Full Text

В результате того что при охлаждении деталей скорость охлаждения их внутренних слоев превышает скорость охлаждения наружного слоя, происходит более интенсивное сокращение объема внутренних слоев деталей [1-4]. Это приводит к появлению температурных напряжений, которые могут вызвать разрушение деталей, если величина возникающих напряжений превышает предел прочности материала. Согласно гипотезе Диамеля, если не принимать во внимание инерциальные эффекты, то распределение температурных напряжений является квазистационарным [5-8]. Для конкретности выясним закономерность распределения температуры тел, ограниченных поверхностями в виде параллелепипеда и эллиптического цилиндра, при их охлаждении. Поставленную задачу решим для деталей двух видов: 1) ограниченной параллелепипедом с эллиптическим цилиндрическим отверстием; 2) ограниченной эллиптическим цилиндром с отверстием в виде параллелепипеда. В обоих случаях пусть вертикальная ось симметрии деталей совпадает с осью (ОZ), центр симметрии совпадает с началом координат, а оси (ОХ) и (ОY) направлены вдоль осей эллипса. При этом координатные плоскости (XOY), (YOZ) и (XOZ) деталей делят на восемь одинаковых частей, которые имеют одинаковые закономерности распределения температуры при их совместном охлаждении. Следовательно, для определения закона распределения температуры при охлаждении деталей, представленных на рис. 1, 2, достаточно определить закон распределения температуры для одной восьмой их частей. Рис. 1. Деталь с прямоугольными поверхностями и эллиптическим цилиндрическим отверстием Рис. 2. Деталь с эллиптической поверхностью и прямоугольным отверстием Обозначим через 2b1, 2l1 и 2h соответственно боковые ребра и высоту, а через b2 и l2 соответственно большую и малую полуоси эллиптических цилиндрических поверхностей охлаждаемых деталей; перепад температуры (который зависит от x, y, z и t) - через ΔT. Значение ΔT можно определить как решение уравнения теплопроводности [9-12] (1) при следующих граничных и начальном условиях: (2) DТ(х; у; z; 0) = DТH, (3) где t - время; а - теплопроводность материала; x, y, z - координатные переменные; a - коэффициент теплообмена между охлаждаемым телом и охлаждающей средой, соответственно во внутренней полости, на внешней поверхности и торцах детали. Произведем замену переменных, обозначив (4) Тогда уравнение (1) примет вид (5) При этом для детали на рис. 1 (6) а граничные условия (2) примут вид (7) для детали на рис. 2 (8) а граничные условия (9) Для обеих деталей начальное условие имеет вид (10) Перейдем к безразмерным величинам, обозначив: для детали на рис. 1 (11) для детали на рис. 2 (11) где T0 - температура охлаждаемой среды. При этом задача (5), (7), (9), (10) примет вид (13) для детали на рис. 2 (14) и для обеих деталей (15) Применяя метод разделения переменных [13] и способ решения уравнения Бесселя [14], имеем (16) где Jn(χ) - функция Бесселя первого рода. Перейдя к координатным переменным [15] и обозначив получим для детали на рис. 1 (17) где Yn(χ) - функция Бесселя второго рода порядка n [14] и (18) для детали на рис. 2 (19) где (20) Следовательно, при охлаждении рассматриваемых деталей распределение температуры на их поверхностях охлаждения определяется следующим образом: 1. Для детали на рис. 1 l2 < b2 < l1 < b1. Из выражений (17) и (18) следует: а) на поверхности z = h (21) (22) б) на поверхности (23) где (24) в) на поверхности х = b1 (25) г) на поверхности у = l1 (26) где (на поверхностях х = b1 и у = l1) постоянные A и B определяются с помощью выражений (22). 2. Для детали на рис. 2 l1 < b1 < l2 < b2 . Из формул (19) и (20) следует: a) на поверхности z = h (27) (28) б) на поверхности (29) где (30) в) на поверхности х = b1 (31) г) на поверхности у = l1 (32) где в обоих случаях (33) Таким образом: 1. Из выражений (17) и (19) следует, что при охлаждении деталей, представленных на рис. 1, 2, уменьшение температуры их тел происходит по концентрическим сферическим поверхностям с центрами в точках, являющихся центрами симметрии этих деталей. 2. Формулы (21) и (27) показывают, что на плоских поверхностях (на торцах) обеих деталей уменьшение температуры тел происходит по концентрическим окружностям (с центрами, совпадающими с центрами симметрии этих поверхностей) с уменьшением их радиусов. 3. Из выражений (23) и (29) следует, что на эллиптических поверхностях (будь это на внутренней (см. рис. 1) либо внешней поверхности (см. рис. 2)) уменьшение температуры происходит по линиям пересечения концентрических сфер и эллиптических цилиндрических поверхностей (с единым центром симметрии каждого из тел) по мере уменьшения радиусов сфер. 4. Как следует из формул (25), (26) на внешних боковых поверхностях призмы (см. рис. 1) и (31), (32) на внутренних боковых поверхностях призмы (см. рис. 2), уменьшение температуры происходит по концентрическим окружностям с центрами, совпадающими с центром симметрии поверхности, по мере увеличения радиусов окружности. В качестве численного примера изучен процесс охлаждения детали из термореактивного материала марки К-18-2. Результаты расчета на базе алгоритмов (21), (23), (25)-(27), (29), (31) и (32) позволяют сделать следующие выводы: 1. При охлаждении деталей, ограниченных поверхностями в виде параллелепипеда с эллиптически цилиндрическим отверстием и эллиптической поверхностью с прямоугольным отверстием в виде параллелепипеда, уменьшение температуры происходит по концентрическим сферическим поверхностям с центрами в центре симметрии этих тел по мере увеличения этих радиусов. 2. На плоских поверхностях деталей обоих видов уменьшение температуры тел происходит по концентрическим окружностям (с центрами, совпадающими с центрами симметрии этих поверхностей) с увеличением их радиусов. 3. На эллиптических поверхностях (на внутренней либо на внешней) уменьшение температуры происходит по линиям пересечения концентрических сфер с эллиптическими цилиндрическими поверхностями (с едиными центрами симметрии каждого из тел) по мере увеличения радиусов сфер. 4. В любой момент времени (в период охлаждения деталей) наибольшая температура сохраняется в середине цилиндрического отверстия (эллиптической формы либо в виде параллелепипеда), в точках пересечения с окружностью наименьшего радиуса. 5. Максимальная температура на внешней поверхности с большей площадью больше, чем на остальных поверхностях.

About the authors

S. R Rasulov

Azerbaijan State Oil and Industry University

Email: rasulovsakit@gmail.com

V. A Ibragimov

Azerbaijan State Oil and Industry University

J. A Karimov

Azerbaijan State Oil and Industry University

References

Statistics

Views

Abstract - 54

PDF (Russian) - 25

Refbacks

• There are currently no refbacks.