Abstract

Abstract

In this paper, we consider a model of infection diseases built by G.I. Marchuk in the form of system of ordinary differential equations. A distributed feedback control is added to achieve a stabilization in the neighborhood of a suitable stationary solution in the case where other methods do not work. An idea of a reduction of integro-differential systems to ones of ordinary differential equations is proposed. We study the exponential stability of a stationary point of the integrodifferential system.

Full Text

Введение Стабилизация систем дистрибутивным управлением с обратной связью является одной из важных проблем в приложениях, хотя этому было посвящено сравнительно небольшое количество работ (см., например, [2]). Математические модели содержащие дистрибутивное управление с обратной связью, обычно представляют собой интегродифференциальные системы следующего вида: (1) Попробуем объяснить, откуда возникли трудности в изучении этих систем. Традиционный подход к анализу их устойчивости состоит в изучении асимптотических свойств той части системы, которая представлена в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, т.е. (2) Добившись экспоненциальной устойчивости (2), а также оценив стремление к нулю решения , начинают анализировать устойчивость (1). В рамках этого подхода были получены следующие результаты: если система (2) экспоненциально устойчива и имеет соответствующий «запас» устойчивости, а норма интегрального члена достаточно мала, то система (1) экспоненциально устойчива. Применительно к стабилизации с дистрибутивным управлением этот подход оказался бесполезен, поскольку интересен именно случай, когда система (2) неустойчива, и добавление управления в интегральной форме (т.е. ) привело бы нас к устойчивости системы (1). Понятно, что при стабилизации с помощью дистрибутивного управления с обратной связью интегральный член должен, наоборот, быть достаточно большим и «забить» собой неустойчивость системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы предлагаем здесь простой метод анализа, основанный на сведении интегродифференциальных систем к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Идея такого подхода была впервые сформулирована в [4], а затем развита в [1]. В данной статье рассматривается модель для анализа процессов, возникающих при лечении инфекционных заболеваний. Мы сконцентрируем наше внимание на анализе математической модели инфекционных заболеваний, предложенной Г.И. Марчуком [6]. Отметим, что модель отражает основные закономерности функционирования иммунной системы при инфекционных заболеваниях. Эта модель также изучена в недавней работе [12]. Похожая модель рассмотрена в [7, 8], где она использована при анализе противоопухолевого иммунитета. Добавление управления в модель, упомянутую в работе [6], предложено в [3, 10, 11], где объясняется возможность и эффективность появления этого управления. Мы предлагаем дистрибутивный контроль с обратной связью в виде интегрального члена. Наша задача изучить экспоненциальную устойчивость стационарного режима этой системы. С медицинской точки зрения наши результаты можно интерпретировать следующим образом: поддерживая иммунную систему, мы трансформируем состояние организма при инфекционном заболевании в некое стабильное состояние «здорового» организма, и только после достижения этого стабильного состояния мы прекращаем использование соответствующего лекарства, позволяющего удерживать концентрацию антител на более высоком уровне, чем в обычном здоровом организме. Математическая модель Рассмотрим модель инфекционных заболеваний, предложенную Г.И. Марчуком в [6]: (3) со следующими начальными условиями: (4) Здесь β - коэффициент, характеризующий активность антигена; γ - коэффициент, связанный с вероятностью нейтрализации антигена антителами при встрече с ним; - коэффициент, обратно пропорциональный времени распада антител; - коэффициент, обратно пропорциональный времени восстановления органа; - коэффициент сокращения клеток плазмы вследствие старения (обратно пропорциональный времени жизни); - постоянная, соответствующая конкретному заболеванию; - скорость выработки антител одной плазматической клеткой; - скорость концентрации антигена; - концентрация плазматических клеток; - скорость концентрации антител; и - концентрация плазмы и антител соответственно; - относительная характеристика поражения органа-мишени. Предполагается, что в течение определенного периода времени плазма восстанавливается в результате взаимодействия антигена и антитела с клетками. В произведение включены следующие множители: - коэффициент стимуляции иммунной системы. Функция учитывает разрушение нормального функционирования иммунной системы и задана следующим образом: , где - максимальная доля клеток, уничтоженная антигенами, при которой нормальное функционирование иммунной системы еще возможно. Таким образом, - непрерывная функция, характеризующая здоровье органа, которая зависит от относительных характеристик организма m. Она не отрицательная и не возрастающая. Функцию можно описать следующим образом: , где - характеристика здорового органа (масса или площадь), а - соответствующая характеристика здоровой части пораженного органа. Остановимся подробнее на каждом уравнении в модели (3). Первое уравнение представляет собой блок вирусной динамики. Оно описывает изменение концентрации антигенов и включает в себя количество антигена в крови. Концентрация антигена уменьшается в результате взаимодействия с антителами. Иммунный процесс характеризуется антителами, концентрация которых описывается следующим уравнением: Значение уменьшается в результате взаимодействия и взаимного разрушения с антигенами. Количество клеток антител также уменьшается в результате естественного разрушения. Однако плазма восстанавливает антитела, следовательно, состояние плазмы играет важную роль в иммунном процессе. Поэтому изменение концентрации в плазменной ячейке входит в несколько уравнений системы дифференциальных уравнений. Принимая во внимание уровень плазмы в здоровом теле и его естественное старение, элемент включен во второе уравнение системы (3). Второе и третье уравнения представляют блок динамики гуморального иммунного ответа. Относительно последнего уравнения системы (3) можно отметить следующее. Значение m увеличивается со скоростью концентрации антигена Максимальное значение m равно 1 в случае 100% повреждения органа и равно 0 для полностью здорового органа. Коэффициент описывает скорость генерации целевого органа. В работе [10] предложена базовая математическая модель, учитывающая дискретный контроль иммунного ответа. Функция характеризующая скорость введения донорских антител, добавлена в правую часть третьего уравнения. Описание метода и анализ линеаризованной модели в окрестности стационарного решения Мы изучаем линеаризованную модель в окрестности стационарного решения. Модифицируя предыдущие модели, мы предлагаем управление в виде (5) Добавив это управление в третье уравнение, получим следующую систему: (6) где определяется формулой (5). Пусть - значение концентрации антител здорового тела. Случай рассмотрел Г.И. Марчук в работе [6]. Мы пытаемся рассмотреть «худший» случай, когда . Ясно, что в этом случае система не может быть устойчивой в окрестности стационарной точки: После добавления управления в форме (5) и использования метода приведения систем интегродифференциальных уравнений к системам обыкновенных дифференциальных уравнений [1] мы получим следующую систему из пяти уравнений: (7) Будем линеаризовать эту систему в окрестности стационарного решения: (8) где значения и описывают здоровое тело. Обозначим С медицинской точки зрения добавление означает, что контроль стабилизации может быть достигнут в случае использования соответствующего лекарственного средства, позволяющего в течение длительного времени удерживать уровень концентрации антител на более высоком уровне, чем в нормальных условиях здорового организма. В окрестности стационарного решения мы имеем следующее линейное приближение системы (7): (9) где обозначаем Тогда решением первого уравнения является функция где для начальных условий Первое уравнение системы (9) экспоненциально устойчиво, если и только если . Тогда мы получим следующее условие для : Для наших исследований устойчивости мы можем записать оставшуюся часть системы (9) в векторной форме: (10) где Характеристический полином этой системы имеет вид По критерию Рауса-Гурвица система четвертого порядка с характеристическим полиномом (11) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: (12) В нашем случае мы имеем следующие равенства: (13) Все параметры в системе (9) положительны. Понятно, что если и тогда Используя Maple, получили, что также положительное. Теорема Пусть выполняются неравенства , , тогда стационарное решение (8) системы (7) экспоненциально устойчиво.