Full Text

Требования Болонского процесса в национальных втузах приводят к системному дефициту аудиторного времени. Использование проприетарного коммерческого программного обеспечения (ПО) осложнено недостаточным финансированием. На сегодняшний день актуальным становится применение открытых программных продуктов. Функциональные возможности GNU Free and Open Source Software (FOSS) мало чем уступают достаточно дорогому коммерческому ПО [1]. Вышеизложенные тенденции обусловливают актуальность внедрения FOSS в учебный процесс, особенно на этапе численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ в форме задачи Коши. Одним из первых применений ОДУ является решение второй или обратной задачи динамики в курсе классической механики втуза. При изучении курса теоретической механики студентами выполняются курсовые работы по сборникам заданий [2]–[3]. Задача о динамике относительного движения точки в [2] поставлена в рамках рассмотрения моделей с одной степенью свободы. Это приводит к тому, что в сборнике [2] даламберова сила инерции от кориолисова ускорения влияет только на величину бокового давления и, в ряде случаев, на силу сухого трения при взаимодействии материальной точки со стенками канала. Повышение эффективности преподавания вопросов динамики относительного движения приводит к необходимости рассмотрения со студенческой аудиторией как минимум трехмерных задач, в которых одна степень свободы отвечает за переносное движение, а относительное движение имеет две степени свободы. По сравнению с одномерными моделями это приводит к изменению вида относительной траектории, частоты, амплитуды и периода дополнительных высокочастотных колебаний относительного и абсолютного движений сферического маятника. В работах А.В. Перига и др. [4] и А.Н. Стадника и др. [5] были получены линеаризованные ОДУ относительных колебаний сферического маятника, прикрепленного к стреле крана, которая вращается с постоянной угловой скоростью переносного движения. И.В. Новожилов и др. [3] при исследовании относительного движения материальной точки по лопатке турбомашины получили и численно интегрировали аналогичные ОДУ, структура и вид которых определяются переносной силой инерции и силой инерции от кориолисова ускорения. М.А. Павловский [6] при изложении устойчивости гироскопического маятника привел и исследовал на устойчивость ОДУ гиромаятника той же структуры. Целью настоящей работы является нахождение способа доступного изложения для студентов младших курсов втузов достаточно сложных вопросов динамики относительного движения механических систем с тремя степенями свободы без углубления в тонкости теоретической механики и теории дифференциальных уравнений в рамках применения FOSS (рис. 1–4, Scilab-код, решающий систему (1)–(3)). В [4, 5] показано, что в линеаризованной постановке относительное раскачивание груза при равномерном повороте стрелы крана на тросе постоянной длины может быть описано следующей системой ОДУ: (1) где – относительные координаты раскачивающегося груза по отношению к вращающейся стреле крана; – компоненты относительной скорости груза; – компоненты относительного ускорения груза; – постоянная переносная угловая скорость вращения стрелы; g – ускорение свободного падения; l – фиксированная длина троса. Достаточно простая структура системы ОДУ (1) позволяет широко использовать ее в учебном процессе втуза для иллюстрации промышленно важных задач динамики относительного движения. Из физических соображений задача Коши для системы ОДУ (1) может быть поставлена для следующих начальных условий: (2) где R – фиксированная длина вылета стрелы крана; – динамическое отклонение раскачивающегося груза от положения статического равновесия при равномерном вращении крана. Абсолютная траектория раскачивающегося груза при равномерном повороте стрелы крана может быть получена после решения системы (1)–(2) посредством применения следующих формул перехода: (3) где – угол переносного поворота стрелы крана, Рис. 1. Общий вид виртуальной аналоговой цепи, решающей систему (1)–(3) Рис. 2. Подсистема I рис. 1 для расчета относительных координат груза из системы (1)–(3) Рис. 3. Виртуальная аналоговая цепь, моделирующая первое уравнение системы (3) для нахождения абсолютной координаты груза x2 Рис. 4. Виртуальная аналоговая цепь, моделирующая второе уравнение системы (3) для нахождения абсолютной координаты груза y2 В рамках проведения практических занятий проиллюстрируем студентам численное решение задачи Коши (1)–(3) для следующих значений параметров системы: R = 0,492 м; g = 9,813 м/с2; l = 0,206 м; ωe = 0,449 рад/с; ydyn = 0,002 09 м. В качестве расчетного инструмента воспользуемся как возможностями открытого ПО Scilab – Xcos, так и командным языком среды ПО Scilab. Виртуальная аналоговая схема Scilab – Xcos, моделирующая задачу Коши (1)–(3), представлена на рис. 1–4. Пример Scilab-скрипта, решающего задачу Коши (1)–(3), приведен ниже: function dy=syst(t, y, omega, g1, l) dy=zeros(4,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(omega^2-g1/l)*y(1)+2*omega*y(4); dy(3)=y(4); dy(4)=(omega^2-g1/l)*y(3)-2*omega*y(2); endfunction function ad_y=ab_syst(t, fi, x, y, R, y_din) ad_y=zeros(2,size(t, "c")); for i=1:size(t, "c") ad_y(1,i) = (R + y_din + y(1,i))*cos(fi(1,i)) + x(1,i) * sin(fi(1,i)); ad_y(2,i) = (R + y_din + y(1,i))*sin(fi(1,i)) - x(1,i) * cos(fi(1,i)); end endfunction background = [1,1,1]; omega=0.449; g1=9.81; l = 0.206; R=0.492; y_din=0.00182; x0=[0;omega*R;-y_din;0]; t0=0; t=0:0.01:14; fi=t*omega; y_exit=ode("rk", x0,t0,t,list(syst, omega, g1, l)); axis_y = y_exit(1,:); axis_x = y_exit(3,:); ab_syst_exit = ab_syst(t, fi, axis_x, axis_y, R, y_din); plot(axis_y, axis_x, '-k'); set(gca(),"grid",[1 1]); p = get("hdl"); p.children.thickness = 3; set(gca(),"data_bounds",matrix([-0.04,0.04,-0.04,0.04],2,-1)); figure("BackgroundColor", background); plot(ab_syst_exit(1,:), ab_syst_exit(2,:), '--k'); set(gca(),"grid",[1 1]); p = get("hdl"); p.children.thickness = 3; set(gca(),"data_bounds",matrix([-0.6,0.6,-0.6,0.6],2,-1)); На аналоговой схеме на рис. 1–4 были использованы следующие элементы: 1 – обозначение блоков задания постоянных коэффициентов we, l, R; и ydyn в системах (1)–(3); 2 – блок задания линейно нарастающего сигнала для угла поворота стрелы je = wet, пропорциональный времени интегрирования t; 3 – модель знака умножения в системе; 4 – блоки вывода относительной и абсолютной траекторий груза; 5 – блоки для построения зависимостей координат от времени, 6 – блок вывода управляющего дискретного времени. Также в данной модели присутствуют блоки I, II, III, которые являются подсистемами. Подсистема I реализует аналоговую модель системы ОДУ (1), подсистема II реализует первое уравнение системы (3), подсистема III – второе уравнение системы (3). Вид аналоговой цепи подсистемы I изображен на рис. 2. Виды аналоговых цепей подсистем II и III изображены на рис. 3, 4. Как в результате выполнения моделирования виртуальной аналоговой цепи на рис. 1–4 в системе Scilab – Xcos, так и в результате исполнения Scilab-скрипта в табл. 1 были получены графические окна (рис. 5, 6). На рис. 5 приведена траектория движения груза по отношению к вращающейся стреле, а на рис. 6 показана абсолютная траектория раскачивающегося груза (по отношению к связанной с Землей системе отсчета). Рис. 5. Относительная траектория раскачивания груза В рамках предложенной на рис. 1–6 Scilab-методики изложения не обязательно строить аналитическое решение задачи Коши (1)–(3). Отпадает необходимость в записи характеристического уравнения системы (1), определения его корней, т.е. собственных частот колебаний, определения собственных векторов и форм колебаний. Таким образом, изложение материала по механике становится доступным для широкой студенческой аудитории с различным уровнем математической подготовки. Рис. 6. Абсолютная траектория раскачивания груза В то же время на основании анализа рис. 5, 6 достаточно строго студенты могут определить величины размахов колебательного процесса, амплитуды, частоты и периоды относительных и абсолютных колебаний. Таким образом, изложение вопросов динамики для студентов втузов неразрывно связано с необходимостью моделирования технологических процессов с применением ОДУ. В условиях недостатка учебного времени на глубокое исследование указанных вопросов и при возрастающих требованиях к сложности решаемых учебных задач в программе подготовки будущих инженеров с использованием современных компьютерных технологий возникает необходимость пересмотра методики изложения общетехнических и профильных дисциплин. Недостаточное целевое финансирование на приобретение коммерческого ПО для втузов требует дополнительного пересмотра соответствующих учебных программ с целью их адаптации к существующему открытому бесплатному ПО. В рамках удовлетворения всех вышеперечисленных учебно-методических и организационно-методических требований возникает необходимость пересмотра методики преподавания на дневном и заочном отделениях втуза. На примере имитационного моделирования колебания сферического маятника с подвижной точкой закрепления была решена учебная задача с двумя степенями свободы для относительного раскачивания груза при равномерном повороте стрелы крана. Избегая громоздких математических выкладок, в рамках применения свободного ПО Scilab-XCos и Scilab получили графики изменения относительных и абсолютных координат груза как функций времени, а также построили соответствующие траектории, что позволяет существенно расширить представления студенческой аудитории о динамике относительного движения сложных механических систем.

About the authors

Aleksandr Viktorovich Perig

Email: olexander.perig@gmail.com

Evgeniy Andreevich Churilov

Email: jedi8373@yandex.ru

Aleksandr Nikolaevich Stadnik

Email: anstadnik54@mail.ru

Aleksandr Anatol'evich Kostikov

Email: al_kost_63@mail.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 49

PDF (Russian) - 30

Refbacks

• There are currently no refbacks.