Full Text

Введение Современные кинетические модели эпидемий, в том числе COVID-19, позволяют описать различные аспекты развития эпидемии в основном за счет расширения и детализации структуры исследуемого контингента людей, среди которых происходит распространение инфекции. Создание удачной эвристико-математической модели это, как правило, задача минимакса. С одной стороны, модель должна быть максимально адекватной реальности, что обычно достигается за счет расширения размерности пространства состояний системы (количества групп контингента: здоровые, больные, иммунизированные, выздоровевшие и т.д.). Математически это выражается в увеличении количества кинетических уравнений, что создает проблему «проклятие размерности». С другой стороны, огрубление модели за счет уменьшения (минимизации) числа значимых переменных состояния не может проводиться произвольно, а должно опираться на законы теории грубости, такие как топологическая грубость [1], структурная устойчивость [11, 13]. Существующие модели эпидемий описывают естественный ход событий, что даже на уровне простейших моделей позволяет учесть некоторые явления, присущие естественному развитию эпидемий [8, 9]. Практика COVID-19 показала, что в современных условиях происходят различного рода вмешательства в процесс, причем воздействия эти носят не только медицинский характер, но и социальный, административно-политический, экономический. Таким образом, создание адекватной модели распространения инфекции должно предполагать привлечение моделей социодинамики, экономики, управления, наблюдения, идентификации. Это можно сопоставить с проблемой создания погодно-климатических моделей, в которых учитывается «эффект бабочки». Однако, как показала практика, точность прогнозов на основании таких моделей не соответствует затраченным усилиям. Поэтому согласно теории грубости в качестве базовой модели выбирают какую-либо модель, отражающую основные свойства реальной системы и имеющую по крайней мере качественное сходство с реальной. На этой стадии моделирование носит эвристический характер [4, 10], базируясь на квалификации специалистов, на данных наблюдений. Моделирование системы с учетом антропогенных факторов включает в себя модели наблюдения, идентификации и управления. Практика борьбы с COVID-19 показала важность учета тестирования при создании математической модели, поэтому рассмотрим прежде всего, как влияет учет наблюдений на качество создаваемой модели. Из опыта борьбы с распространением инфекции короновируса следует, что точное определение в контингенте различных групп людей, т.е. квалификация их состояния, содержит во многих случаях элемент неопределенности и, таким образом, задачи тестирования, идентификации, принятия решений, управления решаются в условиях неполной информации, что требует реализации известных детерминированных моделей [5, 6]. Введение модели наблюдений требует учитывать тот факт, что во всех реальных системах (системах с неполной информацией) любые наблюдения, измерения состояния содержат ошибки, которые имеют случайный характер. Это должно быть отражено в модели. Отметим модель [5, 6], которая описывает кинетику инфицирования и в принципе содержит SIR (susceptible infections recovered)-модель эпидемии. Расширение в SIR-моделях за счет тестирования Математическая SIR-модель инфекционного процесса для фиксированного контингента людей представляет собой систему дифференции уравнений, описывающих кинетику взаимодействующих агентов типа последовательных химических реакций. Пусть контингент состоит из здоровых людей, в который в момент времени попадает один инфицированный человек. В дальнейшем количество инфицированных равно I или . В момент времени , (1) где S(t) - число людей в контингенте, которые могут быть инфицированы, т.е. перейти в группу I(t); R(t) - число людей, перешедших из группы I(t) в группу R(t) - выздоровевших. С точки зрения кинетики целесообразно перейти от функции S(t), I(t), R(t) к , , , для которых имеют место уравнения [10] (2) Система уравнений (2) нелинейная. Введя вектор состояния (3) запишем уравнения (2) в виде , (4) Учтем, что в системе (4) ведется мониторинг, т.е. берутся выборки (тесты). В общем случае не все компоненты вектора могут быть измерены непосредственно, некоторые только опосредованно. Обозначим вектор измеряемых величин , который в общем случае связан с зависимостью , m £ n. (5) Рассмотрим для наглядности и общности уравнения (4) в линеаризированном виде. Линеаризацию проведем в окрестности стационарного состояния, которое находится из уравнений (6) Из (6) получаем последовательно (7) . (8) Модель наблюдения имеет вид (9) где А, С - матрицы. Согласно теории оценивания состояний систем с числом переменных состояния, превосходящих число величин, доступных непосредственному измерению (тестированию), кинетика распространения инфекции может быть описана системой уравнений Калмана-Бьюси, имеющих вид [12] , (10) где - оценка переменной состояния ; А - матрица системы; G - матрица (в частности, вектор, скаляр) такая, что матрица А - GC является устойчивой [12]. Погрешность оценки для обозначим как . Имеет место уравнение для погрешности . (11) Для рассматриваемой SIR-модели (2) система имеет вид (12) , , Так как в рассматриваемом примере , для , то для погрешности оценки и оценки в уравнениях (9), (10) положим А = 0, тогда получим (13) Соответственно, для получим в векторно-матричном виде выражение , (14) Формулы (13) и (14) показывают, что если в начальный момент t = 0 тестирование дало ошибку , то оценка дальнейших состояний при t > 0 также будет содержать ошибку , , которая со временем убывает. На протяжении некоторого времени 0 < t может иметь место псевдоэпидемический эффект, обусловленный ошибкой измерений, а не биологическими, медицинскими причинами. Этот эффект далее рассмотрим для статистической модели. Вероятностное обобщение SIR-модели (рандомизация) Преобразуем уравнение (1) детерминированной SIR-модели [7] в стохастические дифференциальные уравнения, добавив в правую часть вектор ошибок, описываемых случайными функциями nk [12] типа белого шума: (15) Система (15) является частным случаем системы кинетических уравнений, обобщающих систему (2). . (16) Модель наблюдения (4) обобщается на стохастические системы (17) где - вектор ошибок измерения (тестирования). Обозначим апостериорную плотность вероятности вектора состояния через (18) где - вектор наблюдений (тестирования) на интервале [t0, t]. Как известно, математическая модель (16), (17) описывает функцию марковского типа, для которой удовлетворяет уравнениям типа ФПК (Фоккера-Планка-Колмогорова) [6]. Обозначим вектор оценки состояния, который минимизирует средневозрастную квадратичную ошибку оценивания: (19) Обозначим ковариационную матрицу процесса (20) Очевидно, матрица характеризует среднеквадратическую погрешность оценивания процесса с помощью оценки Согласно теории оценивания [6], для и на основе уравнений для апостериорных плотностей вероятностей ФПК получается уравнение вида , (21) где - матрица Якоби с элементами . (22) Замкнутая связанная система уравнений (21), (22) в принципе позволяет получать точные или численные решения задач оценивания для стохастических моделей эпидемий с тестированиями. В общем случае системы нелинейные, что значительно усложняет получение решений, особенно в аналитическом виде, поэтому имеет значение получение аналитических решений в конкретных интересных случаях. Как известно, сокращение числа степеней свободы в системе может вести к ее самоорганизации [12]. Например, в модели Лотки-Вольтерры [3] скорость инфицирования сначала растет, а затем по достижении некоторого значения начинает убывать, что имеет место в реальности. Поэтому положим, что скорость выздоровления dr/dt значительно меньше, чем скорость инфицирования, тогда можно в (2) положить dr/dt » 0, откуда следует γ = 0 и SIR-модель преобразуется в SI-модель [6], уравнения которой для стохастической модели с измерениями запишем в виде (23) (24) Преобразуем уравнение (23) с учетом к виду (25) Уравнения (24), (25) являются математической основой для получения оценок состояния процесса инфицирования и его прогнозирования, обобщающих модель Лотки-Вольтерры. Эталонные задачи оценивания для начала процесса инфицирования Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени в некоторый изолированный контингент N людей попадает один инфицированный человек, причем в системе постоянно ведутся измерения (выборки), которые в реальности всегда содержат неопределенность, т.е. случайную ошибку. В частности, положим, дисперсия ошибки при t = 0 равна 10. Уравнения (21), (23) в данном случае имеют вид (26) (27) Решение системы (26), (27) начинаем в обратном порядке. Решение уравнения (27) имеет вид (28) Уравнение (26) типа Риккати преобразуем к линейному с помощью замены [2]: (29) Тогда уравнение для u(t) имеет вид (30) где Решение (30) имеет вид [3] (31) Уточним модель наблюдения, приняв для простоты, что вначале наблюдения дают линейный рост во времени числа инфицированных. Это допустимо в начале процесса инфицирования. (32) Тогда для оценки плотности (числа) инфицированных получим оценку (33) где - интегральная показательная функция [12]. Рассмотрим модель псевдоэпидемии. Положим, что в начальный момент в изолированный контингент попадает один инфицированный человек, но система остается в стационарном состоянии: Положим, что в системе проводятся замеры, которые могут содержать случайные ошибки, дисперсия которых при t = 0 равна 10 (большая). Математическая модель инфицирования в этом случае описывается уравнениями (34) (35) Уравнения для оценки и погрешности оценивания в рассматриваемом случае получаем из (26), (27). Уравнение для в этом случае совпадает с (27), а его решение имеет вид (28). Уравнение (26) для оценки имеет в этом случае вид (36) При линейной зависимости наблюдений от t решение (36) имеет вид (37) Таким образом, ошибка в начальном измерении ведет к возможности появления ошибок при тестированиях при причем ошибка в определении состояния убывает до t » 0,35, а затем растет как парабола. Это псевдоэпидемический рост инфицирования, который описывает влияние ошибочных результатов тестирования (рис. 1). Скорость инфицирования характеризуется величиной Условие экстремума скорости инфицирования дает (рис. 2). При производная > 0, при < 0, следовательно, оценка скорости инфицирования сначала растет, потом убывает, что характерно для естественного течения эпидемии. t 1 0 Рис. 1. Зависимость оценки плотности инфицирования от времени Рис. 2. Зависимость скорости инфицирования от времени В фазовой плоскости имеем уравнение фазовых траекторий которые изображены на рис. 3. Рис. 3. Фазовые траектории при Заключение 1. Модель SIR естественного распространения инфекции в изолированном контингенте обобщена с учетом результатов наблюдений (выборок). 2. Учет факта, что распространение инфекции происходит в условиях неполной информации, реализуется за счет преобразования детерминированной SIR-модели в стохастическую. 3. Для оценок и ошибки оценивания используются уравнения теории оценивания Калмана-Бьюси, на основе которой рассмотрено получение аналитических решений и их погрешности в эталонных задачах. 4. Рассмотрена модель псевдоэпидемии, которая может быть получена при ошибках измерений в начале эпидемии.

About the authors

A. V Chigarev

V. A Chigarev

I. E Azeriho

References

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 30

Refbacks

• There are currently no refbacks.