DISTRIBUTED CONTROL IN STABILIZATION OF A MODEL OF INFECTION DISEASES

Abstract


In this paper, we consider a model of infection diseases built by G.I. Marchuk in the form of system of ordinary differential equations. A distributed feedback control is added to achieve a stabilization in the neighborhood of a suitable stationary solution in the case where other methods do not work. An idea of a reduction of integro-differential systems to ones of ordinary differential equations is proposed. We study the exponential stability of a stationary point of the integrodifferential system.

Full Text

Введение Стабилизация систем дистрибутивным управлением с обратной связью является одной из важных проблем в приложениях, хотя этому было посвящено сравнительно небольшое количество работ (см., например, [2]). Математические модели содержащие дистрибутивное управление с обратной связью, обычно представляют собой интегродифференциальные системы следующего вида: (1) Попробуем объяснить, откуда возникли трудности в изучении этих систем. Традиционный подход к анализу их устойчивости состоит в изучении асимптотических свойств той части системы, которая представлена в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. (2) Добившись экспоненциальной устойчивости (2), а также оценив стремление к нулю решения , начинают анализировать устойчивость (1). В рамках этого подхода были получены следующие результаты: если система (2) экспоненциально устойчива и имеет соответствующий «запас» устойчивости, а норма интегрального члена достаточно мала, то система (1) экспоненциально устойчива. Применительно к стабилизации с дистрибутивным управлением этот подход оказался бесполезен, поскольку интересен именно случай, когда система (2) неустойчива, и добавление управления в интегральной форме (т.е. ) привело бы нас к устойчивости системы (1). Понятно, что при стабилизации с помощью дистрибутивного управления с обратной связью интегральный член должен, наоборот, быть достаточно большим и «забить» собой неустойчивость системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы предлагаем здесь простой метод анализа, основанный на сведении интегродифференциальных систем к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Идея такого подхода была впервые сформулирована в [4], а затем развита в [1]. В данной статье рассматривается модель для анализа процессов, возникающих при лечении инфекционных заболеваний. Мы сконцентрируем наше внимание на анализе математической модели инфекционных заболеваний, предложенной Г.И. Марчуком [6]. Отметим, что модель отражает основные закономерности функционирования иммунной системы при инфекционных заболеваниях. Эта модель также изучена в недавней работе [12]. Похожая модель рассмотрена в [7, 8], где она использована при анализе противоопухолевого иммунитета. Добавление управления в модель, упомянутую в работе [6], предложено в [3, 10, 11], где объясняется возможность и эффективность появления этого управления. Мы предлагаем дистрибутивный контроль с обратной связью в виде интегрального члена. Наша задача изучить экспоненциальную устойчивость стационарного режима этой системы. С медицинской точки зрения наши результаты можно интерпретировать следующим образом: поддерживая иммунную систему, мы трансформируем состояние организма при инфекционном заболевании в некое стабильное состояние «здорового» организма, и только после достижения этого стабильного состояния мы прекращаем использование соответствующего лекарства, позволяющего удерживать концентрацию антител на более высоком уровне, чем в обычном здоровом организме. Математическая модель Рассмотрим модель инфекционных заболеваний, предложенную Г.И. Марчуком в [6]: (3) со следующими начальными условиями: (4) Здесь β - коэффициент, характеризующий активность антигена; γ - коэффициент, связанный с вероятностью нейтрализации антигена антителами при встрече с ним; - коэффициент, обратно пропорциональный времени распада антител; - коэффициент, обратно пропорциональный времени восстановления органа; - коэффициент сокращения клеток плазмы вследствие старения (обратно пропорциональный времени жизни); - постоянная, соответствующая конкретному заболеванию; - скорость выработки антител одной плазматической клеткой; - скорость концентрации антигена; - концентрация плазматических клеток; - скорость концентрации антител; и - концентрация плазмы и антител соответственно; - относительная характеристика поражения органа-мишени. Предполагается, что в течение определенного периода времени плазма восстанавливается в результате взаимодействия антигена и антитела с клетками. В произведение включены следующие множители: - коэффициент стимуляции иммунной системы. Функция учитывает разрушение нормального функционирования иммунной системы и задана следующим образом: , где - максимальная доля клеток, уничтоженная антигенами, при которой нормальное функционирование иммунной системы еще возможно. Таким образом, - непрерывная функция, характеризующая здоровье органа, которая зависит от относительных характеристик организма m. Она не отрицательная и не возрастающая. Функцию можно описать следующим образом: , где - характеристика здорового органа (масса или площадь), а - соответствующая характеристика здоровой части пораженного органа. Остановимся подробнее на каждом уравнении в модели (3). Первое уравнение представляет собой блок вирусной динамики. Оно описывает изменение концентрации антигенов и включает в себя количество антигена в крови. Концентрация антигена уменьшается в результате взаимодействия с антителами. Иммунный процесс характеризуется антителами, концентрация которых описывается следующим уравнением: Значение уменьшается в результате взаимодействия и взаимного разрушения с антигенами. Количество клеток антител также уменьшается в результате естественного разрушения. Однако плазма восстанавливает антитела, следовательно, состояние плазмы играет важную роль в иммунном процессе. Поэтому изменение концентрации в плазменной ячейке входит в несколько уравнений системы дифференциальных уравнений. Принимая во внимание уровень плазмы в здоровом теле и его естественное старение, элемент включен во второе уравнение системы (3). Второе и третье уравнения представляют блок динамики гуморального иммунного ответа. Относительно последнего уравнения системы (3) можно отметить следующее. Значение m увеличивается со скоростью концентрации антигена Максимальное значение m равно 1 в случае 100% повреждения органа и равно 0 для полностью здорового органа. Коэффициент описывает скорость генерации целевого органа. В работе [10] предложена базовая математическая модель, учитывающая дискретный контроль иммунного ответа. Функция характеризующая скорость введения донорских антител, добавлена в правую часть третьего уравнения. Описание метода и анализ линеаризованной модели в окрестности стационарного решения Мы изучаем линеаризованную модель в окрестности стационарного решения. Модифицируя предыдущие модели, мы предлагаем управление в виде (5) Добавив это управление в третье уравнение, получим следующую систему: (6) где определяется формулой (5). Пусть - значение концентрации антител здорового тела. Случай рассмотрел Г.И. Марчук в работе [6]. Мы пытаемся рассмотреть «худший» случай, когда . Ясно, что в этом случае система не может быть устойчивой в окрестности стационарной точки: После добавления управления в форме (5) и использования метода приведения систем интегродифференциальных уравнений к системам обыкновенных дифференциальных уравнений [1] мы получим следующую систему из пяти уравнений: (7) Будем линеаризовать эту систему в окрестности стационарного решения: (8) где значения и описывают здоровое тело. Обозначим С медицинской точки зрения добавление означает, что контроль стабилизации может быть достигнут в случае использования соответствующего лекарственного средства, позволяющего в течение длительного времени удерживать уровень концентрации антител на более высоком уровне, чем в нормальных условиях здорового организма. В окрестности стационарного решения мы имеем следующее линейное приближение системы (7): (9) где обозначаем Тогда решением первого уравнения является функция где для начальных условий Первое уравнение системы (9) экспоненциально устойчиво, если и только если . Тогда мы получим следующее условие для : Для наших исследований устойчивости мы можем записать оставшуюся часть системы (9) в векторной форме: (10) где Характеристический полином этой системы имеет вид По критерию Рауса-Гурвица система четвертого порядка с характеристическим полиномом (11) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: (12) В нашем случае мы имеем следующие равенства: (13) Все параметры в системе (9) положительны. Понятно, что если и тогда Используя Maple, получили, что также положительное. Теорема Пусть выполняются неравенства , , тогда стационарное решение (8) системы (7) экспоненциально устойчиво.

About the authors

A. Domoshnitsky

M. Bershadsky

I. Volinsky

References

  1. Agarwal R., Bohner M., Domoshnitsky A., Goltser Ya. Floquet theory and stability of nonlinear integro-differential equations // Acta Mathematica Hungarica. - 2005. - Vol. 109, № 4. - P. 305-330.
  2. Bekiaris-Liberis N., Krstic M. Lyapunov stability of linear predictor feedback for distributed input delays // IEEE Trans. Aut.Contr. - 2011. - Vol. 56, № 3. - P. 655-660.
  3. Chirkov M.V. Parameter Identification and control in mathematical models of the immune response. Ph.D Thesis. - Perm, 2014.
  4. Domoshnitsky A. Exponential stability of convolution integro-differential equations // Functional Differential Equations. - 1998. - Vol. 5. - P. 297-307.
  5. Goebel G., Munz U., Allgower F. Stabilization of linear systems with distributed input delay // American Control Conference. - 2010. - P. 5800-5805.
  6. Marchuk G.I. Mathematical modelling of immune response in infection diseases. Mathematics and its applications. - Springer, 1997.
  7. Mazenc F., Niculescu S.I., Bekaik M. Stabilization of time-varying nonlinear systems with distributed input delay by feedback of plant's state // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2013. - Vol. 58, Iss. 1.
  8. Rusakov S.V., Chirkov M.V. Mathematical model of influence of immuno-therapy on dynamics of immune response // Problems of Control. - 2012. - № 6. - P. 45-50.
  9. Rusakov S.V., Chirkov M.V. Identification of parameters and control in mathematical models of immune response // Russian Journal of Biomechanics. - 2014. - Vol. 18, № 2. - P. 259-269.
  10. Skvortsova M. Asymptotic properties of solutions in Marchuk's basic model of disease // Functional Differential Equations. - 2017. - Vol. 24, № 3-4. - P. 127-135.
  11. Martsenyuk V.P., Andrushchak I.Ye., Gvozdetska I.S. Qualitative analysis of the antineoplastic immunity system on the basis of a decision tree // Cybernetics and Systems Analysis. - 2015. - Vol. 51. - P. 461-470.
  12. Martsenyuk V.P. Construction and study of stability of an antitumor immunity model // Cybernetics and Systems Analysis. - 2004. - Vol. 40, № 5.

Statistics

Views

Abstract - 53

PDF (Russian) - 37

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2022 Российский журнал биомеханики

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies