Full Text

Расчет прочности круглой пластинки, защемленной по внешнему контуру Мембрана - основной элемент датчика давления, представляет собой круглую пластинку которая подвергается различным деформациям. Наиболее простой вид деформации таких элементов - их осесимметричный изгиб. Технические требования, предъявляемые к гофрированной мембране, будут эквивалентны требованиям к самому датчику давления [1-3]. На рис. 1 показано диаметральное сечение круглой пластинки и несколько видов осесимметричных нагрузок. Рис. 1. Схема нагрузок пластины: h - толщина пластинки; а - внешний радиус пластинки; F - сосредоточенная сила в центре пластин; T - кольцевая нагрузка, q - распределенная нагрузка Срединная плоскость делит толщину пластинки пополам. Вертикальные линейные перемещения точек срединной плоскости (по оси z) называются прогибами и обозначаются буквой w. Круглая диафрагма в датчике давления опирается по своему контуру на корпус и зажата по краям. Кроме того на нее действует сила давления, равномерно распределенная по площади диафрагмы [4; 5]. Вычисление изгибающих моментов на мембране. Так как материал пластинки непластичный, то с позиции теории прочности в точках контура: - при r = a имеем: (1) (2) (3) (4) В центре пластинки при r = 0 имеем: (5) (6) (7) Сравнивая величины эквивалентных напряжений, заключаем, что наиболее опасной точкой пластинки является та, что расположена на контуре, и тогда условием прочности будет [6]: (8) Расчет упругой характеристики мембраны проектируемого датчика давления Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой [6-9]. Плоский изгиб - такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы. Косой (сложный) изгиб - такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил. При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия - поперечная сила Qу и изгибающий момент Мх. Далее для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q = 0), а изгибающий момент не равен нулю или М = const, то такой изгиб принято называть чистым. Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения. Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения. Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений, а момент М - сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений [10-12] (рис. 2). Поскольку часть волокон растягивается, а часть сжимается, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией, или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Рис. 2. Схема деформирования слоев в одном элементе пластины Линии, проведенные на боковой поверхности элемента пластины перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу расчета гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения, элемента пластины, плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются [14; 15]. Допущения при расчете деформации пластины мембраны. 1. Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают. 2. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 3. Элемент пластины имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 4. Материал пластины подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 5. Соотношения между размерами элемента пластины таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания. При чистом изгибе пластины на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения, определяемые по формуле [16]: (9) где у - координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии - главной центральной оси х. Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю [17-20]. Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии приведен на рис. 3. Рис. 3. Эпюры нормальных напряжений при изгибе пластины произвольной формы Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии. Для любой точки сечения (точки К) условие прочности элемента пластины по нормальным напряжениям имеет вид: (10) где н.о. - это нейтральная ось. При (11) где - осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений. Условие прочности по нормальным напряжениям [21]: (12) Методика расчета деформаций пластины круговой формы переменной толщины В предыдущем разделе приведены основы расчета деформаций чувствительных элементов в форме круговых пластин, имеющих постоянную толщину. Одной из задач является исследование возможности повышения надежности мембранных чувствительных элементов на основе применения мембран с изменяющейся толщиной пластины. В связи с этим используя описанные выше зависимости, необходимо разработать методику расчета упругой характеристики с изменяющейся толщиной [21; 22]. С этой целью для расчета деформаций пластины датчика давления используем метод конечных элементов. Его сущность сводится к тому, что круглая пластина разбивается на конечное число элементов. Пластина делится на отдельные кольца, а кольца разбиваются на отдельные секторы. В результате получаем n·m кольцевых секторов, где n - число круговых колец; m - число секторов. Схема разбиения круглой пластины на кольцевые секторы приведена на рис. 4. Рис. 4. Схема разбиения пластины на круговые сегменты Таким образом, круглая пластина разбивается на конечное число круговых секторов. Поскольку для элемента пластины в виде кругового сектора сложно вычислять параметры изгиба, то задачу расчета деформаций упростим путем преобразования кругового кольца в более простую прямоугольную форму. Для приведения элемента пластины в виде кругового кольца к прямоугольной форме необходимо принять критерии равенства [14; 23]. На рис. 4 показана схема приведения элемента пластины в виде кругового сектора к форме в виде прямоугольного элемента. Условие приведения - равенство деформации элементов в диаметральном направлении (см. рис. 4). Считаем, что это условие можно соблюсти, если: 1) принять длину прямоугольного элемента, равной диаметральной длине кругового сектора (размер L = dr); 2) ширину кругового сектора принять из равенства площадей кругового сектора равенству площади прямоугольного элемента. Тогда ширину прямоугольного элемента (размер H) можно вычислить по формуле (13) где u - угол кругового сектора; r0 - радиус сектора; L - радиальная длина сектора; π = 3,14. При этом толщина элемента кругового сектора и заменяющего элемента в виде прямоугольной формы остается неизменной [25]. Расчет упругой характеристики осуществляем на основе материалов по упругим деформациям тонкостенных пластин круговой формы, приведенных в подразделе ВКР. Под упругой характеристикой понимается зависимость между перемещением измерительной точки упругого элемента и величиной давления. Указанную характеристику определяют способ заделки и форма деформации упругого элемента. Рассмотрим чувствительный элемент в виде круглой пластины переменной толщины с условно жесткой сердцевиной. Жесткая сердцевина применяется для крепления к ней измерительного наконечника, передающего упругие деформации в электронный измерительный блок. Жесткость сердцевины достигается путем утолщения пластины в ее центре. Тогда деформациями сердцевины пластины можно пренебречь [26]. а б Рис. 5. Круговой сектор (а) и заменяющая его расчетная схема (б) [27] При делении круговой пластины на конечное число элементов для расчета деформации одного элемента получено следующее выражение [27]: (14) где σ - относительная деформация упругого элемента (на единицу диаметра мембраны); m - число секторов кругового кольца; n - число круговых колец; P - давление на мембрану; E - модуль упругости материала чувствительного элемента; Ii - осевой момент инерции поперечного сечения сектора; Li - длина сектора; K - коэффициент приведения размерностей. Выводы Описанная методика позволяет рассчитать мембрану для любого датчика давления, применяемого как в промышленности, так и в малой целевой аудитории. Опираясь на предоставленный расчет, можно сделать вывод, что, для проектирования мембраны нужно исходить от первоначальных условий работы датчика. От этого зависит тип мембраны и последующие характеристики датчика.

About the authors

A. I Andreev

Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin

A. V Zhukov

Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin

A. S Yakovishin

Saratov State Technical University named after Yu.A. Gagarin

References

Statistics

Views

Abstract - 104

PDF (Russian) - 83

Refbacks

• There are currently no refbacks.