DETERMINATION, ANALYSIS AND SYNTHESIS OF THE ROOTS OF VALID ALGEBRAIC EQUATIONS USING LOGARITHMIC AMPLITUDE-PHASE FREQUENCY CHARACTERISTICS

Abstract


The article considers the method of approximate determination, analysis and synthesis of the roots of real algebraic equations of high order. The solution of such problems is relevant in the case of designing information-measuring and control systems, studying the dynamics of movement of various mechanisms (industrial robots, quadrocopters, etc.), determining the trajectories of aircraft, etc. The analytical solution of such problems is limited to equations of the third (sometimes fourth) degree, in other cases it is necessary to use either special sequential algorithms or packages of applied computer programs such as "Wolfram.Matematica", which allow only to find the roots of the equations, but not to synthesize them. The proposed method is based on the application for the decomposition of the studied polyomial (corresponding to the equation) into the simplest multipliers corresponding to aperiodic and/or oscillatory links, asymptotic logarithmic amplitude and phase-frequency characteristics. The form and values of the roots of the equation are proposed to be judged by the slopes at the fracture points of the logarithmic amplitude and phase-frequency characteristics of the polyparticle under study. The construction of logarithmic amplitude and phase-frequency characteristics is carried out by discarding the "small" terms of the polygamy at separate frequency intervals. A feature of the method is the possibility of its use both in conjunction with the computer and without it. Manual use of the method assumes that the user has a calculator and a ruler. The method allows to determine not only the roots of real algebraic equations (both real and complex), but also to establish a visual relationship between the coefficients for the terms of the equations with the type and values of the roots and purposefully change the necessary coefficients to change the parameters and type of roots. The possibilities of the method are not limited to solving real algebraic equations with positive coefficients and integer powers, it shows quite satisfactory results for equations with mixed coefficients and fractional powers. The method is quite simple, clear, has a small error in the case of far spaced roots, but in the case of closely spaced roots, its error increases, although it remains quite acceptable. The article presents the substantiation of the method, shows numerous examples of its capabilities, compares the results obtained with the results obtained with the help of the package of applied computer programs "Wolfram.Matematica".

Full Text

Введение Вопрос определения, анализа и синтеза корней действительных алгебраических уравнений высокой степени (более трех) является чрезвычайно важным в ряде областей науки и техники - таких как электротехника, теория автоматического управления, теоретическая механика и др. Вместе с тем решение такой задачи представляет собой достаточно сложный процесс, особенно в случаях, требующих исследования взаимосвязи корней (действительных или комплексных) с коэффициентами уравнений [1]. В настоящее время существуют формулы, связывающие корни таких уравнений с их коэффициентами лишь для уравнений до 4-й степени (решения Кардано, Декарта - Эйлера, Феррари), поэтому разработка метода, позволяющего решать и анализировать корни уравнений более высокого порядка, является полезной. Математическая постановка задачи Задачу сформулируем следующим образом. Дано уравнение вида: (1) где - коэффициент при «-м» члене уравнения (любое действительное число); n - максимальное число членов уравнения; ki - степень i-го члена уравнения (любое действительное число). Требуется определить корни уравнения (действительные и комплексные), обращающие уравнение (1) в ноль. Метод приближенного определения корней алгебраических уравнений с использованием логарифмических амплитуднои фазочастотных характеристик В работе изложен метод приближенного определения корней алгебраических уравнений, позволяющий быстро и качественно решать поставленную задачу. Особенностью метода является возможность не только нахождения корней уравнения, но и их анализа и целенаправленного синтеза. Метод базируется на применении логарифмических амплитудно- и фазочастотных характеристик [2], поэтому сначала в работе изложен материал, необходимый для дальнейшего объяснения. Для лучшего понимания сути метода изложим его в виде пяти основных задач по мере усложнения, требующих решения при исследовании уравнений. Задача 1. Рассмотрим частный случай уравнения (1), в котором только положительные действительные числа, а ki - только целые положительные числа. Так как корни уравнения могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными, то можно написать: (2) где M + 2L = n , g - показатель колебательности, и - постоянные времени, s - переменная. Двучлен определяет действительный корень, а трехчлен определяет либо комплексно-сопряженную пару корней (при g 1) , либо два действительных корня (при ) . Действительно, при 1 + Tms = 0 имеем: (3) При имеем: (4) Из этого следует, что если удастся разложить многочлен D(s) на множители (2), то фактически будут определены корни уравнения (1), поэтому задача нахождения корней уравнения (1) сводится к разложению многочлена D(s) на множители (2). Преобразованный по Фурье многочлен D(s) (путем замены s на где - мнимая единица, а - круговая частота) имеет вид: (5) В этом случае можно написать: (6) или: (7) где - коэффициент передачи многочлена , а - его сдвиг по фазе. Многочлен удобно отображать в виде вектора на плоскости U, V. Если менять непрерывно от 0 до , то этот вектор будет своим концом описывать некоторую кривую (годограф). Информативными являются характеристики и , однако сложность их построения заключается в трудности масштабирования из-за широкого диапазона изменения , поэтому в инженерной практике используют логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики (ЛАЧХ и ЛАФЧХ1 соответственно). ЛАФЧХ удобно строить на миллиметровой бумаге или на листах в клетку. В этом случае удобно выбрать следующий масштаб: - по оси абсцисс 5 см должны соответствовать изменению частоты в 10 раз; - по оси ординат 2,5 см должны соответствовать изменению коэффициента передачи в 10 раз; - по оси ординат 1,5 см должны соответствовать изменению угла на 90 градусов. Следует отметить, что по оси ординат иногда удобно откладывать не только собственные значения K в натуральном исчислении, но и его значение K1 в децибелах, рассчитываемое по формуле: (8) Поле для построения ЛАФЧХ представлено на рис. 1. Рис. 1. Поле для построения ЛАФЧХ Цифры 1, 2, -1 и т.д. обозначают степень наклона прямой (20 дБ/декаду, 40 дБ/декаду, минус 20 дБ/декаду), Y - фазовый сдвиг (град). Построим ЛАФЧХ для некоторых типовых многочленов D(s) при 1. D(s) = K = 10 . ЛАФЧХ представлена на рис. 2. Рис. 2. ЛАФЧХ D(s) = K = 10 2. D(s) = K ЛАФЧХ представлена на рис. 3. Рис. 3. ЛАФЧХ D(s) = K 3. D(s) = K(1 + T·s) = 5(1 + 0,1s) . ЛАФЧХ представлена на рис. 4. Пунктирной линией показана реальная ЛАФЧХ, сплошной линией - асимптотическая (максимальная погрешность не превышает 3 дБ). Рис. 4. ЛАФЧХ D(s) = K(1 + T·s) = 5(1 + 0,1s) Lm[D(s)] - логарифмическая амплитудная характеристика, соответствующая многочлену D(s), Y(s) - фазочастотная характеристика, соответствующая многочлену D(s). 4. ЛАФЧХ представлена на рис. 5. Пунктирными линиями показаны реальные ЛАФЧХ при различных g, сплошной линией - асимптотическая. Рис. 5. ЛАФЧХ При построении ЛАФЧХ удобно пользоваться шаблонами звеньев второго и первого порядков при различных g (от 0 до 1), представленными в [2, с. 77, рис. 4.18]. Алгоритм построения ЛАФЧХ любых многочленов типа (2) представлен на рис. 6. Последовательность построения ЛАФЧХ любых многочленов типа (2) изложена на примере многочлена 4-й степени вида: (14) Шаг 1. Строится поле ЛАФЧХ. Шаг 2. Определяются частоты излома ЛАФЧХ по формуле: (15) Рис. 6. Алгоритм построения ЛАФЧХ любых многочленов В нашем случае: = 1 рад/с; = 10 рад/с; = 100 рад/с. Шаг 3. Через точки проводятся вертикальные пунктирные линии. Шаг 4. Через точку на оси ординат K = 10 проводится линия с 0-м наклоном (параллельно оси ) до пересечения с первой вертикальной линией - точка А. От точки А проводится прямая с 1-м наклоном (действие первого двучлена) до пересечения со второй вертикальной линией - точка В. От точки В проводится прямая со 2-м наклоном (действие второго двучлена) до пересечения с третьей вертикальной линией - точка С. От точки С проводится прямая с 4-м наклоном (действие трехчлена. Шаг 5. При необходимости по шаблону для звена второго порядка уточняется ЛАЧХ - в нашем случае уточненная ЛАФЧХ показана пунктиром на рис. 7. Шаг 6. Строится ЛАФЧХ по ЛАЧХ с учетом того, что изменение на 20 дБ/в декаду соответствует изменению на 90о для минимально-фазовых многочленов. Для неминимально-фазовых многочленов ЛАФЧХ строится с учетом результатов суммирования составляющих векторов. Из анализа построения ЛАФЧХ можно сделать важный вывод - корни уравнения соответствуют точкам излома асимптотической ЛАЧХ. Рис. 7. ЛАФЧХ Отсюда следует, что если каким-либо способом построить ЛАЧХ многочлена типа (2), то точки излома асимптотической ЛАЧХ позволят определить корни уравнения, соответствующего указанному многочлену. При этом следует учитывать, что близкорасположенные корни влияют друг на друга, что необходимо учитывать при построении ЛАФЧХ - это можно сделать путем векторного суммирования элементов многочлена D(j ) при различных . Для определения возможностей метода проводился анализ погрешностей определения корней уравнений. Погрешности определения корней si определялись по следующей формуле: (16) где - значение вещественной части корня полученное предлагаемым методом; - значение вещественной части корня полученное с помощью пакета Wolfram.Matematica; - значение мнимой части корня полученное предлагаемым методом; - значение мнимой части корня полученное с помощью пакета Wolfram.Matematica. Алгоритм определения корней любых многочленов типа (2) представлен на рис. 8. Рис. 8. Алгоритм определения корней любых многочленов Последовательность определения корней любых многочленов типа (2) изложена на примере многочлена 4-й степени вида: (17) Шаг 1. Строится поле ЛАФЧХ [3]. Шаг 2. Строятся ЛАЧХ отдельных членов многочлена , как на рис. 9. Рис. 9. ЛАЧХ Шаг 3. Строится огибающая ЛАЧХ по наибольшим участкам отдельных ЛАЧХ. Результаты представлены ниже: - = 1, при 0 - = , при 1 рад/с - = , при 10 рад/с - = , при 100 рад/с Результирующая асимптотическая ЛАЧХ представлена на рис. 9. Шаг 4. При необходимости получения более точной ЛАЧХ можно ее уточнить путем сложения составляющих векторов в некоторых точках (например, в точке А, как на рис. 9). В окрестности точки А близко расположены лишь четыре прямые, соответствующие членам 1,11 0,11 0,00001 прямая, соответствующая члену 1, проходит значительно ниже и ее можно не учитывать. На векторной диаграмме построены четыре вектора, соответствующие указанным членам - V[1,1 с модулем 300 и фазовым сдвигом - -90°, V[0,11 с модулем 1100 и фазовым сдвигом - -180°, V[0,001 с модулем 1100 и фазовым сдвигом - 270° и V[0,00001 с модулем 1100 и фазовым сдвигом - 360° . Результатом этой векторной суммы является вектор V[D(s)] с модулем 900 и фазовым сдвигом - 270° . Это означает, что на результирующей ЛАЧХ в области частот с 0 изменением наклона 2-4 имеется отрицательный всплеск, вызванный действием трехчлена. Шаг 5. Строится ЛФЧХ. Шаг 6. Определяются критические частоты = 1 рад/с, = 10 рад/с; = 100 рад/с. Особо следует отметить, что эти частоты сильно отличаются друг от друга (в 10 раз). Шаг 7. Определяются постоянные времени: c; 0,1 с; 0,1 с. Шаг 8. Так как в результирующей ЛАЧХ наклоны чередуются в последовательности 0-1-2-4, то многочлен представляется в следующем виде: (18) Шаг 9. По уточненной ЛАЧХ (изображенной пунктиром) в соответствии с рис. 9 и [2, c. 77, рис. 4.18] определяется g = 0,5. Шаг 10. Теперь окончательно можно написать: (19) Откуда: (20) Задача решена. Следует отметить, что в данном примере корни многочлена разнесены между собой на декаду, поэтому практически не оказывают влияния друг на друга, в противном случае необходимо проводить в критических точках векторное суммирование отдельных составляющих и анализировать также и ЛФЧХ. Рассмотрим еще один пример: (21) Построим ЛАФЧХ в соответствии с вышеизложенным алгоритмом, они представлены на рис. 10. Рис. 10. ЛАФЧХ Анализ данных ЛАФЧХ позволяет сделать следующие выводы: - корни уравнения расположены очень близко, т.е. велико их взаимовлияние; - сдвиг по фазе стремится к 180°, а не к 540°, т.е. два корня имеют положительные действительные части; - на частоте ω = 0,85 рад/с наблюдается бросок по амплитуде вниз, что соответствует колебательному звену с g = 0,13; - на частоте ω = 0,5 рад/с наблюдается плавный переход по амплитуде, что соответствует колебательному звену с g = 0,85; - на частоте ω = 0,5 рад/с наблюдается плавный переход по фазе, что означает наличие на очень близкой частоте ( 0,55 рад/с) колебательного звена с g = 0,85. С учетом вышеизложенного можно написать: (22) Откуда: (23) Задача решена. Задача 2. Рассмотрим частный случай уравнения (1), в котором только положительные действительные числами, а ki - положительные числа (целые и дробные). Так как корни уравнения могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными, то можно написать: (24) где M + 2L + N = I, zn - дробная степень отдельного члена D(s). Алгоритм определения корней любых многочленов типа (21) аналогичен предыдущему, поясним его на примере многочлена 2-й степени вида: (25) Это уравнение эквивалентно следующему при x = : (26) ЛАФЧХ многочлена представлены на рис. 11. Рис. 11. ЛАФЧХ Из рис. 11 видно, что ЛАЧХ многочлена меняется с 0-го наклона на 1-й (на частоте 0,2 рад/с), затем на 3-й (на частоте 6,3 рад/с) и затем на 6-й (на частоте 11 рад/с), причем на частоте 6,3 рад/с наблюдается резкое изменение коэффициента передачи, что соответствует действию трехчлена с постоянной времени 0,16 с и показателем колебательности 0,1. Кроме того, на частоте 11 рад/с наблюдается плавное изменение коэффициента передачи, что соответствует совместному действию двучлена с постоянной времени 0,09 с и трехчлена с постоянной времени 0,09 с и показателем колебательности 0,6. Тогда: (27) Откуда: (28) Тогда: Задача решена. Задача 3. Рассмотрим частный случай уравнения (1), в котором как положительные, так и отрицательные действительные числа, а - только целые положительные числа. Так как корни уравнения могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряженными, то можно написать: (29) где M + 2L = R. Алгоритм определения корней любых многочленов типа (24) аналогичен предыдущему и изложен на примере многочлена 4-й степени вида: (30) ЛАФЧХ многочлена представлены на рис. 12. Рис. 12. ЛАФЧХ Из рис. 12 видно, что между частотами 10 рад/с и 31 рад/с у ЛАЧХ наблюдается сглаживание характеристики, а у ЛАФЧХ - изменение фазового сдвига на 90°, что соответствует колебательному звену с показателем колебательности g = 0,9, тогда: (31) Знаки минус в многочленах берутся при переходах на участки, соответствующие уменьшению фазового сдвига. Откуда: (32) Задача решена. Следует отметить, что так как ЛАЧХ не учитывает знаков коэффициентов при членах уравнения, то при «грубом» построении она одинакова для уравнений с положительными и отрицательными коэффициентами при членах, однако при уточнении с помощью векторного суммирования векторов она может быть о скорректирована. Задача 4. Задачу сформулируем как определение значений (синтез) коэффициентов многочленов, обеспечивающих требуемый вид корней уравнения. Эту задачу рассмотрим на примере уравнения, описываемого многочленом: (33) Сформулируем эту конкретную задачу как нахождение максимального значения , обеспечивающего только действительные корни уравнению. ЛАЧХ, соответствующие рассматриваемому многочлену при различных (0,3; 0,25; 0,2) , представлены на рис. 13. Из рис. 13 видно, что ЛАЧХ многочлена при = 0,000002 плавно меняется с 0-го наклона на 1-й (на частоте 1 рад/с), затем на 2-й (на частоте 10 рад/с), затем на 3-й (на частоте 100 рад/с) и затем на 4-й (на частоте 430 рад/с), что означает последовательное влияние двучленов с постоянными времени 1; 0,1; 0,01 и 0,0023 с. ЛАЧХ многочлена при = 0,0000025 плавно меняется с 0-го наклона на 1-й (на частоте 1 рад/с), затем на 2-й (на частоте 10 рад/с), затем на 3-й (на частоте 100 рад/с) и затем на 4-й (на частоте 310 рад/с), что означает последовательное влияние двучленов с постоянными времени 1; 0,1; 0,01 и 0,0032 с. ЛАЧХ многочлена при = 0,000003 меняется с 0-го наклона на 1-й (на частоте 1 рад/с), затем на 2-й (на частоте 10 рад/с) и затем на 4-й (на частоте 200 рад/с), что означает последовательное влияние двучленов с постоянными времени 1; 0,1; и трехчлена с постоянной времени 0,005 с и показателем колебательности 1. Рис. 13. ЛАЧХ Тогда равен: - при ; - при ; - при Отсюда следует, что при корни действительные, равные: (34) Задача решена. Задача 5. Рассмотрим еще одну интересную практически задачу - определим для уравнения (35) корни уравнения и значение коэффициента , обеспечивающего действительный корень и два комплексно сопряженных корня. (35) На рис. 14 представлены ЛАЧХ, один с а второй - проходящий через = 0,5 рад/с, что соответствует Рис. 14. ЛАЧХ Из рис. 14 видно, что ЛАЧХ многочлена при = 2 плавно меняется с 0-го наклона на 1-й (на частоте 0,5 рад/с), затем на 2-й (на частоте 19 рад/с) и затем на 4-й (на частоте 100 рад/с), причем на частоте 100 рад/с наблюдается значительное изменение коэффициента передачи, что соответствует действию трехчлена с постоянной времени 0,01 с и показателем колебательности 0,4. Тогда: (36) Отсюда следует, что при корни равны: Задача решена. Следует отметить, что при = 1 ЛАЧХ многочлена плавно меняется с 0-го наклона на 1-й (на частоте 1 рад/с), затем на 2-й (на частоте 10 рад/с) и затем на 3-й (на частоте 30 рад/с) и на 4-й (на частоте 100 рад/с), т.е. из рис.14 наглядно видно влияние коэффициента многочлена на его корни. Заключение 1. Предлагаемый метод (МПОКАУ) позволяет находить приближенное решение уравнений высокой степени (до 8) с действительными коэффициентами и любыми степенями (целыми и дробными). 2. Метод обладает достаточно высокой точностью (менее 10 %) в случае далеко разнесенных членов (более 5 раз). 3. Максимальная погрешность метода (до 30 %) наблюдается при решении уравнений с отрицательными близкими коэффициентами при членах уравнения. 4. Метод позволяет определять значения коэффициентов многочленов, обеспечивающих требуемый вид корней уравнения - как их комплексность или действительность, так и конкретные значения.

About the authors

V. V Sleptsov

Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences; MIREA - Russian Technological University

A. D Lagunova

MIREA - Russian Technological University

A. E Ablaeva

MIREA - Russian Technological University

References

  1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 2003. - 832 с.
  2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Изд-во «Наука», главная редакция физико-технической литературы, 1972. - 768 с.
  3. Следящие приводы / Е.С. Блейз, Ю.А. Данилов, В.Ф. Казмиренко [и др.] / под ред. Б.К. Чемоданова. - М.: Энергия, 1976. - Кн. 1. - 480 с.
  4. Энциклопедия элементарной математики. Т. 1: Элементарная алгебра и анализ. - М.: ЕЕ Медиа, 2012. - 638 с.
  5. Белый Е.К., Дорофеева Ю.А. Алгебраические уравнения: учебное пособие. - Петрозаводск: Издательство ПетрГУ, 2015. - 240 с.
  6. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие. - М.: Высшая школа, 2001. - 445 с.
  7. Акимов В.Н., Коновалова И.Н. Комплексные числа, комплексные векторы и их приложения: учебное пособие. - М.: ГОУ ВПО Российский государственный медицинский университет, 2018. - 81 с.
  8. Аржанцев И.В. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. - М.: МЦНМО, 2003. - 68 с.
  9. Тынкевич М.А. Введение в численный анализ: учеб. пособие. - Кемерово: КузГТУ, 2017. - 176 с.
  10. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра: учебник: в 2 т. - М.: Гелиос АРВ, 2003. - Т. I. - 336 с.
  11. Кормен Томас Х., Лейзерсон Чарльз И., Ривест Рональд Л., Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ, 3-е издание. - М.: Вильямс, 2013. - 1328 с.
  12. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика: пер. с франц. - М.: Мир, 1999. - 720 с.
  13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 640 с.
  14. Самарский А.А. Введение в численные методы: учебное пособие, 3-е изд., стер. - СПб: Лань, 2005. - 288 с.
  15. Слепцов В.В. Метод приближенного решения уравнений [Электронный ресурс] // Российский технологический журнал. - 2015. - Т. 1, № 3(8). - С. 10-16. - URL: https://www.mirea.ru/upload/medialibrary/678/1-03-sleptsov-16.pdf (дата обращения: 26.07.2021).

Statistics

Views

Abstract - 3

PDF (Russian) - 1

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies