Full Text

Исследуется гранулирование сухих сыпучих материалов во вращающемся барабане с использованием 3D-метода дискретных элементов (DEM - Discrete Element Method, или молекулярная динамика) [1, 2]. Целью работы является изучение движения сыпучих сред во вращающемся барабане (цилиндре) с образованием агломератов и гранул [3-11]. Моделирование методом молекулярной динамики используется для изучения динамики сыпучих сред, таких как песок, зерно, порошки и т.п. [1, 2]. В настоящее время благодаря увеличению компьютерной производительности стало возможным моделировать сложные системы с сотнями тысяч частиц в двух и трех измерениях, в том числе частиц несферической формы [12-20]. Использование этого метода требует значительных компьютерных мощностей. Одной из ключевых проблем, требующих больших вычислений, является задача поиска контактов для одной частицы. Поиск контактов может потребовать существенно больше вычислительного времени, чем непосредственные вычисления результатов взаимодействия частиц. Определение наиболее эффективного метода построения сетки для деления рассматриваемой области и подбор характеристик сетки могут существенно снизить время расчетов. Выбор оптимальных параметров сетки позволит увеличить количество частиц при моделировании [21, 22]. В настоящей статье сравнивается несколько подходов к построению расчетной сетки и выбору разных характеристик сетки при моделировании методом DEM сыпучих сред во вращающемся цилиндре. Рассматривается задача о движении сыпучего материала во вращающемся цилиндре. Ось цилиндра направлена по оси z декартовых координат и параллельно поверхности земли. Принимается, что частицы сферические. Предполагается, что движение частиц вдоль оси цилиндра несущественно. Далее используются следующие обозначения: H - глубина цилиндра; D - диаметр цилиндра; ri - радиус-вектор i-й частицы; Ri - радиус частицы; Rmax - максимальный радиус частиц; Rmin - минимальный радиус частиц; vi - вектор скорости i-й частицы; mi - масса i-й частицы; F - сумма внешних сил, действующих на i-ю частицу; M - сумма моментов внешних сил, действующих на i-ю частицу; J - момент инерции; t - время; N - количество частиц. Систему уравнений, описывающих взаимодействие частиц, в этом случае можно записать в виде [23, 24]: Для исследования эффективности алгоритмов поиска контактирующих частиц природа и способ вычисления суммарных сил и моментов не важны [25, 26]. Исследовать эффективность выбора расчетной сетки и ее характеристик будем при следующем наборе начальных данных: Глубина цилиндра ограничена с целью уменьшения количества частиц моделируемого процесса, так как предполагается, что движение частиц вдоль оси цилиндра несущественно. Коэффициент трения между поверхностью цилиндра и частицами равен нулю. Предполагается, что движение частиц в цилиндре с минимальной глубиной, например , не отличается от движения частиц в цилиндре с любой глубиной более . Частицы расположены в кубической упаковке, занимают 100 % объема цилиндра. Гранулометрический состав представляет собой частицы трех размеров Rmin, Rmax и в равном насыпном объеме. Моделирование с помощью метода DEM заключается в циклическом повторении с дискретным шагом dt следующих этапов: - для каждой сферической частицы сыпучего материала находятся контакты с соседними частицами; - вычисляются нормальные и касательные силы контактных взаимодействий между частицами, также между частицами и стенками вращающегося барабана; - силы для каждой частицы суммируются; - находятся новые скорости и координаты частиц. Для поиска контактирующих частиц расчетная область частиц делится на ячейки ортогональной равномерной постоянной сеткой. Линии сетки располагаются параллельно осям X, Y. Шаг сетки обозначим b. В плоскости XY сетка квадратная. Таким образом, ячейки имеют форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами b, b, H. Каждую ячейку можно пронумеровать двумя индексами (x, y). В общем виде алгоритм поиска контактов выглядит следующим образом: - для каждой i-й частицы определяется ячейка сетки (xi, yi), в которой она находится; - производится поиск контактирующих частиц в ячейке (xi, yi). Для того чтобы избежать дублирования, рассматриваются только частицы с индексами j > i; - определяются ячейки сетки (x, y), в которых будет осуществляться поиск. Количество ячеек в рассматриваемой окрестности определяется с помощью величины k = (Ri + Rmax)/Rmin; - проверяется наличие контакта i-й частицы с частицами, находящимися в ячейках (xj, yj), где yj = yi, xi < xj < xi + k; - проверяется наличие контакта i-й частицы с частицами, находящимися в ячейках (xj, yj), где xi - k < xj < xi + k, yi < yj < yi + k. Для поиска контактов в 3D-сетке (с делением ячеек по оси z, ячейки имеют стороны b, b, b) алгоритм выглядит следующим образом: - для каждой i-й частицы определяется ячейка сетки (xi, yi, zi), в которой она находится; - производится поиск контактирующих частиц в ячейке (xi, yi, zi). Для того чтобы избежать дублирования, рассматриваются только частицы с индексами j > i; - определяются ячейки сетки (x, y, z), в которых будет осуществляться поиск. Количество ячеек в рассматриваемой окрестности определяется с помощью величины k = (Ri + Rmax) / Rmin; - проверяется наличие контакта i-й частицы с частицами, находящимися в ячейках (xj, yj, zj), где yj = yi, xi < xj < xi + k, zi - k < zj < zi + k; - проверяется наличие контакта i-й частицы с частицами, находящимися в ячейках (xj, yi, zj), где xi - k < xj < xi + k, yi < yj < yi + k, zi - k < zj < zi + k. Вся область поиска контактов изображена на рис. 1. Поиск контактов только в рядах ячеек сверху от текущей ячейки и в ячейках справа в том же ряду от текущей ячейки позволяет уменьшить область поиска в два раза и исключить дублирование контактов. Выбор размера ячейки b = Rmin обусловлен тем, что при таком размере необходимо для соседних частиц минимального размера производить поиск контактов только в двух соседних рядах (если текущая частица также имеет минимальный размер) (рис. 2). Количество частиц с минимальным диаметром обычно составляет более 80 % всего количества частиц, поэтому предполагается, что выбор размера ячеек по радиусу частиц минимального размера сократит область поиска для большинства возможных контактов. Далее приводится сравнение общего количества операций компьютера с вариантом, когда размер ячейки равен радиусу частицы максимального размера. Рис. 1. Область поиска контактов (частицы имеют разный размер) Применение стороны ячейки, равной радиусу частицы минимального размера, позволяет рассчитывать количество ячеек поиска в одну сторону (влево, вправо, вверх) индивидуально для определенного размера текущей частицы; таким образом, сокращается область поиска для частиц с минимальным размером. Например, если текущая частица минимального размера, при том, что максимальный размер соседних частиц больше в три раза, k = 4. Если текущая частица максимального размера, при том, что максимальный размер частиц больше в три раза частиц с минимальным размером, k = 6. Рис. 2. Область поиска контактов для частиц с одинаковым диаметром Для сравнения эффективности алгоритма проведены расчеты для пяти различных способов деления области моделирования на ячейки. Способ 1. Построена квадратная координатная сетка по осям x, y, которая делит объем на ячейки. Ячейки имеют глубину, равную глубине цилиндра, т.е. деление ячеек по оси z не производится. Сторона ячейки равна радиусу частицы минимального размера. Поиск производится согласно схеме, показанной на рис. 1. Способ 2. Отличие от предыдущего способа заключается в том, что если текущая частица имеет минимальный размер, то в дальних ячейках, заштрихованных решеткой (см. рис. 1), не производится проверка на наличие контакта с соседними частицами, имеющими больший диаметр. Способ 3. Отличие от способа № 1 заключается в том, что ячейки дополнительно разделены в глубину с периодом, равным также радиусу минимальной частицы. Таким образом, применяется 3D-сетка. Способ 4. Построена квадратная сетка по осям x, y, которая делит объем на ячейки. Ячейки имеют глубину, равную глубине цилиндра, т.е. деление ячеек по оси z не производится. Сторона ячейки равна радиусу частицы максимального размера. Поиск производится согласно схеме, показанной на рис. 2, только в соседних двух рядах. Способ 5. Отличие от способа № 4 заключается в том, что ячейки дополнительно разделены в глубину с периодом, равным также радиусу частицы максимального размера. Таким образом, в способе применяется 3D-сетка. Результаты расчета эффективности приведены в табл. 1. Для сравнения проводились расчеты со следующими параметрами: Rmin = 0,01 м, Rmax = 0,03 м, H = 0,15 м. В табл. 2 приведены результаты, полученные при использовании тех же способов построения координатной сетки. Различие состоит в том, что размер цилиндра в глубину увеличен до диаметра цилиндра. Этот способ моделирования может использоваться при изучении движения частиц, имеющих значительное перемещение по оси z, например при моделировании движения сыпучего материала в цилиндре, с наклоненной осью z относительно горизонтали, что приводит к перемещению объема частиц в сторону наклона. Для сравнения проводились расчеты со следующими параметрами: Rmin = 0,01 м, Rmax = 0,03 м, H = 2 м. Таблица 1 Сравнение эффективности способов построения координатной сетки для цилиндра с глубиной 0,15 м Параметр Способ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5 Количество малых частиц 166 500 166 500 166 500 166 500 166 500 Количество средних 20 813 20 813 20 813 20 813 20 813 Количество больших 6167 6167 6167 6167 6167 Общее количество частиц 193 479 193 479 193 479 193 479 193 479 Сторона ячейки 0,005 0,005 0,005 0,015 0,015 Общее количество ячеек сетки 133 200 133 200 3 996 000 14 800 148 000 В каждую ячейку в среднем попадает частиц 1,4525 1,4525 0,0484 13,0729 1,3073 Количество ячеек поиска для частицы минимального размера 41 41 779 - - Количество ячеек поиска для частицы среднего размера 61 61 1159 - - Количество ячеек поиска для частицы максимального размера 85 85 1615 - - Количество ячеек поиска для частицы любого размера - - - 13 65 Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы минимального размера 60 25 38 - - Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы среднего размера 89 89 56 - - Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы максимального размера 123 123 78 - - Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы любого размера - - - 170 85 Осредненное количество операций поиска контактов для одной частицы 3145 2126 13542 6386 4140 Таблица 2 Сравнение эффективности способов построения сетки для цилиндра с глубиной 2 м Параметр Способ 1 Способ 2 Способ 3 Способ 4 Способ 5 Количество малых частиц 2 217 780 2 217 780 2 217 780 2 217 780 2 217 780 Количество средних 277 223 277 223 277 223 277 223 277 223 Количество больших 82 140 82 140 82 140 82 140 82 140 Общее количество частиц 2 577 143 2 577 143 2 577 143 2 577 143 2 577 143 Сторона ячейки 0,005 0,005 0,005 0,015 0,015 Общее количество ячеек сетки 133 200 133 200 53 280 000 14 800 1 973 333 В каждую ячейку в среднем попадает частиц 19,34 19,34 0,0484 174,13 1,31 Количество ячеек поиска для частицы минимального размера 41 41 779 Количество ячеек поиска для частицы среднего размера 61 61 1159 Количество ячеек поиска для частицы максимального размера 85 85 1615 Количество ячеек поиска для частицы любого размера 13 65 Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы минимального размера 793 793 38 Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы среднего размера 1180 1180 56 Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы максимального размера 1644 1644 78 Количество частиц, проверяемых на контакт, для частицы любого размера 2264 85 Осредненное количество операций поиска контактов для одной частицы 31 051 17 475 13 540 79 668 4 137 Для моделирования процессов, происходящих во вращающемся цилиндре с горизонтальной осью вращения и незначительным перемещением частиц вдоль оси вращения, необходимо применять ограниченную глубину объема расчета. Наибольшую эффективность показал способ № 2. Для моделирования процессов, происходящих во вращающемся цилиндре с наклоненной осью вращения и значительным перемещением частиц вдоль оси вращения, необходимо применять глубину объема расчета, достаточную для изучения движения частиц вдоль оси вращения цилиндра. Предлагается использовать глубину не менее размера диаметра цилиндра. Наибольшую эффективность показал способ № 5 (см. табл. 2). Количество операций, приходящихся на частицу i, согласно этому способу, не зависит от глубины моделируемого цилиндра. Способ № 3 менее эффективен, чем способ № 5 (в обоих способах ячейки имеют деление в глубину по оси z), в связи с тем, что для способа № 3 общее количество ячеек проверки в трех измерениях более чем в 10 раз превышает этот параметр для способа № 5. Ячейки способа № 3 меньше, поэтому при проверке используется их большее количество. Способы № 1, 2 (см. табл. 2) требуют гораздо большего количества операций для текущей частицы, чем указано в табл. 1, так как при глубине цилиндра, равной размеру диаметра цилиндра, в ячейку с глубиной, равной глубине моделирования, попадает больше частиц. Количество проверяемых частиц в ячейке пропорционально глубине цилиндра. Способ № 5 является универсальным, так как уступает по эффективности способу № 2 при минимальной глубине цилиндра (см. табл. 1) лишь в два раза и показывает лучшую эффективность при глубине цилиндра, равной размеру диаметра цилиндра (см. табл. 2) и более.

About the authors

D. V Lobovikov

Konstruktiv-SP

A. V Kharchenko

Konstruktiv-SP

E. V Matygullina

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 29

PDF (Russian) - 11

Refbacks

• There are currently no refbacks.