Full Text

Введение Активное развитие массового жилищного строительства требует расширения промышленной номенклатуры строительных материалов и конструкций, применения новых технологий в строительстве и создания новых долговечных и экономически эффективных строительных конструкций. В настоящее время наиболее эффективными элементами несущих конструкций для каркасов жилищных и индустриальных элементов являются железобетонные стержневые элементы. Железобетон находит широкое применение в строительстве из-за своих физико-механических свойств, достаточной распространенности ресурсов для его получения, относительно невысокой стоимости изготовления. Существенное улучшение качества изделий на бетонной основе может быть достигнуто за счет использования армирующих элементов, которые имеют металлическую, полимерную или каменную природу, а также каучукобетонов и полимербетонов [1-3, 7, 8, 26, 28, 29]. Одной из задач при изготовлении стержневых элементов является задача экономии расхода и стоимости материалов. Это обстоятельство вызывает необходимость разработки единого подхода к расчету и анализу поведения гибридных конструкций с различными симметричными и несимметричными профилями поперечных сечений и разными структурами армирования. Методика расчета таких конструкций должна позволять решать задачи при варьировании условий закрепления, загружения, конструктивных форм сечений и параметров армирования. Для конструкций, работающих в условиях плоского изгиба, соответствующие решения были получены в работах [1, 3, 7, 9, 12, 20-23, 24, 25, 27]. При решении практических задач часто возникает задача определения прочности конструкций при совместном действии нескольких силовых факторов. Теория железобетона, базирующаяся на экспериментальном исследовании простых элементов, зачастую не позволяет оценить несущую способность элементов конструкции произвольного сечения при произвольном воздействии силовых факторов [19]. 1. Методика решения В данной работе будем учитывать важное свойство бетонных конструкций - существенно различные закономерности их деформирования в условиях растяжения и сжатия. Бетоны и пластики (армированные и неармированные) при растяжении ведут себя как линейно-упругие, в то время как при сжатии диаграммы демонстрируют существенную нелинейность даже при низких уровнях нагружения. Следовательно, как и в работах [1, 3], в различных зонах сечений следует использовать единообразные, достаточно простые аппроксимации диаграмм деформирования с различными (по зонам) коэффициентами. Тогда связь между напряжениями , деформациями в i-й зоне сечения стержня (рис. 1) представим в форме , (1) где , - экспериментально найденные коэффициенты материалов i-го слоя (зависящие от структуры слоя и свойств фазовых материалов). Рис. 1. Поперечное сечение многослойного стержня Fig. 1. The cross-section of the multilayered rod Потеря эксплуатационных качеств армированных бетонных конструкций, как отмечается во многих экспериментальных исследованиях [1, 2, 7-11], характеризуется предельными деформациями ( ) при сжатии и ( ) при растяжении. Их превышение обычно приводит к интенсивным процессам трещинообразования [10, 11], которое в данном исследовании не рассматривается. Тогда в качестве критерия условного предельного состояния в i-м слое принимается достижение в нем максимальной деформации предельно допустимого значения при растяжении или сжатии, т.е. зависимости (1) определяются на отрезке . Для определения коэффициентов , необходимо, чтобы расчетная модель (1) наилучшим образом соответствовала данным эксперимента в интересующей области деформирования, которую из рассматриваемого круга задач будем считать близкой к предельным состояниям. При наличии диаграмм растяжения-сжатия бетонов каждого слоя эти коэффициенты можно получить, например, методом наименьших квадратов. При отсутствии указанных диаграмм значения искомых коэффициентов и предельных деформаций можно получить, взяв за основу достаточно простые предположения [13]: , (2) где - пределы прочности бетона при растяжении и сжатии образцов i-го слоя; - модуль упругости бетона i-го слоя. Таким образом, при использовании аппроксимации (1) достаточно иметь три традиционных характеристики при рассматриваемом подходе - . Результаты расчета коэффициентов , по соотношениям (2) для марок бетона B10, B30, B50 по экспериментально найденным предельным значениям , полученным в [14, 23], приведены в табл. 1. Эти же коэффициенты, определенные методом наименьших квадратов, на основе действительных диаграмм деформирования, полученных в [14, 23], приведены в табл. 2. Сравнение диаграмм деформирования, построенных по аппроксимирующим формулам (1), коэффициенты которых определялись методом наименьших квадратов и по соотношениям (2), с экспериментальными диаграммами приведено на рис. 2. Из рисунка видно, что экспериментальные диаграммы достаточно хорошо приближают решение при деформациях, близких к предельным. Таблица 1 Результаты расчета коэффициентов аппроксимации по предельным значениям Table 1 The computations of the approximation coefficients based on the limit values Класс бетона E, МПа , МПа , МПа , % , % , МПа , МПа , % B10 17 800 7,48 0,68 0,084 0,0038 17 800 10 589 572 38,89 B30 32 200 21,8 1,44 0,135 0,0045 32 200 11 890 367 38,24 B50 38 600 35,9 1,84 0,186 0,0047 38 600 10 375 766 44,63 Таблица 2 Результаты расчета коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов. - средняя ошибка аппроксимации Table 2 The calculation results of the least squares approximation coefficient an average approximation error Класс бетона , МПа , МПа , % B10 12 488 5 078 524 33,26 B30 32 351 11 660 358 38,14 B50 56 490 21 305 730 39,29 а б Рис. 2. Диаграммы сжатия (а), растяжения (б) бетонов, построенные методом наименьших квадратов (сплошная линия) и по предельным значениям (штриховая линия). Квадратами обозначены точки экспериментальной диаграммы Fig. 2. Diagrams of a) compression, b) tension of concrete constructed by the least squares method (solid line) and by limit values (dashed line), the squares indicate the points of the experimental diagram Выберем декартову систему координат с осью x, направленной вдоль оси стержня, с определенной привязкой к поперечному сечению и с началом координат на одном из концов стержня. Для упрощения получающихся в дальнейшем формул будем считать, что структуры гибридных армированных стержней и распределения внешних нагрузок согласованы так, что в процессе деформирования эффекты закручивания либо вовсе не возникают, либо столь незначительны, что ими можно пренебречь. Тогда возникающие поля напряжений будут порождать внутренние силовые факторы: (3) которые должны удовлетворять уравнениям равновесия [15]: (4) Здесь N - проекция вектора внутреннего усилия на ось x; - проекции вектора внутреннего момента на оси z и y. Величины - проекции вектора распределенной нагрузки приложенного к оси стержня; - проекции вектора распределенных моментов на оси z и y. Интегрируя уравнения (4), получим: (5) В случае статически определимых стержней значения определяем из условий равновесия крайних узлов. Для статически неопределимых задач необходимо будет составлять дополнительные условия совместности деформаций. Используя классические кинематические гипотезы Кирхгофа - Лява, для деформаций будем иметь выражения [15] (6) (7) где - компоненты вектора перемещений точек осевой линии стержня. Из соотношения (6) можно получить уравнение нейтральной линии для каждого поперечного сечения стержня: Интегрируя соотношения (7), получим: (8) (9) Величины находим из условия закрепления стержня. Будем считать, что стержень имеет одинаковую форму поперечного сечения вдоль всей длины, причем контур этой формы полностью определяется системой функций (см. рис. 1). Подставляя выражения (1) в (3) и учитывая реальную структуру расположения материалов в сечении, для величин получим систему трех равенств в виде полиномов второго порядка от величин : (10) (11) (12) , , , , , , , , , , , , , , , . В случае статически определимых балок при известных функциях дальнейшее решение задачи сводится к численному решению системы трех нелинейных алгебраических уравнений относительно трех неизвестных и последующему вычислению по формулам (8), (9). В случае статически неопределимых задач следует подставить выражения (10)-(12) в уравнения равновесия (4) и при учете выражений (7) получить разрешающую систему трех нелинейных дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций : (13) (14) (15) В качестве примера рассмотрим случай стержня, защемленного с обоих концов (рис. 3). Рис. 3. Стержень длины l, защемленный с обоих концов Fig. 3. The rod of l length pinched at both ends Из условий закрепления стержня имеем граничные условия: (16) (17) Приближенное решение такой системы можно искать при использовании метода Бубнова - Галеркина [16]. Решение будем искать в виде (18) где - искомые коэффициенты, которые и определяют решение задачи. Если положить (19) тогда граничные условия (13), (14) будут удовлетворены, причем изгибающие моменты и продольное усилие в местах защемления стержня будут отличны от нуля. Подставим разложения (18) в систему (13)-(15) и обозначим в полученной системе разность левой и правой части (13) через , (14) - , (15) - . Возьмем в качестве базисных функций в методе Бубнова - Галеркина те же функции, что и в разложении (18): . (20) Составим систему из алгебраических уравнений относительно неизвестных : (21) Значение искомых коэффициентов определим из указанной системы каким-либо численным методом [18]. Значение изгибающих моментов и продольного усилия определяется соотношениями (13)-(15). Ввиду достаточной громоздкости формул при увеличении количества приближений N и роста погрешности при округлении свободных членов указанное решение задачи удобно искать с использованием системы символьных вычислений, например Maple, которая позволяет получать приближенные аналитические решения [17]. Положим, что длина стержня , количество слоев и он имеет двутавровое поперечное сечение с параметрами (см. рис. 1): (22) Предположим, что в стержне послойно реализованы следующие марки бетона: коэффициенты в уравнении (1) определены методом наименьших квадратов (табл. 2). Пусть на стержень действуют распределенные нагрузки , , (см. рис. 3) вдоль соответствующих граней: тогда проекции этих нагрузок вдоль всей длины стержня имеют вид Распределенные вдоль граней нагрузки , , будут вызывать появление распределенного момента по длине стержня, проекция которого определяется соотношениями: откуда можно получить В результате расчета по соотношениям (18)-(21) в математическом пакете Maple при N = 7, с параметрами (23) получаем нелинейную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов , которую решаем численно в этом же пакете методом Ньютона [17, 18], используя для каждого коэффициента в качестве начального приближения нулевое значение. В результате указанного решения получаем приближенные решения вида (18) для перемещений (рис. 4). Найденные выражения для перемещений позволяют по соотношениям (6), (7), (10)-(12) получить аналогичные приближенные решения для деформации и продольного усилия в любом сечении стержня. Найденные решения будут справедливы в случае, если деформация в каждом сечении стержня не превысила свои предельные значения для каждого фазового материала. В противном случае будем считать, что имеем дело с потерей несущей способности стержня. Для того чтобы оценить несущую способность стержня, определим максимальную и минимальную деформацию в каждом сечении стержня для каждого слоя. Учитывая, что выражение для деформации (6) является линейной функцией относительно переменных и что каждый слой в сечении представляет прямоугольник, максимальную и минимальную деформацию в каждом сечении для каждого слоя будем искать как соответственно максимальное и минимальное значение из четырех значений деформации в вершинах прямоугольника, ограничивающих указанный слой. В случае произвольной формы сечения стержня максимум и минимум придется искать вдоль линии, ограничивающей контур каждого сечения. Графики для перемещений приведены на рис. 4, графики деформаций для каждого сечения стержня и каждого слоя - на рис. 5. Рис. 4. Изменение величины перемещений защемленного с обоих концов стержня Fig 4. The change in the amount of displacements pinched from both ends of the rod а б Рис. 5. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении защемленного с обоих концов стержня Fig. 5. The change in the amount of displacements pinched from both ends of the rod Анализируя рис. 5 и табл. 1, можно увидеть, что деформация для каждого слоя в любом сечении не превысила предельные значения. Соответственно, полученное решение справедливо. В случае, если увеличить продольную нагрузку, положив , то указанная нагрузка является близкой к предельной в первом слое в сечении, близком к правому концу стержня (рис. 7, а). Рис. 6. Изменение величины перемещений защемленного с обоих концов стержня Fig. 6. The change in the number of displacements pinched from both ends of the rod а б Рис. 7. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении защемленного с обоих концов стержня Fig. 7. The change in the value of a - maximum, b - minimum deformation in the cross section of the rod clamped at both ends В случае, когда тот же самый стержень шарнирно оперт с обоих концов, в качестве функций в разложении (18) возьмем следующие: (24) тогда в местах закрепления стержня перемещения и изгибающие моменты будут равны 0. Если принять, что на стержень действуют нагрузки, аналогичные предыдущему случаю (23), получим для перемещений и деформаций решения, изображенные на рис. 8, 9. Из рис. 9, а видно, что деформация превысила предельное значение при растяжении в третьем слое в середине стержня. Из рис. 9, б можно заметить, что деформация не превысила предельных значений при сжатии во всех слоях стержня. Рис. 8. Изменение величины перемещений в сечении шарнирно-опертого с обоих концов стержня Fig. 8. The change in the magnitude of the displacements in the cross section of the rod the pivotally supported from both ends а б Рис. 9. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении шарнирно-опертого с обоих концов стержня Fig. 9. Change in the value of a) maximum, b) minimum deformation in the cross section of the rod pivotally supported from both ends В пределах принятой формы сечения мы можем изменить несущую способность за счет изменения параметров сечения, а также за счет замены материалов слоя на другие. Например, в случае изменения параметров сечения (22) на значения в условиях тех же самых нагрузок (23) график перемещений и деформаций примет вид, представленный на рис. 10, 11. Как видно из указанных рисунков, деформация в каждом слое не превышает предельных значений. Рис. 10. Изменение величины перемещений в сечении шарнирно-опертого с обоих концов стержня Fig. 10. Change in the magnitude of displacements in the cross section of a rod pivotally supported from both ends Тот же самый эффект можно получить, если, например, увеличивать следующие параметры сечения стержня: а б Рис. 11. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении шарнирноопертого с обоих концов стержня Fig. 11. The change in the value of a) maximum, b) minimum deformation in the cross section of the rod pivotally supported from both ends Из рис. 12, 13 видно, что деформация, так же как и в предыдущем случае, не превышает предельные значения. Рис. 12. Изменение величины перемещений в сечении шарнирно-опертого с обоих концов стержня Fig. 12. The change in the magnitude of displacements in the cross section of a rod pivotally supported from both ends Выбор подходящего варианта из возможных конфигураций сечения стержня, способных выдержать приложенные нагрузки, может быть обусловлен массой стержня, сложностью изготовления, ценой материалов и т.д. В случае, когда приложенные усилия к стержню располагаются в одной плоскости, при условии наличия соответствующей симметрии поперечного сечения стержня, имеет место случай плоского изгиба. Рассмотрим для определенности случай продольно-поперечного изгиба в плоскости (рис. 14), где - единичные векторы с началом в начале координат, направленные вдоль осей OX, OY, OZ соответственно. а б Рис. 13. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении шарнирноопертого с обоих концов стержня Fig. 13. The change in the value of a) maximum, b) minimum deformation in the cross section of the rod pivotally supported from both ends Рис. 14. Случай продольно-поперечного изгиба Fig. 14. The case of longitudinal-transverse bending Рассмотрим элемент стержня, выделенный двумя поперечными сечениями с координатами x и x+dx, где dx - достаточно мало. Обозначим через главный вектор и главный момент всех сил относительно начала координат. Причем справедливо где , - главный вектор и главный момент внутренних сил; , - главный вектор и главный момент внешних сил; - вектор напряжения, действующий в соответствующих точках сечения; - вектор распределенной внешней силы, действующей вдоль кривой ; - вектор распределенной массовой силы, действующей в сечении k-го слоя стержня; - вектор ускорения свободного падения; - плотность k-слоя стержня. Положим, что векторы , , , разлагаются в базисе следующим образом: , , откуда получим выражения для главных векторов и моментов: В настоящей работе будем полагать, что моменты внутренних сил, вызванные действием напряжений , равны нулю: В случае, когда поперечное сечение имеет вид такой же, как и на рис. 1, и нагрузки имеют вид , , , и приложены к верхней и нижней граням стержня (см. рис. 14), соотношения примут вид Выражения примут более простой вид, если положить, что вектор ускорения свободного падения направлен вдоль осей OX или OZ. Тогда получим, что составляющая вектора массовой силы . Если поперечные и продольные нагрузки симметричны относительно плоскости OXZ (функции , , , являются четными функциями относительно переменной y), тогда будут отсутствовать крутящие моменты и проекции изгибающих моментов на ось OZ внешних распределенных сил, т.е. и проекция главного вектора внешних сил на ось OY равна 0: Также будут равны нулю проекции сил и моментов внутренних сил: В этом случае имеем задачу продольно-поперечного изгиба стержня. Учитывая, что проекция главного вектора внутренних сил на ось OX есть продольное усилие N, на ось OZ есть перерезывающая сила , а проекция главного момента внутренних сил на ось OY есть изгибающий момент , получим где Из условия равновесия отсеченной части , , , откуда, отбросив члены второго порядка малости, получим: , , , , Положим, что закон изменения нагрузок и форма сечения имеют вид и сила тяжести направлена вдоль оси стержня, тогда получим: Координату z нейтральной линии можно определить из соотношения Результаты расчета стержня при N = 7, первый слой которого реализован из бетона марки B50, второй - B10, третий - B30, с параметрами приведены на рис. 15, 16. а б Рис. 15. Изменение: а - величины перемещений; б - координаты нейтральной линии в сечении защемленного с обоих концов стержня Fig. 15. The change of a) the magnitude of displacements, b) the coordinates of the neutral line in the cross section of the rod clamped at both ends Как видно из рис. 16, а, деформация достигает предельного значения в середине стержня в третьем слое. Повысить несущую способность можно, заменив материал в третьем слое стержня на бетон марки B50 при тех же самых нагрузках. Решение, соответствующее данному случаю, изображено на рис. 17, 18. Показанные примеры иллюстрируют, что на способность многослойных стержней из тяжелых бетонов выдерживать приложенные нагрузки значительно влияют способы закрепления стержней, форма поперечного сечения стержня, материал каждого слоя стержня. а б Рис. 16. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении защемленного с обоих концов стержня Fig. 16. The change in the value of a) maximum, b) minimum deformation in the cross section of the rod clamped at both ends а б Рис. 17. Изменение: а - величины перемещений; б - координаты нейтральной линии в сечении защемленного с обоих концов стержня Fig. 17. The change of a) the magnitude of the displacements, b) the coordinates of the neutral line in the cross section of the rod clamped at both ends а б Рис. 18. Изменение величины: а - максимальной; б - минимальной деформации в сечении защемленного с обоих концов стержня Fig. 18. The change in the value of a) maximum, b) minimum deformation in the cross section of the rod clamped at both ends

About the authors

Yu V Nemirovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics

S V Tikhonov

I. Ulianov Chuvash State University

References

Statistics

Views

Abstract - 332

PDF (Russian) - 194