Gapped Momentum States and Dispersion Analysis of Mechanical Behavior of Viscoelastic Media

Abstract


The occurrence of gapped momentum states at different scales, characterized by wavenumber intervals with zero frequency values in the dispersion relation, determines qualitative changes in the momentum transfer mechanism during the interaction of collective modes in non-equilibrium critical systems. To describe the formation of gaps in dispersion curves one needs specialized forms of the dispersion relation. The investigation of dispersion relations with the gap in momentum space can facilitate the establishment of universal viscoelastic properties in condensed matter under specific conditions, where fluids exhibit shear elasticity and solids demonstrate flow behavior. The paper focuses on identification of gapped momentum states in the analysis of dispersion relations obtained using viscoelastic models, specifically the Kelvin-Voigt, Maxwell, standard linear solid, and fractional derivative Kelvin-Voigt models. To derive wave equations corresponding to the presented models, a modification of the wave equation for non-decayed transverse waves in solids was performed to account for viscosity and dissipation. Using the plane wave hypothesis, the general form of the dispersion equations was determined for each model, and analytical (numerical) solutions were obtained. Criteria for a qualitative change in the form of the dispersion relations accompanied by the appearance of a gap in momentum space (k-space) have been formulated. Frequency-wavenumber dispersion curves were constructed for various relaxation and retardation times, considering classical viscoelastic models. The phenomenological significance of fractional models for describing the mechanical behavior of polymeric, composite, and biological systems with a broad spectrum of relaxation mechanisms is highlighted. A numerical solution for the fractional derivative Kelvin-Voigt model was obtained for various values of the fractional derivative order. It is shown that the dispersion equations of the fractional derivative Kelvin-Voigt model and the standard linear solid model transform into the dispersion relations of the Kelvin-Voigt and Maxwell models, respectively, under specific conditions, which indicate the adequacy of the derived relations.

Full Text

Определение вида дисперсионных соотношений является актуальной задачей для понимания и прогнозирования поведения и свойств неравновесных систем. Преобразование исходного волнового уравнения в дисперсионное соотношение является эффективной процедурой получения простой эквивалентной записи волнового уравнения. При таком преобразовании сохраняются фундаментальные свойства и связь характеристик волны, распространяющейся в нелинейной среде [1]. Анализ дисперсионных соотношений, как правило, даёт более ясное представление о поведении и физических свойствах систем с помощью таких характеристик, как групповая и фазовая скорость, энергетический спектр волны. Теория дисперсионных соотношений как инструмент исследования волновых процессов применяется в различных областях физики, таких как физика твердого тела [2-4], гидродинамика [5-8], электродинамика и оптика [9-11], квантовая механика [12, 13]. Наиболее простая форма зависимости частоты (энергии) от волнового числа (импульса) может быть получена с помощью линейных безразрывных дисперсионных соотношений. Дисперсионные соотношения данного класса описывают, например, распространение фотонов и фононов в кристаллических твердых телах, пренебрегая взаимодействием между частицами и дефектами кристаллической структуры. Для описания поведения реальных систем, как правило, используются нелинейные дисперсионные соотношения. В теории нелинейных волн появление нелинейных дисперсионных соотношений обусловлено влиянием таких факторов, как нелинейность свойств среды, диссипация энергии в системе, дисперсия групповых скоростей [14]. Физическая причина появления этих факторов определяется как нелинейным характером взаимодействия частиц среды с внешними полями, так и особенностями структуры среды (наличие дефектов и неоднородностей). Особого внимания заслуживают нелинейные дисперсионные соотношения с разрывом по энергии («the energy gap») и разрывом в пространстве импульсов («the gap in momentum space»). Резкое изменение скорости распространения частиц вблизи разрыва свидетельствует о качественном переходе механизма переноса импульса и распределения энергии в системе. Этот факт указывает на возможное появление принципиально новых свойств и эффектов в системе [3]. Феномен энергетической щели встречается в современных работах в рамках исследования структуры и физических свойств новых материалов, таких как наноматериалы, биоразлагаемые полимеры [15-18]. Работы включают исследования, посвященные как созданию математических моделей для объяснения этого явления, так и экспериментальные исследования, направленные на обнаружение энергетической щели в различных материалах. Понимание физических причин появления энергетической щели является важным фактором для управление этим феноменом при разработке материалов с уникальными свойствами. Ко второму типу относятся дисперсионные соотношения с разрывом в пространстве импульсов [19-27]. «Щелевые состояния», обнаруживающиеся в процессе построения дисперсионных кривых данного класса, представляют собой интервалы волновых чисел с нулевыми значениями частот. Формирование «щелей» или разрывов дисперсионных соотношений имеет решающее значение для объяснения динамики коллективных мод различных систем, выделения характерных масштабов рассматриваемых процессов. Понимание природы и механизмов разрыва в пространстве импульсов позволит установить особые динамические и термодинамические свойства различных неравновесных систем [28]. В жидкостях эти механизмы связаны с коллективными сдвиговыми модами (возбуждениями) [19, 29-33]. Как известно, движение частиц в жидкости реализуется по двум сценариям: колебания в квазиравновесных положениях и диффузные скачки в соседние положения. Экспериментально установлено, что динамика колебаний частиц в жидкости при распространении продольных волн качественно идентична динамике, наблюдаемой в твёрдых телах [34]. Динамика поперечных (сдвиговых) колебаний жидкости проявляется в течение ограниченного времени и на ограниченных масштабах [30]. Отсутствие сдвиговой упругости на больших масштабах приводит к преобладанию механизма сдвиговой диффузии над механизмом распространения сдвиговых волн. В режиме сдвиговой диффузии происходит постепенное перераспределение частиц в жидкости, что препятствует существованию и устойчивому распространению поперечных волн. Однако на малых пространственных и временных масштабах жидкости демонстрируют сдвиговую упругость, характерную для твёрдых тел [35]. Для описания сдвиговой упругости в жидкостях уравнения классической гидродинамики необходимо модифицировать с использованием вязкоупругих моделей. В работах [19, 36] на основе моделей вязкоупругости Максвелла и Кельвина-Фойгта были получены волновые уравнения, характеризующие динамику сдвиговых мод в жидкостях. Анализ дисперсионных соотношений при использовании представленных моделей выявил разрыв в пространстве импульсов. Актуальной задачей является применение других вязкоупругих моделей для исследования «щелевых состояний». Основная проблема существующих исследований [37-39], посвященных выводу дисперсионных соотношений на основе этих моделей, заключается в отсутствии исчерпывающего анализа полученных уравнений в контексте обнаружения разрыва в пространстве импульсов. Настоящая работа сфокусирована на выводе и анализе дисперсионных соотношений, полученных с использованием вязкоупругих моделей Кельвина-Фойгта, Максвелла, стандартного линейного тела, модели Кельвина-Фойгта с дробной производной. Исследование разрыва в пространстве импульсов с учетом сдвиговой упругости в жидкостях позволит установить универсальные вязкоупругие свойства конденсированных сред. Поскольку интересующие эффекты, связанные с качественной сменой механизма переноса импульса, в жидкостях наблюдаются при взаимодействии сдвиговых мод, то в работе были рассмотрены уравнения только для поперечных (сдвиговых) волн. Алгоритм получения дисперсионных соотношений был основан на применении уравнения упругой поперечной волны в твёрдых телах и его модификаций для учета вязкости и диссипации. Таким образом, для каждой модели получены аналитические выражения дисперсионных уравнений и решения для них. Сформулированы критерии качественного изменения вида дисперсионных уравнений для обнаружения «щелевых состояний».

About the authors

N. A Knyazev

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation

A. S Nikitiuk

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

O. B Naimark

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

References

  1. Линейные и нелинейные волны / Дж. Б. Уизем / Под ред. А.Б. Шабата. – М.: Мир, 1997. – 622 с
  2. Ashcroft N.W., Mermin N.D. Solid state physics. – N.Y.: Saunders College Publishing, 1976. – 828 p
  3. Kittel C. Introduction to solid state physics. – N.Y.: John Wiley Sons, 2005. – 680 p
  4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 7. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 250 с
  5. Гидродинамика / Г. Ламб / Под ред. Н.А. Слезкина. – М.: ОГИЗ, 1947. – 929 с
  6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 6. Гидродинамика. – М.: Наука, 1987. – 736 с
  7. Черкесов Л.В., Иванов В.А., Хартиев С.М. Введение в гидродинамику и теорию волн – Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992. – 263 с
  8. Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. – Cambridge: Cambridge University Press, 2004. – 619 p
  9. Jackson J. Classical electrodynamics. – N.Y.: John Wiley Sons, 1999. – 834 p
  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T. 8. Электродинамика сплошных сред. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 656 с
  11. Born M., Wolf E. Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. – Cambridge: Cambridge University Press, 1999. – 952 p
  12. Shankar R. Principles of quantum mechanics. – N.Y.: Plenum Press, 1994. – 694 p
  13. Zettili N. Quantum mechanics: Concepts and applications. – N.Y.: John Wiley Sons, 2009. – 674 p
  14. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. – М.: Наука, 2000. – 272 с
  15. Azar M.E., Bouhlal, A., Jellal, A. Boosting energy levels in graphene magnetic quantum dots through magnetic flux and inhomogeneous gap // Phys. B Condens. Matter. – 2024. – Vol. 685 – pp. 1-10
  16. Ghorabe D.E., Novikov A.S., Nesterov P.V., et al. Insight on relationship crystallinity and band gap energies of polyhydroxyalkanoates polymers // Mater. Roday Commun. – 2024. – Vol. 39 – pp. 108886
  17. Deutscher G. Coherence gap edge and pseudo-gap in cuprates and other non-BCS superconductors // Phys. C – 2023. – Vol. 614 – pp. 1354323
  18. Furrer A. Pressure effects in high-temperature superconductors: Pseudogap and barocaloric cooling as a spin-off // Phys. C – 2023. – Vol. 614 – pp. 1354351
  19. Baggioli M., Vasin M., Brazhkin V., Trachenko K. Gapped momentum states // Phys. Rep. – 2020. – Vol. 865 – pp. 1-44
  20. Grozdanov S., Lucas A., Poovuttikul N. Holography and hydrodynamics with weakly broken symmetries // Phys. Rev. D – 2019. – Vol. 99 – pp. 1-69
  21. Trachenko K. Quantum dissipation in a scalar field theory with gapped momentum states // Sci. Rep. – 2019. – Vol. 9 – pp. 1-6
  22. Larecki W., Banach Z. Influence of nonlinearity of the phonon dispersion relation on wave velocities in the four-moment maximum entropy phonon hydrodynamics // Phys. D – 2014. – Vol. 266 – pp. 65-79
  23. Baggioli M., Gran U., Tornsö, M. Transverse collective modes in interacting holographic plasmas // J. High Energy Phys. – 2020. – arXiv ePrint:1912.07321
  24. Gran U., Tornsö M., Zingg T. Exotic holographic dispersion // J. High Energy Phys. – 2019. – arXiv ePrint:1808.05867
  25. Davison R.A., Goutéraux B. Momentum dissipation and effective theories of coherent and incoherent transport // J. High Energy Phys. – 2015. – arXiv ePrint:1411.1062
  26. Ahn Y., Baggioli M., Liu Y., Wu X.M. Chiral magnetic waves in strongly coupled Weyl semimetals // J. High Energy Phys. – 2024. – arXiv ePrint:2401.07772
  27. Yerin Y., Varlamov A.A., Felici R., Carlo, A. Dielectric properties and plasmon modes of gapped momentum systems of different dimensionality // Phys. Rev. B – 2023. – Vol. 108 – pp. 1-11
  28. Naimark O.B., Uvarov S.V., Bannikova I.A., et al. Localized shear as a quasi-plastic mechanism of momentum transfer in liquids // Lett. Mater. – 2023. – Vol. 13 – pp. 93-97
  29. Naimark O. Collective modes of defects and gapped momentum states in liquids // in AIP Conference Proceedings. – 2022. – Vol. 2509 – pp. 020139
  30. Goree J., Donkó Z., Hartmann P. Cutoff wave number for shear waves and Maxwell relaxation time in Yukawa liquids // Phys. Rev. E – 2012. – Vol. 85 – pp. 1-7
  31. Yang C., Dove M.T., Brazhkin V.V., Trachenko K. Emergence and Evolution of the k Gap in Spectra of Liquid and Supercritical States // Phys. Rev. Lett. – 2017. – Vol. 118 – pp. 1-5
  32. Jiang C., Zheng Z., Chen Y., Baggioli M. Experimental observation of gapped shear waves and liquid-like to gas-like dynamical crossover in active granular matter // Commun. Phys. – 2025. – Vol. 8 – pp. 1-19
  33. Yu Y., Jin S., Fan X., et al. Emergence of Debye scaling in the density of states of liquids under nanoconfinement // ACS Nano. – 2024. – Vol. 18 – pp. 24829-24841
  34. Pilgrim W.C., Morkel C. State dependent particle dynamics in liquid alkali metals // J. Phys. Condens. Matter. – 2006. – Vol. 18 – pp. 585-633
  35. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. – М.: Издательство академии наук СССР, 1945. – 425 с
  36. Baggioli M., Landry M., Zaccone A. Deformations, relaxation, and broken symmetries in liquids, solids, and glasses: A unified topological field theory // Phys. Rev. E – 2022. – Vol. 105 – pp. 024602
  37. LiU H.P., Anderson D.L., Kanamori H. Velocity dispersion due to anelasticity; implications for seismology and mantle composition // Geophys. J. R. Astron. Soc. – 1976. – Vol. 47 – pp. 41-58
  38. Meidav T. Viscoelastic Properties of the Standard Linear Solid // Geophys. Prospect. – 1964. – Vol. 12 – pp. 80-99
  39. Holm S. Dispersion analysis for wave equations with fractional Laplacian loss operators // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2020. – Vol. 22 – pp. 1596-1606
  40. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и некоторые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физическая мезомеханика – 2003. – № 6. – С. 45-72
  41. Efremov Y.M., Kotova S.L., Timashev P.S. Viscoelasticity in simple indentation-cycle experiments: a computational study // Sci. Rep. – 2020. – Vol. 10 – pp. 1-15
  42. Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы в твердых телах с дефектами и некоторые симметрийные аспекты теории поля // Физическая мезомеханика – 2010. – № 13. – С. 113-126
  43. Наймарк О.Б. О Некоторых Закономерностях Скейлинга В Пластичности, Разрушении, Турбулентности // Физическая мезомеханика – 2015. – № 18. – С. 71-83
  44. Уринов А.К., Ситник С.М., Шишкина Э.Л., Каримов Ш.Т. Дробные интегралы и производные (обобщения и приложения). – М.: Фаргона, 2022. – 193

Statistics

Views

Abstract - 216

PDF (Russian) - 56

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2025 Knyazev N.A., Nikitiuk A.S., Naimark O.B.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies