Full Text

Для исследования динамики сыпучих материалов [1-4], прессования, гранулирования, измельчения широко используется моделирование методом дискретных элементов (Discrete element method - DEM, или молекулярная динамика) [5-13]. В настоящее время благодаря увеличению компьютерной производительности стало возможно моделировать сложные системы с миллионами частиц в трех измерениях. Программная реализация метода требует наличия надежных тестов для проверки правильности реализации метода. Даже использование готовых программных комплексов требует проверки правильности вычислений при использовании конкретных гипотез и замыкающих соотношений. Целью работы является разработка тестов, позволяющих находить ошибки и верифицировать компьютерные программы, использующие DEM, находить оптимальный шаг расчета по времени, изменять параметры для повышения производительности расчетов при допустимой погрешности. В настоящей работе с применением теории удара [14-17] выведены формулы (1)-(3), необходимые для тестирования соударения двух сферических частиц со скольжением и вращением. С использованием этих формул проведено верифицирование компьютерной программы трехмерного моделирования методом DEM с шарообразными частицами, разработанной авторами [18-26]. Производится сравнение характеристик, полученных в результате использования компьютерной программы DEM, и характеристик, полученных с применением аналитических формул теории удара. Далее используются следующие обозначения: - скорость вращения частицы до удара, рад/с; - скорость вращения частицы после удара, рад/с; - коэффициент трения; k - коэффициент восстановления; - скорость частицы до удара, м/с; - составляющая скорости частицы до удара, нормальная к поверхности второй частицы (поверхности стенки), м/с; - составляющая скорости частицы до удара, касательная к поверхности второй частицы (поверхности стенки), м/с; - составляющая скорости частицы после удара, нормальная к поверхности второй частицы (поверхности стенки), м/с; - составляющая скорости частицы после удара, касательная к поверхности второй частицы (поверхности стенки), м/с; r - радиус частицы, м; - угол между направлением удара и поверхностью второй частицы (или угол между направлением удара и стенкой), °. Рассмотрим моделирование косого удара двух частиц (рис. 1, а). Если две частицы имеют идентичные параметры, то можно упростить задачу, выбрав относительную систему координат так, что две частицы двигаются навстречу друг другу, причем их скорости параллельны оси Y, эта постановка используется при моделировании (рис. 1, б). Если две частицы идентичны, то задача упрощается до удара одной частицы об абсолютно твердую стенку (рис. 1, в), которая является касательной к обеим частицам в момент удара в точке соприкосновения. Задача в такой постановке может быть решена аналитически. Для использования этого решения в качестве теста реализации численного метода стенка заменяется абсолютно неподвижной частицей (рис. 1, г). Таким образом, при моделировании задача может рассматриваться либо как удар двух частиц (рис. 1, б), двигающихся с одинаковой скоростью навстречу, либо как удар частицы о неподвижную частицу (рис. 1, г). Для аналитического решения была приняты гипотеза, что упругая деформация при ударе близка к нулю, пластическая деформация отсутствует, потеря нормальной скорости при ударе описывается коэффициентом восстановления, сила тяжести не учитывается. Начальная скорость движения частицы известна. Трение без скольжения: при (1) Трение со скольжением: (2) где (3) Используем это аналитическое решение для тестирования компьютерной программы. В качестве параметров, по которым будут сравниваться численное и аналитическое решения, используются тангенциальные и нормальные скорости частиц и скорости вращения частицы после соударения. а б в г Рис. 1. Схема расположения частиц для расчета соударения двух частиц одинакового размера Рис. 2. Тангенциальная скорость, нормальная скорость после удара При расчетах использовались параметры: - V0 = 0,1 м/с; - шаг по времени dt = 1/300000 c; - плотность материала ρ = 562 кг/м; - модуль Юнга E = 1000 МПа; - радиусы частиц равны, r = 0,0008 м; - скорость вращения частицы до удара ω0 = 0 м/с. Результаты вычисления при α = 0…90°, k = 1, µ = 0 приведены на рис. 2. Так как µ = 0, вращение после удара отсутствует, ω = 0 (рис. 3). Результаты вычисления при α = 0…90°, k = 1, µ = 0,1 показаны на рис. 4-6. Результаты вычисления при α = 0…90°, µ = 0,1 приведены на рис. 7-9. Коэффициент восстановления в этом тесте зависит от нормальной скорости соударения частиц. Исследователями используются различные зависимости для определения силы реакции от скорости и других параметров. В конечном счете не имеет значения, как изменяется с течением времени сила реакции в направлении нормали при соударении. Для определения скоростей после удара аналитическим способом достаточно знать ударный импульс, который определяется коэффициентом восстановления. В предыдущих тестах использовался коэффициент восстановления равный единице. В этом тесте используется коэффициент восстановления, полученный в процессе моделирования. Таким образом, как в математическом моделировании, так и в аналитическом расчете используются одинаковые коэффициенты восстановления для каждого угла соударения частиц. В настоящей работе проверка коэффициента восстановления не показана, так как его зависимость от скорости соударения, свойств материалов частиц является частным случаем и не имеет общей формулы для применения. Рис. 3. Отношение скорости после удара к скорости до удара Рис. 4. Тангенциальная скорость, нормальная скорость после удара Рис. 5. Отношение скорости после удара к скорости до удара Рис. 6. Скорость вращения после удара, ω Рис. 7. Тангенциальная скорость, нормальная скорость после удара Рис. 8. Отношение скорости после удара к скорости до удара. Скорость Vn (аналитическое решение) не показана, так как равна Vn (dem) Рис. 9. Скорость вращения после удара, ω Схема соударения двух частиц разного размера следующая. Устанавливается стенка в плоскости x = 0. Частицы ударяются о стенку с двух сторон. Точка удара находится в ноле системы координат. (4) В таком случае частицы имеют по модулю равный нормальный и тангенциальный импульс: (5) Частицы двигаются на встречу, ударяются о стенку с одинаковым углом α. Соотношение скоростей после столкновения. (6) Рис. 10. Схема расположения частиц для расчета соударения двух частиц разного размера Рис. 11. Скорости частиц после удара Таким образом, удар двух частиц о стенку в рассматриваемой схеме равнозначен удару двух частиц без стенки. Аналитическое решение используется то же, формулы (1)-(3). Далее по тексту будут добавлены только индексы частиц. При компьютерном моделировании необходимо установить для частиц начальные скорости и координаты согласно схеме (рис. 10) и формулам (4)-(6). Вариант расчета при α = 0…90° град, k = 1, µ = 0, ω01 = 0, ω02 = 0, r1 = 0,0008 м, r2 = 0,0016 м. Погрешность по модулю скорости движения частиц после столкновения между составила между результатами программы DEM и аналитическим решением 2,13 %. Скорости вращения после столкновения равны нолю, так как µ = 0. Вариант расчета при α = 0…90° град, k = 1, µ = 0,1, ω01 = 0, ω02 = 0, r1 = 0,0008 м, r2 = 0,0016 м. По результатам теста погрешность по модулю скорости движения частиц после столкновения составила 2,11 %. Погрешность скорости вращения 1,48 %. Вариант расчета при α = 0…90° град, µ = 0,1, ω01 = 0, ω02 = 0, r1 = 0,0008 м, r2 = 0,0016 м. Для аналитического расчета используется коэффициент восстановления, полученный в программе DEM. По результатам теста погрешность по модулю скорости движения частиц после столкновения составила 0,76 %. Погрешность скорости вращения 1,15 %. Скорости движения, полученные с применением программы DEM, после удара частицы 2 меньше, чем скорости движения частицы 1, в 8 раз, то есть соблюдается формула (7). Углы отражения удара для обеих частиц равны, что подтверждает корректность работы программы DEM. Ниже представлены графики скоростей (рис. 11). Графики скоростей, полученные аналитическим способом, не показаны, так как погрешности менее 1,5 %. Таким образом, получено аналитическое решение для тестирования программ, реализующих DEM. Проведено тестирование собственной программы. Погрешность метода определялась по модулю скорости движения частицы после столкновения. В результате тестирования показано, что относительная погрешность вычислений программы DEM относительно аналитического решения при выбранном шаге по времени составляет не более 2,13 %. Полученное аналитическое решение можно использовать для проверки погрешности программ DEM, входящих в коммерческие пакеты.

About the authors

D. V Lobovikov

Perm National Research Polytechnic University

A. V Kharchenko

Konstruktiv-SP

E. V Matygullina

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 119

PDF (Russian) - 45

Refbacks

• There are currently no refbacks.