Full Text

Введение Оптимальное управление технологическими процессами связано с определением экстремальных условий и режимов управления исследуемого процесса или объекта. Цель оптимального управления закладывается в выражение функционала. Функционал - обобщенное понятие функции, аргументом (независимой переменной) которой является другая функция. Примером простейшего функционала является определенный интеграл (1) в котором вид функции у(х) определяет величину (число) этого интеграла. Итак, функционал J - это число, величина которого зависит от вида функции у(х). В основе оптимального управления лежит вариационное исчисление, которое до создания теории оптимального управления прошло многовековой путь становления и развития. Основные понятия и первая задача классического вариационного исчисления были сформулированы в конце XVII в. Первую задачу оптимального управления сформулировал И. Бернулли в 1696 г. [1] - задачу о линии быстрейшего ската, которая называется задачей о брахистохроне (brachistos - кратчайший, chronos - время), т.е. задачей на быстродействие. Формулировка и решение этой задачи стали основой и началом вариационного исчисления. Далее в XVIII-XIX вв. вариационное исчисление развивалось в научных трудах Эйлера, Лагранжа, Остроградского, Вейерштрасса и многих других ученых [2-5]. В вариационном исчислении функция у(х) в функционале (1) является непрерывной, гладкой (т.е. имеет непрерывную первую производную) и на нее не наложено ограничений. Она должна удовлетворять только граничным условиям: проходить через точки у(х0) и у(х1). Большинство современных технических и технологических задач оптимизации, имеющих практическое значение, связаны с отысканием экстремума функционала при определенных условиях и ограничениях на функции, допускаемых при решении задач. В реальных условиях необходимо учитывать ограниченность силовых факторов, действующих на объект управления, или накладывать ограничения на мощность управляющих воздействий и источников нагрева либо вводить допускаемые значения напряжения и деформации в элементах конструкций и т.п. Функции, описывающие состояние объекта управления, должны удовлетворять уравнениям связи. При постановке и решении задач оптимального управления процессами сварки уравнениями связи являются уравнения теплопроводности, диффузии, напряжений, деформации и тому подобные, а ограничение накладывается на мощность или плотность мощности реального сварочного источника, напряженно-деформационное состояние и др. Поскольку вариационное исчисление применяется для решения задач оптимального управления без ограничений на состояние объекта и при отсутствии управляющих воздействий, в связи с потребностью оптимизации состояния (движения) технических и технологических систем возникла необходимость в создании теории оптимального управления с учетом ограничений на управляющее воздействие. Теория решения задач оптимального управления с ограничениями была создана в середине прошлого столетия академиком Л.С. Понтрягиным и его учениками. Они разработали принцип максимума для непрерывных систем с сосредоточенными параметрами, который дает необходимые условия оптимальности для задач с ограничениями на управление [6-8]. Системы с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В начале 60-х гг. А.Г. Бутковский обобщил принцип максимума в определенный класс систем, состояние которых описывается параметрами, распределенными не только во времени, но и в пространстве [9-11]. Математическими моделями систем с распределенными параметрами являются уравнения в частных производных и интегральные уравнения. К системам с распределенными параметрами относятся тепловые процессы в металлах, процессы диффузии, температурные поля и т.д. При постановке задач оптимизации важным является выделение класса функций, на котором будет определяться экстремум функционала. Для большинства задач оптимизации в качестве аргумента (вида независимой функции) функционала принимают класс кусочно-непрерывных функций с конечным числом разрывов первого рода на заданном интервале (в допустимом множестве) аргумента этих функций [12]. На рис. 1 представлен пример кусочно-непрерывной функции у(х), заданной на интервале (х0, х4). Каждому значению аргумента х в заданном интервале соответствует определенное (однозначное) значение функции у(х), за исключением точек х1, х2, х3. В точках х1, х2, х3 функция у(х) имеет разрыв первого рода, характерным для которого является то, что слева и справа от точки разрыва функция принимает различные значения конечной величины, т.е. в точках разрыва функция неоднозначна. Так, например, в точке х1 ордината у принимает значения Рис. 1. Кусочно-непрерывная функция у(х) Класс кусочно-непрерывных функций является достаточно широким, он включает много видов различных функций. Частными случаями кусочно-непрерывных функций являются непрерывные функции. Применение принципа максимума в задаче управления тепловым процессом В качестве примера применения принципа максимума рассмотрим решение задачи оптимального управления одномерным тепловым процессом сварки при ограничении на плотность мощности q сварочного источника. Пусть в стержне длиной l действует объемный источник энергии, плотность мощности которого определяется функцией q(x, t), где x - ось стержня. Тепловой процесс описывается неоднородным, нестационарным, одномерным уравнением теплопроводности [13, 14] (2) где T - функция распределения температуры по длине стержня с течением времени, T = T(x, t). При нулевых начальных и граничных условиях решение уравнения имеет вид [15] (3) где функция - известная функция, которая выводится при решении уравнения (2) и может быть функцией влияния, импульсной переходной функцией или функцией Грина. Аргументы функции K изменяются в пределах: где - время, в течение которого действует управление т.е. время действия сварного источника. На управляющее воздействие наложим ограничение (4) в соответствии с реальными параметрами сварочных источников. Это ограничение определяет класс допустимых кусочно-постоянных функций в решении задачи оптимального управления. Сформулируем задачу оптимального управления: пусть задана функция которая характеризует некоторое идеальное, желаемое распределение температуры и при котором обеспечиваются наилучшие свойства материала в зоне воздействия источника. Найти такое допустимое управление, удовлетворяющее ограничению (4), чтобы в момент времени уклонение истинной температуры от заданной было минимальным. За меру уклонения примем функционал вида [16] (5) где разность есть невязка уравнения (3), если в левую часть вместо поставить Предположим, что заданная функция и время процесса нагрева таковы, что ни при каком допустимом управлении, удовлетворяющем ограничению (4), не выполняется тождество т.е. предполагаем, что невязка не равняется тождественно нулю, за исключением отдельных точек и, соответственно, распределение температуры не совпадает с заданным распределением Кривые распределения этих значений температуры могут только пересекаться в отдельных точках. Согласно принципу максимума для систем с распределенными параметрами [9, 16] оптимальное управление определяется интегральным уравнением, выражение которого составляется в зависимости от показателя степени g в функционале (5). Будем рассматривать критерии оптимальности (5) при g = 2, т.е. квадратичные функционалы. Квадрат невязки позволяет устранить отрицательные значения подынтегральной функции. Доказательство принципа максимума для систем с распределенными параметрами не является существенным при решении задач с его применением. Вывод принципа максимума основан на понятии игольчатой вариации, которая строится на границе области управления. Доказательство не является сложным, и читателю предлагается самостоятельно ознакомиться с работами [9, 16], где оно рассмотрено достаточно подробно и вполне доступно. Решение сформулированной выше задачи оптимального управления сводится к поиску минимума функционала (5). Оптимальное управление q(x, t), которое доставляет функционалу минимальное значение, по принципу максимума в случае g = 2 определяется выражением (6) где - функция Кронекера [17], которая определяется выражениями Из этого следует, что оптимальное управление q(x, t) как решение уравнения (6) является кусочно-постоянной функцией координаты х и времени t и принимает поочередно предельно допустимые значения или 0. Итак, мы рассмотрели структуру выражения для оптимального управления и последовательность преобразования этого выражения к виду нелинейного интегрального уравнения в случае минимизации квадратичного функционала (g = 2). Вывод оптимального управления при различных значениях g ³ 1 на основе принципа максимума для систем с распределенными параметрами рассмотрен в монографиях А.Г. Бутковского [9, 16]. Интегральное уравнение (6) является уравнением Фредгольма первого рода [18]. Решение таких уравнений сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Моделирование сварочных источников в более широком классе кусочно-непрерывных и кусочно-постоянных функций позволяет описывать с большей точностью целый ряд высококонцентрированных источников, которые генерируются современным сварочным оборудованием и применяются в технологиях сварки. В современной теории сварочных процессов и технологии сварочного производства применяются такие источники нагрева, у которых параметры могут изменяться безынерционно. Так, например, у многих сварочных источников (излучения лазера, пучка электронов, электрической дуги) мощность в импульсном режиме изменяется мгновенно, практически безынерционно. А источники нагрева, формируемые пучком электронов, являются безынерционными при управлении их перемещением, мощностью и фокусировкой. Ввиду этого, учитывая свойство безынерционного (скачкообразного) изменения основных параметров (формы пятна нагрева, мощности, распределения плотности мощности по пятну и др.), модель источника необходимо строить в классе разрывных функций. Это, в свою очередь, позволяет ставить и решать задачи поиска оптимальных режимов сварки с применением новейших методов теории оптимального управления. Условия реализации решения задачи оптимального управления процессом сварки В результате решения системы нелинейных алгебраических уравнений получаем функцию изменения распределения плотности мощности q(x, t) в стержне вдоль оси x в период времени от 0 до . В соответствии с принципом максимума и ограничением на управление (4) функция q(x, t) оптимального сварочного источника определяет пространственно-временную структуру пятна нагрева и распределение плотности мощности по этому пятну в классе кусочно-постоянных функций, т.е. равномерное распределение плотности мощности по пятну нагрева, равное qmax, и разрывы первого рода (скачкообразное изменение плотности мощности от 0 до qmax) на границах пятна. Рассмотрим одно из условий реализации оптимального сварочного источника, полученного в классе кусочно-постоянных функций: построение равномерного распределения плотности мощности при моделировании сварочного источника функцией нормального распределения [19]. Одним из основных технологических приемов формирования сварочных источников с необходимой формой пятна нагрева и соответствующим распределением плотности мощности являются колебательные движения нормально-кругового источника по схеме строчной развертки (рис. 2). Разрывы первого рода на границе пятна нагрева можно обеспечить с допустимой погрешностью. В случае строчной развертки нормально-полосовой источник наиболее точно описывает равномерное распределение плотности мощности qmax по длине пятна нагрева и в поперечном сечении. Рис. 2. Формирование источника с равномерным распределением плотности мощности При сканировании нормально-кругового источника по схеме строчной развертки с определенным шагом 2r (разрешающей способностью) происходит наложение тепловых потоков и отклонение суммарного значения q(x, t) от величины qmax зависит от шага развертки и числа строк. Подробно эта зависимость рассмотрена в пособии оптимизации режима обработки материалов концентрированными источниками энергии [20], где получены уравнения отклонения q(x, t) от qmax в зависимости от шага строчной развертки и количества строк. a б Рис. 3. Распределение суммарного удельного теплового потока q(x) при k = 104 м-2: a - для r0,37; б - для r0,47; p = 2 (кривая 1), p = 3 (кривая 2) и равномерное распределение (кривая 3) По результатам решений этих уравнений показано (рис. 3), что при количестве строк р = 2 и соответственном шаге развертки 2r0,47 максимальное отклонение q(x, t) не превышает 10 % (см. рис. 3, а), а при р = 3 (см. рис. 3. б) эта погрешность понижается на 1-2 %. Дальнейшее увеличение числа строк не дает существенного уменьшения погрешности. Выводы 1. Вариационные исчисления не позволяют решать современные технические и технологические задачи управления с ограничениями на управляющее воздействие, характерными для генерирующих устройств. 2. Методы теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина, метод моментов) позволяют ставить и решать задачи оптимального управления техническими и технологическими процессами с ограничениями на управление. Это дает возможность применять методы теории оптимального управления для оптимизации процессов сварки. 3. Моделирование управляющих воздействий в классе кусочно-непрерывных (кусочно-постоянных) функций создает необходимые условия определения оптимального режима сварки концентрированными источниками энергии с ограничениями на энергетические параметры.

About the authors

V. V Melyukov

Vyatka Center of Attestation

A. E Maksimov

Vyatka State University

References

Statistics

Views

Abstract - 67

PDF (Russian) - 29

Refbacks

• There are currently no refbacks.