Full Text

Введение Основная функция зубочелюстной системы, заключается в пережёвывании пищи, выполнение которой возможно благодаря особой анатомической форме зубов жевательной группы, а именно моляров и премоляров. Элементы окклюзионной поверхности ежедневно испытывают значительные нагрузки при функциональных жевательных движениях. Хрупкость и высокая подверженность механическим повреждениям эмали представляют серьезную опасность при расклинивании пищей фиссур – клиновидных (V-образных) выемок, формирующихся в глубине борозд зуба в результате срастания долей коронок. Глубокая фиссура часто образуется в результате неполного срастания долей бугорковой эмали в развивающихся зубах и может доходить почти до дентиноэмалевой границы. Фиссуры подразделяют на центральные (срединные), проходящие через всю окклюзионную поверхность и дополнительные (радиальные), пересекающие центральную в лингвальном или вестибулярном направлении [3,5]. Исследования геометрии окклюзионной поверхности зубов получили развитие начиная с работ [12,14]. В более поздней работе [13] была проведена классификация видов износа окклюзионной поверхности, в то время как в [15] было выполнено клиническое in vivo исследование анатомии моляров и премоляров двухсот пациентов с установлением корреляции между глубиной центральных ямок и подверженности элементов окклюзионной поверхности к разрушению. В [9] была изучена подвижность элементов окклюзионной поверхности зубов, а в [29] использовался метод конечных элементов (МКЭ) для численнного исследования распространения напряжений на контакте поверхности жевательных бугров. МКЭ использовался также [19] для исследования горизонтальной составляющей силы надавливания, вызывающей изгиб жевательного бугра, и расклинивания, приводящего к значительному растяжению в области центральной ямки. В статье [17] рассмотрены механизмы взаимодействия пищи и окклюзионной поверхности зуба человека. Работа [26] посвящена анализу характера разрушения эмали в вершинах фиссур 126 интактных премоляров человека. Математическое моделирование процесса разрушения эмали в вершине фиссуры зуба проведено в работах [27, 28]. В исследовании [20] предложен подход к расчету предела прочности керамической коронки зуба с использованием МКЭ. Работы [31, 32] посвящены исследованию процесса распространения трещин в керамических зубных коронках и в окрестностях фиссур с использованием расширенного МКЭ. В [11] был экспериментально воссоздан процесс расклинивания фиссуры пищей путем нагружения её боковых граней индентором. В статье [6] проведено исследование поведения цельнокерамических элементов зубных протезов при квазистатических механических испытаниях с непрерывной регистрацией сигналов акустической эмиссии. В работе [4] проведено исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов протезной конструкции при функциональных нагрузках с использованием МКЭ. В стоматологической практике на поверхности эмали в вершинах фиссур может происходить накопление кариесогенных бактерий (в первую очередь групп Streptococcus mutans и Lactobacillus), что ведет к локальному снижению ph, деминерализации эмали, развитию кариеса и снижению механических свойств ткани [1, 2, 24, 25]. Появление трещины в вершине фиссуры приводит к синдрому треснувшего зуба, при этом трещина возникает либо в продольном направлении по фиссуре вглубь зуба, либо отсекает один из жевательных бугров [18, 21]. Если трещина пересекает дентиноэмалевую границу, происходит обнажение дентинных трубочек [7, 22, 23], содержащих окончания нервных волокон [10, 16], что приводит к болевым ощущениям пациента при надавливании на зуб [8]. Подводя итоги краткого обзора современного состояния исследований, можно сделать вывод о том, что наиболее уязвимым элементом окклюзионной поверхности эмали с точки зрения прочности эмали коронки являются фиссуры, изломы которых являются естественными концентраторами напряжений эмали. Концентрация напряжений эмали в окрестности вершины фиссур во время их расклинивания продуктами питания в процессе пережёвывания пищи создаёт условие для понижения плотности минерализации эмали и повышает риски возникновения кариеса. Для оценки возможности возникновения вышеуказанных рисков следует осуществить математическое моделирование фиссуры, для анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) эмали в окрестности вершины фиссуры. С этой целью строится аналитическое решение залачи о НДС эмали с V-образной выемкой в виде развернутого клина. Новизна работы состоит в том, что сила прикуса моделируется путем задания распределенных по отрезкам на гранях фиссуры сил, ортогональных граням, и сил, действующих вдоль граней, препятствующих проникновению пищи вглубь фиссуру. Моделирование фиссуры и схема её расклинивания Эмаль фиссуры моделируется развернутым клином AA'MOLA"A с углом раствора MOL=360°-2φ, представленным на рис. 1, боковые стороны которого имитируют геометрию межбугоркового пространства фиссуры. Фиссура образована радиус-векторами, проведенными из вершины фиссуры — точки O — по касательным к поверхности бугров, её образующих, в точках E и F. Угол EOF=2φ в вершине клина характеризует раствор фиссуры. Элемент пищи схематично представляется в виде круглого жёсткого диска с центром в точке O', который под действием силы прикуса Q опирается на боковые грани фиссуры в окрестности точек E и F. Обозначив расстояния EF=b, EO=FO=a, угол φ определяется формулой arcsin(b/2a). Для определения НДС эмали и степени концентрации напряжений в окрестности вершины фиссуры точки рассматривается задача о раскрытии бесконечного упругого клина AA'MOLA"A с углом раствора 2α=360 ̊-2φ из эмали круглым жёстким диском, имитирующим пищу, с центром в точке О' под действием силы прикуса Q, коллинеарной биссектрисе. Диск передает воздействие силы Q на грани OM и OL в виде распределённых по отрезку сил ƒ(r), ортогональных OM и OL, и распределённых сил g(r), действующих вдоль граней и препятствующих проникновению пищи глубже в фиссуру. Описанная нагрузка на клин AA'MOLA"A симметрична относительно оси симметрии OO' - биссектрисы угла MOL. Действие распределённых сил ƒ(r) и g(r) приводит к возникновению НДС в клине AA'MOLA"A с концентрацией в вершине клина . Решение поставленной задачи состоит в определении НДС эмали в окрестности вершины фиссуры точки и степени концентрации напряжений при приближении к этой точке изнутри эмали, где — нормальные, а — касательные напряжения в эмали зуба. НДС бесконечного клина AA'MOLA"A в условиях плоской деформации описывается дифференциальными уравнениями теории упругости в напряжениях [30]. где — напряжения в полярной системе координат с центром в точке – массовые силы. Граничные условия на боковых гранях клина представляются равенствами где , , где — функция Хевисайда. За счет симметрии задачи граничные условия можно задать на одной грани клина Считается, что при неограниченном возрастании напряжения в клине исчезают. Для получения конечного результата решения задачи – распределения НДС в окрестности вершины фиссуры в виде напряжений – необходима конкретизация функций и в граничных условиях (3). Так как функции и должны описывать распределенные усилия, передаваемые жёстким диском с центром (рис. 2), на боковую поверхность фиссуры OL. Исходя из опыта решения контактных задач функцию – вертикальное распределения усилия (напряжения) – можно аппроксимировать параболой следующего вида параметры , которой определяются из дополнительных на условий Суммарное усилие P, создаваемое функцией , получается после выполнения условий статики в котором Q является силой прикуса (Рисунок 1). На Рисунке 2 введены следующие обозначения: – наибольшее заглубление диска в боковую поверхность фиссуры (FC), e – относительное заглубление диска, b – полуширина параболы , cF=Fd, a – расстояние от середины (c, d) до точки O, OF. Реализация дополнительных условий на f (r) вида (5), (6) приводит к формулам для и В результате этого f (r) принимает вид где Из естественного условия следует ограничение на угол раствора фиссуры Функция g (r), характеризующая трение между диском O’ и боковой стороной фиссуры определяется законом Амонтона – Кулона где k – коэффициент трения между пищей в виде диска и боковой поверхностью фиссуры. Решение задачи для клина Основными неизвестными поставленной задачи об определении НДС клина из эмали, при его раскрытии распределенными усилиями и , , являются смещения , и напряжения . Для их определения, кроме использования уравнений равновесия клина (1), воспользуемся соотношениями закона Гука [30], связывающих напряжения с деформациями Подставив соотношения (12) в уравнения равновесия (1) в отсутствие массовых сил , получим уравнения равновесия упругого клина (, ) в смещениях где — объёмная деформация, — оператор Лапласа. Для решения поставленной задачи (1), (3) об определении НДС клина применяется интегральное преобразование Меллина. Для реализации метода каждое из уравнений (1) умножается на и интегрируется по от 0 до , где при этом вводятся обозначения для трансформант смещений где обозначает либо , либо . В результате получим обыкновенные дифференциальные уравнения равновесия упругой среды относительно трансформант смещений (6) вида (15) где , а штрихи над означают производные по . Для установления связи между трансформантами смещений и трансформантами напряжений , воспользуемся соотношениями закона Гука (12). С этой целью каждое из соотношений (12) умножается на с последующим интегрированием по от 0 до . Введя обозначения для трансформант напряжений где обозначает поочередно , получим равенства Общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (15) в случае симметрии задачи по записывается в виде (18) где , являются постоянными, которые определяются из граничных условий. В предположении, что интегралы Меллина от функций и существуют в обычном смысле, граничные условия (3) после применения преобразования Меллина переходят в граничные условия для соответствующих трансформант Подставив соотношения (18) в равенства (17), получим соотношения Постоянные определяются из граничных условий для трансформант (19) после подстановки в (19) соотношений (20). В результате этого получается система линейных алгебраических уравнений относительно решение которой имеет вид Подстановкой и из (14) в (18) и (20) определяются трансформанты смещений , и напряжений , , . После обращения трансформант смещений и с помощью формул обратного преобразования Меллина получим (23) где обозначает и . Формулы для смещений упругой среды и записываются в виде контурных квадратур обратного преобразования Меллина (23), где контур совпадает с мнимой осью комплексной плоскости переменной интегрирования (24) Нижний символ обозначает или . Подынтегральные функции в (24) даются формулами в которых дана после формулы (15). Формулы для напряжений получаются с помощью обратного преобразования Меллина в форме где обозначает поочередно . После подстановки формулы (27) записываются в виде контурных квадратур обратного преобразования Меллина с контуром , описанным после (23) (28) в которых подынтегральные функции даются формулами . где дана в (22). Исследования подынтегральных функций в (24), (28) показали, что они являются функциями и на бесконечности при: . при этом интегралы в (24), (28) существуют в обычном смысле. Для численной реализации полученных формул для , и необходимо в повторных интегралах (24) и (28) поменять порядок интегрирования , учитывая, что внешний материал берётся по контуру в комплексной плоскости. После преобразований формула для смещений (24) приобретает вид (32) в которых двукратный полюсов p=0 отбрасывается из физических ограничений, полюсы подынтегральных функций или нули функции за исключением устранимых особых точек, a, b определены в (9), даны в (9), (11) соответственно. Формула для принимает следующий вид (33) где – полюса подынтегральных функций или нули функции за исключением устранимых особых точек. Формула (33) показывает, что напряжения имеют при особенности по r порядка , т.е. (при ). В Таблице 1 приведены значения первого слева от начала координат полюса и показателя степени в формулах (33) для различных полу-углов раствора фиссуры φ. Расчёты напряженности в окрестности вершины фиссуры Полученные формулы (32), (33) дают возможность изучить НДС в окрестности вершины фиссуры. Напряжения σ_θθ, рассчитанные по формулам (33) в окрестности вершины фиссуры представлены на рис. 3 для трёх различных углов раствора 2φ=60°,80°,100° вместе с величиной параметров, указанных на рис. 2 и в формулах (9) – (10). Анализ НДС в оокрестности вершины фиссуры показывает, что фиссуры с меньшим углом раствора 2φ (60°, случай а) имеют большую по площади область с высокими σ_θθ напряжениями, тогда как фиссуры с большим углом раствора (100°, случай в) имеют меньшую как по площади, так и по величине напряжений σ_θθ область по сравнению со случаем (а). Отсюда следует, что фиссуры с меньшими углами раствора могут иметь большие по площади области пониженной минерализации, что повышает возможность возникновения кариеса. Заключение В настоящей работе в ходе построения аналитического решения задачи о НДС эмали с V-образной выемкой в виде развернутого клина получены формулы для исследования степени концентрации напряжений в окрестности вершины фиссуры зуба человека. Математическое моделирование силы прикуса проведено путем задания распределенных по отрезкам на гранях фиссуры сил, ортогональных граням. Теоретические исследования, проведенные по изучению окклюзионной поверхности моляров и премоляров показывают, что фиссуры с меньшими углами раствора с большей вероятностью могут спровоцировать возникновение кариеса при одной и той же силе прикуса, отсюда следует вывод: при изготовлении искусственных коронок необходимо избегать создания фиссур с малыми углами раствора. Процесс дробления и перетирания пищи приводит к существенным механическим воздействиям на окклюзионную поверхность моляров и премоляров. При этом математическое моделирование продемонстрировало возникновение существенного механического напряжения, приводящее со временем к снижению плотности её минерализации и риску возникновения кариеса в эмали коронки зуба.

About the authors

E. V Sadyrin

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia

References

Statistics

Views

Abstract - 0

PDF (Russian) - 0

Refbacks

• There are currently no refbacks.