkhindi T.P. A simple, robust novel Williams series-based FE-analytical hybrid technique for evaluation of SIFs and higher order coefficients// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 127. – 104101. doi: 10.1016/j.tafm.2023.10410
  14. Степанова Л. В. Экспериментальное и конечно-элементное определение коэффициентов многопараметрического асимптотического разложения М. Уильямса у вершины трещины в линейно-упругом изотропном материале. Часть I // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2020. – № 4. – С. 237-249. doi: 10.15593/perm.mech/2020.4.2
  15. Степанова Л. В. Экспериментальное и конечно-элементное определение коэффициентов многопараметрического асимптотического разложения М. Уильямса у вершины трещины в линейно-упругом изотропном материале. Часть II// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 1. – С. 72-85. doi: 10.15593/perm.mech/2021.1.0
  16. Kolditz L., Dray S., Kosin V., Fau A., Hild F., Wick T. Employing Williams’ series for the identification of fracture mechanics parameters from phase-field simulations// Engineering Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 307. – 110298. https://doi.org/10/1016/j.engfracmech.2024.11029
  17. Vivekanandan A., Ramesh K. Photoelestic analysis of crack terminating at an arbitrary angle to the biomaterial interface under four point bending// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 127. – 104075. doi: 10.1016/j.tafm.2023.10407
  18. Belova O.N., Stepanova L.V. Importance of the higher order terms of the Williams series expansions: Experimental Aspects and Finite Element Simulations// Procedia Structural Integrity. – 2022. – Vol. 39. – P. 770-785. doi: 10.1016/j.prostr.2022.03.15
  19. Stepanova L.V., Mushankova K.A. Atomistic and continuum ascertainment of the crack tip stress fields in anisotropic elastic cubic media// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 133. Part B. – 104613, https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2024.10461
  20. Stepanova L.V., Belova O.N. Stress intensity factors, T-stresses and higher order coefficients of the Williams series expansion and their evaluation through molecular dynamics simulations// Mechanics of Advanced Materials and Structures. – 2023. – Vol. 30. – Issue 19. – P. 3862-3884. doi: 10.1080/15376494.2022.208480
  21. Nejati M., Bahrami B., Ayatollahi M.R., Driesner T. On the anisotropy of shear fracture toughness in rocks// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2021. – Vol. 113. –102946. doi: 10.1016/j.tafmec.2021.10294
  22. Hu B., Li C., Niu Z. Analysis of 2-D elastic solid with multiple V-notches by a fast multipole BEM with multi-order asymptotic terms// Applied Mathematical Modelling. – 2023. – Vol. 118. – P. 762-779. doi: 10.1016/j.apm.2023. 02.00
  23. Pan W., Cheng C., Wang F., Hu Z., Li J. Determination of singular and higher non-singular stress for angular heterogeneous material notch// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 292. – 109592. doi: 10.1016/j.engfracmech.2023.10959
  24. Zhong Y., Xie G., Wang L., Li K., Wang X., He W., Wang S. Novel boundary crack front elements with Williams' eigenexpansion properties for 3D crack analysis// Archive of Applied Mechanics. – 2023. – Vol.93. – P. 745-760. doi: 10.1007/s00419-022-02296-
  25. Alavi SK, Ayatollahi MR, Bahrami B, Nejati M. An analytical stress field for bi-material V-notches with end hole: New solution and effects of higher order terms// Mathematics and Mechanics of Solids. – 2023. – Vol. 28(2). – P. 464-478. doi: 10.1177/1081286522108431
  26. Melching D., Breitbarth E. Advanced crack tip field characterization using conjugate work integrals// International Journal of Fatigue. – 2023. – Vol. – 169. – 107501. DOI::10.1016/j.ijfatigue.2023.10750
  27. Baldi A., Santucci P.M. Kinematic estimation of fracture mechanics parameter with automatic crack-tip identification//Engineering Fracture Mechanics. – 2022. – Vol. 259. – 108082. doi: 10.1016/j.engfracmech.2021.10808
  28. Strohmann T., Melching D., Paysan F., Klein A., Dietrich E., Requena G., Breitbarth E. Crack Analysis Tool in Python-CrackPy. – 2022. doi: 10.5281/zenodo.7323623
  29. Shaikeea A.J.D., Cui H., O’Masta, M., Zheng X.R., Deshpande V.S. The toughness of mechanical metamaterials. Nat. Mater. – 2022. – Vol. 21. – P. 297–304. https://doi.org/10.1038/s41563-021-01182-1
  30. Li Y., Ni T., Zhang F., Li Y., Zuo J., Zhao S. U-Net learning for the automatic identification of the sandstone crack tip position to determine mixed-mode stress intensity factors utilizing digital image correlation method// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 127. – 104028. doi: 10.1016/j.tafmec.2023.10402
  31. Kojouri A.S., Rikaee H.K., Kalteremidou K.-A., Hemelrijk D.V. Experimental evaluation of J-integral in elastic and elastic-plastic polymers by means of digital image correlation and higher-order eigenfields under Mode-I// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. – Vol. 291. –109534. DOI: 101016/j.engfracmech.2023.10953
  32. Li Y., Xie H. Multi-parameter identification of the single edge notched tensile specimen using the virtual fields method// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. –Vol. 289. –109437. https://doi.org/101016/j.engfracmech.2023.109437
  33. Shi L., Oyadiji O. Determination of notch stress intensity factors under mode I loading using the 3D and finite element over-deterministic methods// Engineering Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 296. – 109852. https://doi.org/10/1016/j.engfracmech.2024.10985
  34. Xu J., He W., Wang Z., Ding T., Liu Y., Wang B. An improved photoelasticity method for determining stress intensity factors of rock-like material// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2024. – Vol. 133. – 104608. doi: 10.1016/j.tafmec.2024.10460
  35. Kojouri A.S., Rikaee H.K., Kalteremidou K.-A, Hemelrijk D.V. Experimental evaluation of J-integral in elastic and elastic-plastic polymers by means of digital image correlation and higher-order eigenfields under Mode-I// Engineering Fracture Mechanics. – 2023. –Vol. 291. –109534. DOI: 101016/j.engfracmech.2023.10953
  36. Abshirini M, Soltani N, Marashizadeh P. On the mode i fracture analysis of cracked Brazilian disc using a digital image correlation method// Optics Lasers in Engineering. – 2016. –Vol. 78. –P. 99–105. doi: 10.1016/j.optlaseng.2015.10.00
  37. Torabi A.R., Bahrami B., Ayatollahi M.R. Experimental determination of the notch stress intensity factor for sharp V-notched specimens by using the digital image correlation method// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. – 2019. – Vol. 103. – 102244. https://doi.org/10.1016/j.tafmec.2019.10224
  38. Li Y., Xie H. Multi-parameter identification of the single edge notched tensile specimen using the virtual fields method// Engineering Fracture Mechanics. –2023. –Vol. 289. –109437. https://doi.org/101016/j.engfracmech.2023.1094

Statistics

Views

Abstract - 347

PDF (Russian) - 51

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2025 Stepanova L.V., Mushankova K.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies