Full Text

Введение Эффективность управляемого движения тела человека во многом определяется текущим состоянием скелетных мышц. В настоящее время накоплен большой объем экспериментальных данных о биомеханических свойствах мышц и предложены модели для их структурно-функционального анализа. Реализация сократительной функции на микроуровне рассматривается как относительное скольжение актиновых и миозиновых нитей саркомера, обусловленное действием поперечных мостиков [16, 19, 24]. Упрощенный вариант описания данного процесса [3, 14], основанный на гипотезе скользящих нитей, позволяет прогнозировать изменение зависимости текущей длины активированной мышцы, скорости сокращения и генерируемой силы во времени. В результате экспериментальных исследований препаратов мышечных тканей и частично извлеченных мышц [20], а также миометрических измерений в режиме in vivo [1, 17, 18] были определены диапазоны значений механических характеристик мышц в пассивном состоянии. Установлено, что скелетная мышца в пассивном состоянии при продольном удлинении деформируется как нелинейно-вязкоупругий объект, реономные свойства которого можно описать простым экспоненциальным ядром с одним временем релаксации [2]. Ранее авторами была предложена обобщенная модель скелетной мышцы [15], позволяющая по данным миометрии определить комплекс деформационных параметров мышцы, важных для описания процесса активации сократительной функции. Учет биомеханических свойств скелетных мышц в формировании управляемых движений элементов опорно-двигательной системы возможен в рамках «веревочных» шарнирно-стержневых моделей [4, 8], в которых предполагается, что кости скелета являются жесткими массивными стержнями, соединенными в шарнирах (суставах). Скелетные мышцы моделируются нелинейно-вязкоупругими нитями (тягами). Вариант использования подобной модели был представлен в работе [15]. Вместе с тем для корректного описания работы активной тяги обобщенная модель скелетной мышцы нуждается в модификации, поскольку активная тяга является комбинированным объектом, образованным мышцей и системой соединительных тканей, в том числе сухожилиями. При моделировании процесса активации сухожилие можно считать нелинейно-вязкоупругим элементом, последовательно соединенным с мышцей. В ранее предложенной модели скелетной мышцы [17] этот элемент не учитывался. Отмеченная ограниченность модели существенно снижала точность расчетных оценок и не позволила сопоставить результаты моделирования с известными из литературных источников [6, 13] данными фотометрических исследований управляемых движений. В некоторых известных моделях скелетных мышц [9, 14] присутствуют упругие и вязкие элементы, которые могут быть поставлены в соответствие сухожилию, но при этом принимается допущение о линейной связи напряжений и деформаций упругого элемента. Целью настоящей работы является описание движения элемента опорно-двигательной системы в процессе активации скелетной мышцы при комплексном учете вязкости и нелинейности деформирования соединительных тканей. Модель эквивалентной тяги Ранее предложенная модель скелетной мышцы [15] образована тремя элементами (рис. 1, а). Нелинейно-вязкоупругий элемент Н описывает деформирование оболочки мышцы. Нелинейно-упругий элемент Е описывает деформирование актиновых и миозиновых нитей при сокращении мышцы. Сократительный элемент a вводится для формализации актомиозинового взаимодействия. При моделировании эквивалентной тяги, образованной мышцей и соединительными тканями, к трем перечисленным элементам последовательно присоединяется нелинейно вязкоупругий элемент S (рис. 1, б), описывающий деформирование сухожилия. Элемент Н характеризует деформирование мышцы в пассивном состоянии (при выключенном элементе a). Так как пассивная мышца не оказывает существенного влияния на механические свойства сухожилия [20], можно принять, что характеристики элементов S и Н совпадают. Ввиду того что жесткость соединительных тканей на порядок меньше жесткости нитей саркомера [3, 19], при последовательном соединении элементов Н и Е можно пренебречь деформацией последнего. а б Рис. 1. Обобщенная вязкоупругая модель мышцы (а) и модель эквивалентной тяги (б): E - нелинейно-вязкоупругий элемент, характеризующий деформативность актиновых и миозиновых нитей саркомера; H - нелинейно-вязкоупругий элемент, характеризующий деформацию мышцы в пассивном состоянии; S - нелинейно- вязкоупругий элемент, характеризующий деформирование сухожилия; a - сократительный элемент, характеризующий актомиозиновое взаимодействие На рис. 2 показана модель эквивалентной тяги, где вышеуказанные допущения не являются принципиальными и введены для упрощения математической модели. Характеристики элемента H выбираются так, чтобы система из двух указанных элементов, соединенных последовательно, соответствовала деформированию сухожилия совместно с пассивной мышцей. Рис. 2. Упрощенная модель эквивалентной тяги. Обозначения те же, что и на рис. 1 Работа сократительного элемента при максимальном уровне активации описывается системой дифференциальных уравнений [14, 17] (1а) при и (1б) при Здесь s, n, m, p - число пассивных, тянущих, тормозящих и супертянущих поперечных мостиков соответственно, отнесенное к общему числу мостиков на половине длины саркомера a; - временные константы образования и разрыва мостиков; - константа, равная отношению половины длины недеформированного саркомера к расстоянию между положениями равновесия тянущего и тормозящего мостика; - продольная деформация эквивалентной тяги и последовательно соединенного с сократительным вязкоупругим элементом соответственно; - кусочно-линейная функция деформации сократительного элемента (разность между и ), описывающая зависимость числа мостиков a от текущей длины саркомера. (2) Точка над символом в (1) и далее означает производную соответствующей величины по времени. Система уравнений (1) описывает режим активации мышцы, соответствующий гладкому тетанусу [20]. Для анализа других режимов активации скелетной мышцы в первое уравнение системы вводится функция частоты и амплитуды стимулирующих импульсов [12]. В рамках настоящей работы будем рассматривать только тетаническое сокращение, описываемое уравнениями (1) без необходимости введения вышеуказанной функции. Связь осевого напряжения c продольной деформацией для нелинейно- вязкоупругого элемента Н может быть выражена дифференциальным уравнением [17] . (3) Здесь - удельная мышечная сила (отношение максимальной силы, генерируемой мышцей в изометрических условиях, к площади физиологического поперечника); - константы, которые с приемлемой точностью могут быть приняты равными 0,05 и 2,4 соответственно для всех скелетных мышц [5]; - параметр ядра релаксации мышечной ткани ( [17]); - время релаксации мышечной ткани. Для элемента, параллельно соединенного с сократительным, соотношение (3) примет вид (4) где - осевое напряжение в параллельно соединенном вязкоупругом элементе. Для последовательно соединенного элемента получим , (5) где - эффективное осевое напряжение в эквивалентной тяге, определяемое соотношением . (6) Здесь - коэффициент, равный отношению физиологического поперечника мышцы к эффективной площади поперечного сечения эквивалентной тяги; - усилие натяжения в эквивалентной тяге. Уравнения (1), (4)-(6) позволяют установить связь осевого напряжения и продольной деформации эквивалентной тяги при активации мышцы. Для пассивной тяги зависимость совпадает с и определяется уравнением (3). Описание движения элемента опорно-двигательной системы Рассмотрим движение упрощенной двухстержневой модели верхней конечности человека (рис. 3) при активации эквивалентного сгибателя. Стержень 1 модели, имеющий длину и массу , моделирует плечевую кость. Стержень 2 длиной и массой моделирует кости предплечья. Шарнир A относится к плечевому, а шарнир B - локтевому суставу. На конце стержня 2 закреплена точечная масса , соответствующая поднимаемому рукой грузу. Эквивалентная тяга 4, моделирующая двухсуставную мышцу (бицепс), крепится на расстоянии b от шарнира B и к неподвижному шарниру A. Малый стержень длины b перпендикулярен стержню 2 и жестко связан с ним. Этот стержень не имеет собственной массы и моделирует «плечо» бицепса в локтевом суставе [13]. . . .. .. При активации тяги груз 3 будет подниматься. В качестве обобщенных координат системы выберем углы и отклонения стержней 1 и 2 от вертикального положения против хода часовой стрелки. В этих координатах уравнения Лагранжа второго рода [11] для рассматриваемой модели примут вид .. .. (7) Здесь для краткости записи введены обозначения . (8) Текущая длина активной тяги может быть выражена через углы и Для относительного удлинения (продольной деформации) тяги получим . (9) Рис. 3. Двухстержневая модель верхней конечности: стержень 1 моделирует плечевую кость; стержень 2 - кости предплечья; 3 - груз; тяга 4 - бицепс; шарнир A - плечевой сустав; шарнир B - локтевой сустав Используя совместно соотношения (1), (4), (5), (7) с учетом (6), (8) и (9), получим систему восьми дифференциальных уравнений для определения временных зависимостей числа пассивных s, тянущих n, тормозящих m и супертянущих p поперечных мостиков, деформации и напряжения , углов отклонения и . Явный вид данной системы не приводится в силу ее громоздкости. Численное решение системы дифференциальных уравнений при начальных условиях , , реализовано в программном продукте MathCad. В качестве примера использования разработанной математической модели рассмотрим подъем рукой груза массой кг, результаты анализа кинограммы которого приведены в работе [7]. Исходные данные для двухстержневой модели следующие [24]: кг; кг; м; м; м. Значения временных констант, определяющих актомиозиновое взаимодействие при активации мышцы, заимствованы из работы [17]: c-1; c-1; c-1; c-1. В соответствии с работой [6], удельная мышечная сила бицепса принята равной = 11,4 кг/см2 = 1,12 МПа, а по результатам исследования [12] время релаксации для данной мышцы составляет мс. Физиологический поперечник мышцы см2 и коэффициент подобраны таким образом, чтобы результаты расчета относительного угла поворота стержней модели совпали с данными кинометрии [7] при c; значение оказалось близким к среднестатистическому значению (23 см2) для данной мышцы [6]. На рис. 4 представлено сопоставление расчетных временных зависимостей величины с экспериментальной. Можно отметить, что учет последовательного и параллельного нелинейно-вязкоупругого элемента позволяет получить более точные расчетные оценки кинематических параметров управляемого движения. Кроме того, в рамках усовершенствованной методики удается описать такие явления, как задержка начала движения при активации мышцы и наличие затухающих колебаний звеньев опорно-двигательной системы около равновесного состояния. Под задержкой здесь подразумевается начальный промежуток времени, в течение которого движение системы практически отсутствует. В рассматриваемом примере величина задержки составила порядка 0,08 с. На расчетной временной зависимости (см. рис. 4) данному участку соответствует пренебрежимо малое возрастание угла . Наличие задержки, которая не обнаруживается при отсутствии элемента S в модели эквивалентной тяги (см. рис. 1), обусловлено, по-видимому, вязкостью соединительных тканей. При этом в эквивалентной тяге реализуется амортизация резкого возрастания генерируемой мышцей силы. На втором этапе движения (от 0,08 до 0,4 с) отмечается значительная скорость роста исследуемой кинематической характеристики. При t > 0,4 c система совершает затухающие колебания около положения равновесия. В рассматриваемом примере период угловых колебаний составляет 0,55 с. При t > 1,5 c эти колебания практически прекращаются. Подобные колебания являются характерным режимом движения для рассматриваемой динамической системы, содержащей массивные тела и упругие связи. В рамках модели, описанной в работе [23], деформируемость сухожилия не учитывается, что ведет к существенно завышенной расчетной оценке жесткости эквивалентной тяги. Прогнозируемые значения амплитуд колебаний системы около равновесного состояния оказываются более чем на порядок меньше соответствующих значений, полученных с учетом деформирования соединительных тканей (см. рис. 2). На кривой 2 (рис. 4) колебательное движение не выявляется. На рис. 5 представлены расчетные временные зависимости силы натяжения Ta в эквивалентной тяге. Можно отметить, что на начальном этапе активации (порядка 0,05 с) происходит скачкообразное увеличение силы Ta. В дальнейшем рост силы в тяге происходит линейно вплоть до достижения максимального значения. Изменение силы Ta при t > 0,3 c можно охарактеризовать как затухающие колебания около значения, соответствующего статическому равновесию системы. Продолжительность начального участка диаграммы Ta(t), скорость роста на втором участке и амплитуда колебаний силы при t > 0,3 c возрастают при увеличении времени релаксации t материала сухожилия. Рис. 4. Временная зависимость относительного угла поворота в локтевом суставе при подъеме груза: кривая 1 - расчет по разработанной методике; кривая 2 - расчет по методике работы [23], точками показаны результаты кинометрии из работы [6] Рис. 5. Временные зависимости силы натяжения в эквивалентной тяге. Числа у кривых соответствуют значению времени релаксации t, мс Помимо очевидных биомеханических приложений (рационализация спортивных тренировок и трудовой активности [10]), разработанная модель представляет также интерес для воспроизведения мышечной активации в «умных» материалах высокомолекулярной природы, используемых, в частности, при создании интеллектуальных приводов машин и механизмов, а также конструкций управляемой конфигурации [21, 22]. Заключение Показана возможность уточненного описания управляемого движения основных элементов опорно-двигательной системы с использованием модифицированных шарнирно-стержневых моделей, в которых мягкие биоткани (мышцы и сухожилия) представлены в виде нелинейно-деформируемых объектов. На примере подъема груза верхней конечностью показано, что предложенная формализация процесса актомиозинового взаимодействия и нелинейно-вязкоупругого деформирования сухожилий обеспечивает приемлемую точность расчета кинематических и силовых параметров. Модель может быть использована для рационализации спортивных тренировок и трудовой активности, а также при проектировании интеллектуальных приводов и конструкций управляемой конфигурации.

About the authors

S. V Shilko

D. A Chernous

References

Statistics

Views

Abstract - 64

PDF (Russian) - 34

Refbacks

• There are currently no refbacks.