Щелевые импульсные состояния и дисперсионный анализ механического поведения вязкоупругих сред

  • Авторы: Князев Н.А1, Никитюк А.С2, Наймарк О.Б2
  • Учреждения:
    1. Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Пермь, Российская Федерация
    2. Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Пермь, Российская Федерация, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Российская Федерация
  • Выпуск: № 2 (2025)
  • Страницы: 57-69
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/article/view/4606
  • DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2025.2.05
  • Цитировать

Аннотация


Появление «щелевых состояний» на различных масштабах, представляющих собой интервалы волновых чисел с нулевыми значениями частот при построении дисперсионных кривых, определяет качественные изменения механизма переноса импульса при взаимодействии коллективных мод в неравновесных «критических» системах. Описание формирования «щелей» или разрывов дисперсионных кривых требует записи дисперсионных соотношений специального вида. Исследование дисперсионных соотношений с разрывом в пространстве импульсов может способствовать установлению универсальных вязкоупругих свойств конденсированных сред при определенных условиях, когда жидкости демонстрируют сдвиговую упругость, а твёрдые тела проявляют способность течь. Основное внимание статьи сосредоточено на обнаружении «щелевых состояний» при анализе дисперсионных соотношений, полученных с использованием вязкоупругих моделей Кельвина-Фойгта, Максвелла, стандартного линейного тела, модели Кельвина-Фойгта с дробной производной. Для получения волновых уравнений, соответствующих представленным моделям, была проведена модификация уравнения упругой поперечной волны в твёрдых телах для учёта вязкости и диссипации. С использованием гипотезы плоской волны определён общий вид дисперсионных уравнений для каждой модели и аналитические (численное) решения для них. Сформулированы критерии качественного изменения вида дисперсионных уравнений, сопровождающегося появлением разрыва в пространстве импульсов (k-пространстве). При рассмотрении классических вязкоупругих моделей построены графики зависимости частоты от волнового числа при различных значениях времён релаксации и ретардации. Подчёркнута феноменологическая значимость дробных моделей для описания механического поведения полимерных, композитных и биологических систем, характеризующихся широким спектром релаксационных механизмов. Для модели Кельвина-Фойгта с дробной производной построено численное решение при различных значениях порядка дробной производной. Показано, что дисперсионные уравнения модели Кельвина-Фойгта с дробной производной и модели стандартного линейного тела при определённых условиях преобразуются в дисперсионные соотношения моделей Кельвина-Фойгта и Максвелла соответственно, что указывает на адекватность полученных соотношений.

Полный текст

Определение вида дисперсионных соотношений является актуальной задачей для понимания и прогнозирования поведения и свойств неравновесных систем. Преобразование исходного волнового уравнения в дисперсионное соотношение является эффективной процедурой получения простой эквивалентной записи волнового уравнения. При таком преобразовании сохраняются фундаментальные свойства и связь характеристик волны, распространяющейся в нелинейной среде [1]. Анализ дисперсионных соотношений, как правило, даёт более ясное представление о поведении и физических свойствах систем с помощью таких характеристик, как групповая и фазовая скорость, энергетический спектр волны. Теория дисперсионных соотношений как инструмент исследования волновых процессов применяется в различных областях физики, таких как физика твердого тела [2-4], гидродинамика [5-8], электродинамика и оптика [9-11], квантовая механика [12, 13]. Наиболее простая форма зависимости частоты (энергии) от волнового числа (импульса) может быть получена с помощью линейных безразрывных дисперсионных соотношений. Дисперсионные соотношения данного класса описывают, например, распространение фотонов и фононов в кристаллических твердых телах, пренебрегая взаимодействием между частицами и дефектами кристаллической структуры. Для описания поведения реальных систем, как правило, используются нелинейные дисперсионные соотношения. В теории нелинейных волн появление нелинейных дисперсионных соотношений обусловлено влиянием таких факторов, как нелинейность свойств среды, диссипация энергии в системе, дисперсия групповых скоростей [14]. Физическая причина появления этих факторов определяется как нелинейным характером взаимодействия частиц среды с внешними полями, так и особенностями структуры среды (наличие дефектов и неоднородностей). Особого внимания заслуживают нелинейные дисперсионные соотношения с разрывом по энергии («the energy gap») и разрывом в пространстве импульсов («the gap in momentum space»). Резкое изменение скорости распространения частиц вблизи разрыва свидетельствует о качественном переходе механизма переноса импульса и распределения энергии в системе. Этот факт указывает на возможное появление принципиально новых свойств и эффектов в системе [3]. Феномен энергетической щели встречается в современных работах в рамках исследования структуры и физических свойств новых материалов, таких как наноматериалы, биоразлагаемые полимеры [15-18]. Работы включают исследования, посвященные как созданию математических моделей для объяснения этого явления, так и экспериментальные исследования, направленные на обнаружение энергетической щели в различных материалах. Понимание физических причин появления энергетической щели является важным фактором для управление этим феноменом при разработке материалов с уникальными свойствами. Ко второму типу относятся дисперсионные соотношения с разрывом в пространстве импульсов [19-27]. «Щелевые состояния», обнаруживающиеся в процессе построения дисперсионных кривых данного класса, представляют собой интервалы волновых чисел с нулевыми значениями частот. Формирование «щелей» или разрывов дисперсионных соотношений имеет решающее значение для объяснения динамики коллективных мод различных систем, выделения характерных масштабов рассматриваемых процессов. Понимание природы и механизмов разрыва в пространстве импульсов позволит установить особые динамические и термодинамические свойства различных неравновесных систем [28]. В жидкостях эти механизмы связаны с коллективными сдвиговыми модами (возбуждениями) [19, 29-33]. Как известно, движение частиц в жидкости реализуется по двум сценариям: колебания в квазиравновесных положениях и диффузные скачки в соседние положения. Экспериментально установлено, что динамика колебаний частиц в жидкости при распространении продольных волн качественно идентична динамике, наблюдаемой в твёрдых телах [34]. Динамика поперечных (сдвиговых) колебаний жидкости проявляется в течение ограниченного времени и на ограниченных масштабах [30]. Отсутствие сдвиговой упругости на больших масштабах приводит к преобладанию механизма сдвиговой диффузии над механизмом распространения сдвиговых волн. В режиме сдвиговой диффузии происходит постепенное перераспределение частиц в жидкости, что препятствует существованию и устойчивому распространению поперечных волн. Однако на малых пространственных и временных масштабах жидкости демонстрируют сдвиговую упругость, характерную для твёрдых тел [35]. Для описания сдвиговой упругости в жидкостях уравнения классической гидродинамики необходимо модифицировать с использованием вязкоупругих моделей. В работах [19, 36] на основе моделей вязкоупругости Максвелла и Кельвина-Фойгта были получены волновые уравнения, характеризующие динамику сдвиговых мод в жидкостях. Анализ дисперсионных соотношений при использовании представленных моделей выявил разрыв в пространстве импульсов. Актуальной задачей является применение других вязкоупругих моделей для исследования «щелевых состояний». Основная проблема существующих исследований [37-39], посвященных выводу дисперсионных соотношений на основе этих моделей, заключается в отсутствии исчерпывающего анализа полученных уравнений в контексте обнаружения разрыва в пространстве импульсов. Настоящая работа сфокусирована на выводе и анализе дисперсионных соотношений, полученных с использованием вязкоупругих моделей Кельвина-Фойгта, Максвелла, стандартного линейного тела, модели Кельвина-Фойгта с дробной производной. Исследование разрыва в пространстве импульсов с учетом сдвиговой упругости в жидкостях позволит установить универсальные вязкоупругие свойства конденсированных сред. Поскольку интересующие эффекты, связанные с качественной сменой механизма переноса импульса, в жидкостях наблюдаются при взаимодействии сдвиговых мод, то в работе были рассмотрены уравнения только для поперечных (сдвиговых) волн. Алгоритм получения дисперсионных соотношений был основан на применении уравнения упругой поперечной волны в твёрдых телах и его модификаций для учета вязкости и диссипации. Таким образом, для каждой модели получены аналитические выражения дисперсионных уравнений и решения для них. Сформулированы критерии качественного изменения вида дисперсионных уравнений для обнаружения «щелевых состояний».

Об авторах

Н. А Князев

Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Пермь, Российская Федерация

А. С Никитюк

Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Пермь, Российская Федерация, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Российская Федерация

О. Б Наймарк

Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Пермь, Российская Федерация, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Российская Федерация

Список литературы

  1. Линейные и нелинейные волны / Дж. Б. Уизем / Под ред. А.Б. Шабата. – М.: Мир, 1997. – 622 с
  2. Ashcroft N.W., Mermin N.D. Solid state physics. – N.Y.: Saunders College Publishing, 1976. – 828 p
  3. Kittel C. Introduction to solid state physics. – N.Y.: John Wiley Sons, 2005. – 680 p
  4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 7. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 250 с
  5. Гидродинамика / Г. Ламб / Под ред. Н.А. Слезкина. – М.: ОГИЗ, 1947. – 929 с
  6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 6. Гидродинамика. – М.: Наука, 1987. – 736 с
  7. Черкесов Л.В., Иванов В.А., Хартиев С.М. Введение в гидродинамику и теорию волн – Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992. – 263 с
  8. Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. – Cambridge: Cambridge University Press, 2004. – 619 p
  9. Jackson J. Classical electrodynamics. – N.Y.: John Wiley Sons, 1999. – 834 p
  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 8. Электродинамика сплошных сред. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 656 с
  11. Born M., Wolf E. Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. – Cambridge: Cambridge University Press, 1999. – 952 p
  12. Shankar R. Principles of quantum mechanics. – N.Y.: Plenum Press, 1994. – 694 p
  13. Zettili N. Quantum mechanics: Concepts and applications. – N.Y.: John Wiley Sons, 2009. – 674 p
  14. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. – М.: Наука, 2000. – 272 с
  15. Azar M.E., Bouhlal, A., Jellal, A. Boosting energy levels in graphene magnetic quantum dots through magnetic flux and inhomogeneous gap // Phys. B Condens. Matter. – 2024. – Vol. 685 – pp. 1-10
  16. Ghorabe D.E., Novikov A.S., Nesterov P.V., et al. Insight on relationship crystallinity and band gap energies of polyhydroxyalkanoates polymers // Mater. Roday Commun. – 2024. – Vol. 39 – pp. 108886
  17. Deutscher G. Coherence gap edge and pseudo-gap in cuprates and other non-BCS superconductors // Phys. C – 2023. – Vol. 614 – pp. 1354323
  18. Furrer A. Pressure effects in high-temperature superconductors: Pseudogap and barocaloric cooling as a spin-off // Phys. C – 2023. – Vol. 614 – pp. 1354351
  19. Baggioli M., Vasin M., Brazhkin V., Trachenko K. Gapped momentum states // Phys. Rep. – 2020. – Vol. 865 – pp. 1-44
  20. Grozdanov S., Lucas A., Poovuttikul N. Holography and hydrodynamics with weakly broken symmetries // Phys. Rev. D – 2019. – Vol. 99 – pp. 1-69
  21. Trachenko K. Quantum dissipation in a scalar field theory with gapped momentum states // Sci. Rep. – 2019. – Vol. 9 – pp. 1-6
  22. Larecki W., Banach Z. Influence of nonlinearity of the phonon dispersion relation on wave velocities in the four-moment maximum entropy phonon hydrodynamics // Phys. D – 2014. – Vol. 266 – pp. 65-79
  23. Baggioli M., Gran U., Tornsö, M. Transverse collective modes in interacting holographic plasmas // J. High Energy Phys. – 2020. – arXiv ePrint:1912.07321
  24. Gran U., Tornsö M., Zingg T. Exotic holographic dispersion // J. High Energy Phys. – 2019. – arXiv ePrint:1808.05867
  25. Davison R.A., Goutéraux B. Momentum dissipation and effective theories of coherent and incoherent transport // J. High Energy Phys. – 2015. – arXiv ePrint:1411.1062
  26. Ahn Y., Baggioli M., Liu Y., Wu X.M. Chiral magnetic waves in strongly coupled Weyl semimetals // J. High Energy Phys. – 2024. – arXiv ePrint:2401.07772
  27. Yerin Y., Varlamov A.A., Felici R., Carlo, A. Dielectric properties and plasmon modes of gapped momentum systems of different dimensionality // Phys. Rev. B – 2023. – Vol. 108 – pp. 1-11
  28. Naimark O.B., Uvarov S.V., Bannikova I.A., et al. Localized shear as a quasi-plastic mechanism of momentum transfer in liquids // Lett. Mater. – 2023. – Vol. 13 – pp. 93-97
  29. Naimark O. Collective modes of defects and gapped momentum states in liquids // in AIP Conference Proceedings. – 2022. – Vol. 2509 – pp. 020139
  30. Goree J., Donkó Z., Hartmann P. Cutoff wave number for shear waves and Maxwell relaxation time in Yukawa liquids // Phys. Rev. E – 2012. – Vol. 85 – pp. 1-7
  31. Yang C., Dove M.T., Brazhkin V.V., Trachenko K. Emergence and Evolution of the k Gap in Spectra of Liquid and Supercritical States // Phys. Rev. Lett. – 2017. – Vol. 118 – pp. 1-5
  32. Jiang C., Zheng Z., Chen Y., Baggioli M. Experimental observation of gapped shear waves and liquid-like to gas-like dynamical crossover in active granular matter // Commun. Phys. – 2025. – Vol. 8 – pp. 1-19
  33. Yu Y., Jin S., Fan X., et al. Emergence of Debye scaling in the density of states of liquids under nanoconfinement // ACS Nano. – 2024. – Vol. 18 – pp. 24829-24841
  34. Pilgrim W.C., Morkel C. State dependent particle dynamics in liquid alkali metals // J. Phys. Condens. Matter. – 2006. – Vol. 18 – pp. 585-633
  35. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. – М.: Издательство академии наук СССР, 1945. – 425 с
  36. Baggioli M., Landry M., Zaccone A. Deformations, relaxation, and broken symmetries in liquids, solids, and glasses: A unified topological field theory // Phys. Rev. E – 2022. – Vol. 105 – pp. 024602
  37. LiU H.P., Anderson D.L., Kanamori H. Velocity dispersion due to anelasticity; implications for seismology and mantle composition // Geophys. J. R. Astron. Soc. – 1976. – Vol. 47 – pp. 41-58
  38. Meidav T. Viscoelastic Properties of the Standard Linear Solid // Geophys. Prospect. – 1964. – Vol. 12 – pp. 80-99
  39. Holm S. Dispersion analysis for wave equations with fractional Laplacian loss operators // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2020. – Vol. 22 – pp. 1596-1606
  40. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физическая мезомеханика – 2003. – № 6. – С. 45-72
  41. Efremov Y.M., Kotova S.L., Timashev P.S. Viscoelasticity in simple indentation-cycle experiments: a computational study // Sci. Rep. – 2020. – Vol. 10 – pp. 1-15
  42. Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы в твердых телах с дефектами и некоторые симметрийные аспекты теории поля // Физическая мезомеханика – 2010. – № 13. – С. 113-126
  43. Наймарк О.Б. О Некоторых Закономерностях Скейлинга В Пластичности, Разрушении, Турбулентности // Физическая мезомеханика – 2015. – № 18. – С. 71-83
  44. Уринов А.К., Ситник С.М., Шишкина Э.Л., Каримов Ш.Т. Дробные интегралы и производные (обобщения и приложения). – М.: Фаргона, 2022. – 193

Статистика

Просмотры

Аннотация - 216

PDF (Russian) - 56

Cited-By


PlumX


© Князев Н.А., Никитюк А.С., Наймарк О.Б., 2025

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах