Abstract

Abstract

In this work the mathematical description of the electrode-tool vibration in the EDM is presented.

Full Text

Задачей настоящего исследования является разработка математических моделей для расчета прогибов проволоки-электрода в процессе обработки детали на проволочно-вырезном электроэрозионном оборудовании. Одним из существенных недостатков процесса электроэрозионной обработки (ЭЭО) является вибрация электрода-инструмента (ЭИ) в процессе резки. Данный недостаток сказывается на технологических параметрах электроэрозионного формообразования. Снижение влияния вибрации ЭИ на точность обработки является одной из основных задач в области развития ЭЭО. Деформация ЭИ оказывает влияние на точность обработки в случае, когда он обладает малой жесткостью. Это в основном относится к операциям электроэрозионного вырезания (ЭЭВ). При ЭЭВ в качестве инструмента используется проволока диаметром 0,25–0,03 мм. Под воздействием силы, возникающей в межэлектродном зазоре при пробое, проволока прогибается на некоторую величину, в результате прогиба электрода-инструмента возникают погрешности обработки. В нашей работе ЭИ рассматривается как металлическая струна, закрепленная на концах. Под струной в математической физике понимают гибкую упругую нить. Пусть струна натянута и закреплена на отрезке [0, l] оси ОХ. Если усилием струну отклонить и придать ее точкам некоторую скорость, а затем отпустить, то точки струны будут совершать колебания. При малых отклонениях струны от начального положения можно полагать, что точки струны движутся перпендикулярно оси ОХ и в одной плоскости, а функция, описывающая процесс колебаний, имеет вид u = u(x; t). Рассмотрим элемент струны ММ1 (рисунок). На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью ОХ углы φ и φ+∆j. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ1, Рис. Профиль колебаний струны В силу малости φ и c точностью до O можно записать Для получения уравнения движения необходимо внешние силы, приложенные к элементу, приравнять к силе инерции. Если ρ – линейная плотность струны, то масса струны – ρ Cледовательно, Обозначая получаем уравнение свободных колебаний струны Если колебания вынужденные, то равнодействующая внешних сил, приложенных к участку струны ММ1 в момент времени t будет определяться как Уравнение вынужденных колебаний струны где форма записи зависит от участка, на котором действует данная сила, и от закона распределения данной нагрузки. Для приближения расчета к реальным условиям процесса ЭЭО необходимо рассмотреть колебания струны с учетом сопротивления окружающей среды. Силу сопротивления, возникающую при этом, примем пропорциональной скорости. Тогда на бесконечно малый участок струны M1M2 действует сила где a – коэффициент пропорциональности. Сила сопротивления всегда направлена против движения, следовательно, где Ограничиваясь случаем свободных колебаний, запишем уравнение в виде (1) При начальных условиях (2) при граничных условиях (3) Решение уравнения (1) с условиями (2), (3) будем производить методом Фурье: (4) отсюда получаем Поскольку краевые условия для функций X(х) остались такими же, как и для случая колебаний без сопротивления, то равенство (4) будет возможно, если обе его части равны где – собственные числа (k = 1, 2, ...); при этом собственные функции Xk(x) определяются по формуле Xk(x) = . Для определения функций Tk(t) получим дифференциальное уравнение Характеристическое уравнение имеет вид Корни уравнения Предположим, что коэффициент трения m настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значений k. Данное условие будет выполняться тогда, когда Вводя обозначения, получим следовательно, общее решение уравнения (1) будет иметь вид (5) где коэффициенты находятся следующим образом: Таким образом, решение уравнения (5) позволит определить деформацию ЭИ в процессе ЭЭО с учетом сопротивления окружающей среды.